多元統(tǒng)計(jì)分析模擬考題及答案

1、（對(duì)）1X =（X1,X2|,Xp）的協(xié)差陣一定是對(duì)稱的半正定陣（對(duì)）2標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)向量的協(xié)差陣與原變量的相關(guān)系數(shù)陣相同。（ 對(duì)）3典型相關(guān)分析是識(shí)別并量化兩組變量間的關(guān)系，將兩組變量的相關(guān)關(guān)系 的研究轉(zhuǎn)化為一組變量的線性組合與另一組變量的線性組合間的相關(guān)關(guān)系的研究。（對(duì)）4多維標(biāo)度法是以空間分布的形式在低維空間中再現(xiàn)研究對(duì)象間關(guān)系的數(shù)據(jù) 分析方法。（ 錯(cuò)）5X =（XX2，Xp） Np（）, 口，X,S分別是樣本均值和樣本離 差陣，則X,S分別是，匕的無偏估計(jì)。n（ 對(duì)）6X =（Xi，X2 ,Xp） NpGM），X作為樣本均值的估計(jì)，是無偏的、有效的、一致的。（ 錯(cuò)）7因子載荷經(jīng)正交旋轉(zhuǎn)后，

2、各變量的共性方差和各因子的貢獻(xiàn)都 發(fā)生了變化（ 對(duì)）8因子載荷陣A=（aj）中的aij表示第i個(gè)變量在第j個(gè)公因子上 的相對(duì)重要性。（對(duì)）9判別分析中，若兩個(gè)總體的協(xié)差陣相等，則Fisher判別與距離判別等價(jià)。（對(duì)）10距離判別法要求兩總體分布的協(xié)差陣相等，F(xiàn)isher判別法對(duì)總體的分布無特定的要求。二、填空題1、多元統(tǒng)計(jì)中常用的統(tǒng)計(jì)量有：樣本均值向量、樣本協(xié)差陣、樣本離差陣、 樣本相關(guān)系數(shù)矩陣.2、設(shè)匕是總體X=（Xjl|,Xm）的協(xié)方差陣，的特征根 昭,1,川，m）與相應(yīng)的單位正交化特征向量-：i =（為，厲2,川月沛），則第一主成分的表達(dá)式是yai1Xa12X+a1mXm 方差為幾1 &

3、#176;3設(shè)二是總體X二（X1,X2,X3, X4）的協(xié)方差陣，二的特征根和標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量分別為：1 =2.920 U； =（0.1485, -0.5735, -0.5577, -0.5814）2 =1.024 U2 =（0.9544, -0.0984,0.2695,0.0824）-0.049 U3 =（0.2516,0.7733, -0.5589, -0.1624）4 =0.007U4 =(-0.0612,0.2519,0.5513, -0.7930),則其第二個(gè)主成分的表達(dá)式是y2 H0.9544X, -0.0984X2 0.2695X30.0824X4，方差為 1.0244.若X(：

4、.)Np(，1) , ( ： =1,2,，n )且相互獨(dú)立，則樣本均值向量X服從的分布是Np2, = ).n5.設(shè)Xj L Np('J,i =1,2，16 , X和A分別是正態(tài)總體的樣本均值和樣本離差陣，則 T2 =154(X)A4(X)服從T2(15,p)或F(p, n - p)-16 p106 設(shè) XjN3C ),i =1,2,10，貝U W 八 (Xj - (Xj -)服從 W3(10f)i=17.設(shè)隨機(jī)向量= (X1,X2,X3)，且協(xié)差陣-49-2，則其相關(guān)矩陣16丿2_3381638168.設(shè) X =(X1,X2)L,其中Cov(X1 X 2X X ) =20_9設(shè)X,Y是

5、來自均值向量為 ，協(xié)差陣為1的總體G的兩個(gè)樣品，則X, Y間的馬氏平方距離 d2(X,Y) = (X -Y)Z'(X -Y)10設(shè)X,Y是來自均值向量為 ，協(xié)差陣為3的總體G的兩個(gè)樣品，則 X與總體G的馬氏平方距離d2(X,G) =(X - JE4(X -)11設(shè)隨機(jī)向量X =(X1,X2,X3)的相關(guān)系數(shù)矩陣通過因子分析分解為12、_33*0.9340 、<0.934-0.4170.8359.128、10=-0.4170.8940.8940.447+0.02708350.447 、0.103;01)則Xi的共性方差 h2 = 0.934 2 =0.872,其統(tǒng)計(jì)意義是：描述了全

6、部公因子對(duì)變量X1的總方差所作的貢獻(xiàn)，稱為變量 X1的共同度，反映了公共因子對(duì)變量X1的影響程度。標(biāo)準(zhǔn)化變量 X1的方差為1，公因子fi對(duì)X的貢獻(xiàn)gj =0.934 2+0.417 2+0.835 2=1.74312.對(duì)應(yīng)分析是將Q型因子分析和R型因子分析結(jié)合起來進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)分析方法13典型相關(guān)分析是研究?jī)山M變量間相關(guān)關(guān)系的一種多元統(tǒng)計(jì)方法14.聚類分析中，Q型聚類是指對(duì)樣本進(jìn)行聚類,R型聚類是指對(duì) 指標(biāo) 進(jìn)行聚類。15 Spss for windows 中 主成分 分析由 Data Reduction->FactorAnalysis過程實(shí)現(xiàn)。16 設(shè)Uk,Vk是第 k對(duì)典型變量則D(Uk

7、)=1, D(Vk)=1 (k=1,2l(,r)Cov(Ui,U j) =0,Cov(Vi,Vj)=0 (i=j)I，" = 0Cov(Ui,Vj) = 00(i = j,i =1,2,|l|,r)(U j)(j r)17.在多維標(biāo)度分析中，當(dāng) D是歐幾里得距離陣時(shí), X是D的一個(gè)構(gòu)圖 三、簡(jiǎn)答題（答案見平時(shí)習(xí)題）1簡(jiǎn)述多元統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容與方法（10分）可對(duì)比一元統(tǒng)計(jì)列出多元統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容與方法（從隨機(jī)變量及其分布、數(shù)字特征、四大分布（正態(tài)分布密度（1分）、工2（n） 與威沙特分布Wp（nQ）（ 1分）、t分布與Hoteling T2分布（1分）、F分布 與威爾克斯分布上（p,nn2

8、）（ 1分）、抽樣分布定理、參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)、 統(tǒng)計(jì)方法（2分）2.請(qǐng)闡述距離判別法、貝葉斯判別法和費(fèi)希爾判別法的基本思想和方法，比較其異同 3請(qǐng)闡述系統(tǒng)聚類法、K均值聚類法、有序樣品聚類法的基本思想和方法，比較其異同 4請(qǐng)闡述主成分分析和因子分析的基本思想、方法步驟和應(yīng)用，比較其異同5請(qǐng)闡述相應(yīng)分析、多維標(biāo)度法、典型相關(guān)分析和多變量的可視化分析的基本思想和應(yīng) 用四、計(jì)算題XL N3(,2l3), 已 知1( 00丨330 5 £5-21、+=-b解：正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)，故只需求廣1-21、廣0.5-0.5、(31、DY =D(AX +d) = ADXA" =-1

9、0=v-1 0-1J1 1 >J衛(wèi).5-0.5JE(Y) =E(AXd) =AEX d所以yL N3(E(Y), D(Y)另解：'0空-X2 +0.5X3+1 Y =AX +d =123'、-0風(fēng)-0.5X3 +2故yL N3(e(y),d(y)-X2 0.5X3 1)=2E(-0.5X1 -0.5X3 2) =1D(05XX2 0.5X3 1)=3D(-05X1 -0.5X3 2) =1COV(0.5X1 -X2 0.5X3 1,-0.5X1 -0.5X3 2-12.設(shè)三維隨機(jī)向量xL N3(J二)，已知廣2-31 132,求22jY =3X1 -2X2, X 的分布解

10、：正態(tài)分布的任意線性組合仍正態(tài)，故 丫的分布是一維正態(tài)分布，只需求E(Y)=3E(XJ-2E(X2)E(X3)=13D(Y) =32E(XJ 22E(X2) E(X32Cov(3X1,2X2) 2Cov(3X1, X32Cov(X3,2 X2 9 故YU N(13,9)3設(shè)有兩個(gè)二元總體和，從中分別抽取樣本計(jì)算得到判別規(guī)則。 樣品X=(6，0)'應(yīng)屬于哪個(gè)總體？假設(shè)工 二，試用距離判別法建立判別函數(shù)和解：=、_ ；. ，=，卩=:Wp = a<x - p3 = (x - p)' 1 (|ii - |13)(x - p)1 = (6,0) - (4,0.5) = (2,0.

11、5)1 ( 7,6-2A3967- 2 15'e 丿x ' G即樣品X屬于總體4設(shè)已知有兩個(gè)正態(tài)總體(112，而其先驗(yàn)概率分別為qi = q2 = 0.5,誤判的代價(jià)4L(2 |1) = e , L(1|2) =e，試用貝葉斯判別法確定樣本x = "3屬于哪個(gè)總體?6解：由 Bayes 判別知，W（x） =exp（x -）十（亠-2） f2（x）其中14丿W(x) =W 兒=WM2丿<d由丿故x/屬于G2總體65表1是根據(jù)某超市對(duì)不同品牌同類產(chǎn)品按暢銷（1）、平銷（2）和滯銷（3）的數(shù)據(jù),利用SPSS得到的Bayes判別函數(shù)系數(shù)表，請(qǐng)據(jù)此建立貝葉斯判別函數(shù)，并說

12、明如何判 斷新樣品（x1,x2,x3 ）屬于哪類？Classification Function Coefficientsgroup123x1-11.689-10.707-2.194x212.29713.3614.960x316.76117.0866.447(Con sta nt-81.843-94.536-17.449Fisher's lin ear discrim inant fun cti ons表1 Bayes判別函數(shù)系數(shù)解：根據(jù)判別分析的結(jié)果建立Bayes判別函數(shù)：Bayes判別函數(shù)的系數(shù)見表 4.1。表中每一列表示樣本判入相應(yīng)類的Bayes判別函數(shù)系數(shù)。由此可建立判別函數(shù)如

13、下：Group1:Y1 二-81.843 -11.689X1 12.297X2 16.761X3Group2：Y2 二-94.536 -10.707X1 13.361X2 17.086X3Group3： Y3 二-17.449-2.194X1 4.960X2 6.447X3將新樣品的自變量值代入上述三個(gè)Bayes判別函數(shù)，得到三個(gè)函數(shù)值。比較這三個(gè)函數(shù)值，哪個(gè)函數(shù)值比較大就可以判斷該樣品判入哪一類。6.對(duì)某數(shù)據(jù)資料進(jìn)行因子分析，因子分析是從相關(guān)系數(shù)陣出發(fā)進(jìn)行的，前兩個(gè)特征根和 對(duì) 應(yīng) 的 標(biāo) 準(zhǔn) 正 交 特 征 向 量 為=2.920 U1 -(0.1485, -0.5735, -0.5577

14、, -0.5814)，2.920 U； =(0.1485, -0.5735, -0.5577, -0.5814)(1) 取公因子個(gè)數(shù)為2，求因子載荷陣(2) 用F1F2表示選取的公因子， ；2為特殊因子，寫出因子模型，說明因子載荷陣中元素aj的統(tǒng)計(jì)意義7在一項(xiàng)對(duì)楊樹的形狀研究中，測(cè)定了20株楊樹樹葉，每個(gè)葉片測(cè)定了四個(gè)變量X1,X2,X3,X4分別代表葉長(zhǎng)，葉子 2/3處寬，1/3處寬，1/2處寬，這四個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)矩陣的特征根和標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量分別為：1 =2.920 U1 =(0.1485, -0.5735, -0.5577, -0.5814)2 =1.024 U2 =(0.9544,

15、-0.0984,0.2695,0.0824)，3 =0.049 U3 =(0.2516,0.7733, -0.5589, -0.1624)4 =0.007U4 =(-0.0612,0.2519,0.5513, -0.7930)若按一般性原則選取主成分個(gè)數(shù)，請(qǐng)寫出主成分表達(dá)式，并計(jì)算每個(gè)主成分的方差貢獻(xiàn)率解：選取主成分的一般原則是特征值大于1或累積貢獻(xiàn)率達(dá)到 80%以上。據(jù)題選取兩個(gè)主成分，其表達(dá)式和貢獻(xiàn)率分別是：力=0.1485X1 -0.5735X2 -0.5577X3 -0.5814X4,貢獻(xiàn)率為=2.920y2 =0.9544X1 -0.0984X2 0.2695X3 0.0824X4,

16、貢獻(xiàn)率為-1.0248下表是進(jìn)行因子分析的結(jié)果,試根據(jù)表中信息寫出每個(gè)原始變量的因子表達(dá)式，并分 析是否需要對(duì)因子載荷旋轉(zhuǎn)。Comp onent MatrixComponent123X1.969-1.084E-02.205X2.911.321-.102X3.847-.120.323X4.941.281-2.693E-02X5.899.215-1.963E-02X6-.313.839.305X7-.6666.280E-02.679X8.575-.580.367Extractio n Method: Prin cipal Comp onent An alysis. a 3 comp onents extracted.解：由表F1F2F3X1.969-1.