微積分上機作業(yè)

1、微積分上機實驗報告學(xué)生系別: 學(xué)生專業(yè): 學(xué)生班級: 學(xué)號姓名: 指導(dǎo)老師:2012年5月28號選作第2題、第6題2、題目：(數(shù)值積分)人造地球衛(wèi)星的軌道可視為平面上的橢圓，地心位于橢圓的一個焦點處.已知一顆人造地球衛(wèi)星近地點距地球表面 439 km遠(yuǎn)地點距地球表面2384 km,地球半徑為6371 km求該衛(wèi)星的軌道長度.2 2卑 £ =1 (焦點在X軸)。函數(shù)每給X 一個值都有唯一的一個值與a b之對應(yīng)，而橢圓確有2個值，所以橢圓不屬于函數(shù)，故將橢圓分為上下兩部分，上下兩部分分別為算法：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:函數(shù)，先求出上半橢圓的長度，再乘兩倍既是橢圓的長度。2 2電乂 = 1 (y&

2、gt;=0),兩邊對x求導(dǎo)有:a b上半橢圓方程:2-b x =f (x) = -ba y構(gòu)造上半橢圓的弧微分ds二-J f '2(x)二v 4b2，作為積分微元。采用數(shù)值積分的方法,a a x通過for循環(huán)語句在積分域內(nèi)構(gòu)造很多個小長方形，以這些長方形面積之和代替積分?jǐn)?shù)值。當(dāng)步長很小，長方形個數(shù)很多時，長方形面積之和則很接近這個積分的數(shù)值。運用C語言編寫程序，定義數(shù)值積分函數(shù)，采用 for循環(huán)語句，依據(jù)精度的不同設(shè)置不同的步長,依次求和，即可計算出近似結(jié)果，得到橢圓長度。 在編寫程序之前，計算橢圓的長半軸和焦距的一半的長度：長半軸 a=(439+2384+6371*2)/2=7782

3、.5焦距的一半 c=a-6371-439=972.5短半軸 b=a*a-c*cC 語言源程序：#include<stdio.h> #include<math.h>#define a 7782.5#define c 972.5#define b sqrt(pow(a,2)-pow(c,2)#define n 1.0e-3main()double L=0,x,f;for(x=-99999*a/100000;x<a;x+=n) f=sqrt(1+pow(b,2)*pow(x,2)/(pow(a,4)-pow(a,2)*pow(x,2);L=L+f*n;L=L*2;pri

4、ntf(" 衛(wèi)星的軌道長度為 :");printf("%lfn",L);結(jié)果：分析：對于這個程序，當(dāng) x 取值到 -a 時，積分微元的分母為零，對應(yīng)的 y 值為 0，所以在程序中， x 最初 取值為-99999*a/100000。當(dāng)這個值越接近-a時，計算出來的值越接近真實值。同時，在程序中， 步長越小，分出的小矩形越多，計算出的值越接近真實值。但是隨著步長的減小，運算量會增加， 運算時間也會增長，例如，本程序中 n=1.0e-3 ，如果取 n=1.0e-4 時，運算時間大大加長，這是該 程序的不足之處。6題目：（最小二乘法）（1）假設(shè)t時刻人口增長速度

5、與t時刻人口總數(shù)p（t）成正比，比例系數(shù)為k,求t時刻人口總數(shù)。（2）據(jù)統(tǒng)計，六十年代人口增長情況如下表:年196019611962196319641965196619671968人口（百萬）297230613151321332343285335634203483試求出最佳擬合曲線，并預(yù)測2020年時的世界人口（3）能否用該模型作長期人口預(yù)報？為什么？怎樣改革該模型？kt+b解：（1）p=e（2）y=logp=kt+b，即能體現(xiàn)線性關(guān)系，通過最小二乘法建立經(jīng)驗公式，通過MATLAB件可求出該直線方程。算法：1、首先畫出散點圖；2、其次觀察圖中點的分布規(guī)律，確定為線性關(guān)系，求出函數(shù)表達(dá)式；n23

6、、 最后求出f（t）與測量值y j的偏差的平方和Q='（f（tj）_yj）i =1令Q取最小值，便可確定f （t）表達(dá)式中的未知參數(shù)，從而得到f （t ）。函數(shù)關(guān)系：y=kt+b，其中常數(shù)k，b待定。由最小二乘法知，問題變?yōu)榍蠖瘮?shù)Q （k，b）9 2八（ktb-yj的最小值。i呂j利用多元函數(shù)極值的必要條件，得¥=2（kti by） ti=0Q 9¥=（" b"） =0整理化簡，得唯一駐點 k=0.0186，b=-28.4331依據(jù)問題的實際意義，Q （k，b）定有最小值，且駐點唯一，所以（0.0186，-28.4331 ）為Q （k，0.0

7、186t-28.4331b）的最小值點，所求經(jīng)驗公式 y=0.0186t-28.4331 ，p=Q9.1389當(dāng) t=2020 時，y=9.1389，則 p=eMATLAB?序：先編寫程序得到最佳擬合曲線（此為程序截圖）：通過plot函數(shù)得到圖形：所得圖形趨近于一條直線，直線方程：y=kx+b。接著編寫程序，通過polyfit函數(shù)得到線性方程的一次項系數(shù)和常數(shù)項值(此為程序截圖)：y=kt+b 其中 k=0.0186b=-28.4331即 y=0.0186t-28.4331當(dāng) t=2020 時，y=9.1389，貝U p二©89預(yù)測2020年時的世界人口為e9.1389人。(3)不能用該模型作長期人口預(yù)報，因為沒有考慮到其因素的影響，比如說經(jīng)濟(jì)因素、文化因素、醫(yī)療衛(wèi)生因素、自然資源因素等?？梢圆捎孟铝心Ｐ?，或其綜合：邏輯斯蒂克人口模型：以Nm記自然資源和環(huán)境條件所能允許的最大人口數(shù)。把人口增長的速 率除以當(dāng)時的人口數(shù)稱為人口的凈增長率。人口的凈增長率隨著N(t)的增加而減小，且當(dāng)N(t) > Nm時，凈增長率趨于零。因此人口方程可寫成：其中r為常數(shù)。模型(8.2 )稱為邏輯斯蒂克人口模型。人口模型應(yīng)當(dāng)包含對人口產(chǎn)生主要影響的因素：生育率、死亡率、年齡結(jié)構(gòu)、男女比例。建立Leslie人口模型，充分反應(yīng)生育率、死亡率、年齡結(jié)構(gòu)、男女比例等影響人