等積法求體積點到面的距離教師版

1、等積法求體積點到面的距離【教師版】等積法求三棱錐的體積【教師版】由于三棱錐是由4個三角形圍成的四面體，任何一個三角形都可以看成其 底面。但在求體積時需要選擇合適的底和高，這就需要靈活換底面，但是三棱 錐的體積保持不變。這種方法我們稱為“等積法”，它是三棱錐求體積的巧妙 方法，也是其“專屬產(chǎn)品”。其他的，如四棱錐求體積就不能隨意換底，不能 用等積法求體積。另外，等積法的優(yōu)越性還體現(xiàn)在求“點到平面的距離”中?！咀⒁狻康确e法求體積時，要謹(jǐn)記“先證后求”的原則，先作出或證明底 面的高，再計算三棱錐的體積。例1(本小題滿分14分)如圖：邊長為2的正方體中； 妨C與相交于點(XI】)求證：BCJ!平面AA

2、.D.D :(2) 求證；枚C】丄平面BDC.18.(本小題滿分14分(1)證明*連結(jié)D,-正方體 4目中-AB/D.qJSLAB D.C,(3) 求四面體-BDC.的體積+二ABC,D是平行四邊形二 BCJl ADr 2分在平面AA.D.D外.川D在平面AAD內(nèi)BCJ!平面 AA.DXD. 4分等積法求體積點到面的距離【教師版】(2)證明*正方體ABCD-AC 中.甘G丄場C 5分DC 1BC DC 丄 GC二 DC 丄平面 BCCxBtA DC 丄 BCX .7 分v B.C與DC相交于點(？/. SC,丄平面B.DC, *夕分解：正方體ABCD- AC.D.中S皿心 冷BBi也G =2

3、. *K)分、點D到平面BBXC.的距壽尊于點D到平面BB.C.C的距離.為:L 12分I4*化 y斷皿,= jx2x2=j14 分例2.( 2011xx 中三校聯(lián)考)如圖，已知三棱錐 A BPCxx API PC ACL BCM為AB中點，D為PB中點，且 PMB為正三角形。(I) 求證：DM/平面APC(H)求證：平面 ABCL平面APC(皿)若BC= 4, AB= 20,求三棱錐D BCM的體積.例2.解：(I)由已知得，是 ABP的中位線2分MD 二面APC, AP 面APC4分(H)為正三角形，D為PB的中點，,5 分6 分等積法求體積點到面的距離【教師版】BC 面 PBCAP _

4、BC又9分平面ABCL平面APG 10分(皿)T,是三棱錐M DBC的高，且MD=- 11分又在直角三角形 PCBxx由PB= 10，BC= 4,可得PC= 12分于是=, 13分=14分例3.(茂名2010二模)如圖，在底 面是菱形的四棱錐SABCDxx SA=AB=2(1) 證明：平面SAC(2) 問：側(cè)棱SDxx是否存在點E,使得SB/平面ACE請證明你的結(jié)論;(3) 若，求幾何體A SBD的體積。例3.解：(1)四棱錐S ABCD底面是菱形,且 AD=AB又 SA=AB=2SA2 AB2 =SB2,SA2 AD2 =SD2又， 2 分平面ABCD平面ABCD從而SABD 3分又，平面

5、SAC。 4 分(2) 在側(cè)棱SDxx存在點E,使得SB/平面ACE其中E為SD的中點 6分證明如下：設(shè)，則0為BD的中點，又E為SD的中點，連接0E則為的中位線。 7 分，又平面AEC SB平面AEC 8分平面 ACE 10 分( 3)當(dāng)時， 12 分幾何體A SBD的體積為14分點到面的距離一、知識點 （求點到面的距離主要方法：）（1）直接法：由定義作出垂線段并計算，用線面和面面垂直的判定及性質(zhì) 來作；（2）轉(zhuǎn)移法：若直線平面，則直線上任意一點到平面的距離相等；（3）等體積法：用同一個三棱錐選不同底計算體積，再求高，即點到面的 距離。二、基礎(chǔ)熱身1、在棱長為的正方體中找出表示下列距離的垂線

6、段 :直接法：（1）點到面的距離；（2）到面的距離；（3）點到面的距離（4）求 C 到平面的距離。轉(zhuǎn)移法：棱長為 1 的正方體中，分別是棱中點，求點到平面的距離提示：因為，所以點到平面的距離即為點到平面的距離。作，證明。【活學(xué)活用】3、在棱長為1的正方體中，E,F分別為棱和CD的中點，求點F到平面的距離。提示：法一直接法：將三角形擴(kuò)大到平行四邊形，高。取的中點G,連接、EG過F作垂線FHLo可以證得EG/，所以平面，即平面?？梢宰C得EG!平面，所以EGL FH由 FHL、EGL FH, EG A = G 可知 FHL平面所以FH即F到平面距離根據(jù)勾股定理可以求得：，SA - SA - SA F

7、GC又知：的面積 二S四邊形,°法二：轉(zhuǎn)移法：平面，作等積法求點到面的距離:4. 已知在棱長為1的正方體中，E、F分別是、CD的中點，求點B到平面 的距離。C'等積法3三、知識運(yùn)用例1：如圖四棱錐，面,是線段上一點,(1)證明：(2)求點的距離EX1如圖，在邊長為a的菱形ABCDxx , E,F是PA和AB的xx點。（1 ）求證： EF/ 平面 PBC ;（2）求E到平面PBC的距離。提示：由（ 1）知 EF/ 平面 PBC，所以E到平面PBC的距離等于點F到平面PBC的距離，即為所求。例 2: （2010xx 卷）如圖，在四棱錐 P-ABCDxx PDL平面 ABCD PD

8、=DC=BC=1 AB=2 AB/ DC / BCD=900 求點 A到平面 PBC的距離。解析（方法一）分別取 AB PC的中點E、F, xxDE DF,貝卩：易證DE/ CB DE/平面PBC點D E到平面PBC的距離相等。又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。由（1）知：BCL平面PCD所以平面PBCL平面PCD于 PC因為PD=DC PF=FC所以DF! PC所以DF丄平面PBC于 F。等積法求體積點到面的距離【教師版】xxDF二，故點A到平面PBC勺距離等于。（方法二）等體積法：連結(jié) AC設(shè)點A到平面PBC的距離為h。因為 AB/ DC / BCD=9O0 所以/

9、ABC=900從而AB=2 BC=1得的面積。由PDL平面ABCD及 PD=1,得三棱錐P-ABC的體積。因為PDL平面 ABCD DC平面ABCD所以PDL DC又 PD=DC=1 所以。由PCLBC BC=1得的面積。由 得故點A到平面PBC的距離等于。EX2: （2010xx文數(shù)）如圖4 ,弧AEC是半徑為的半圓，AC為直徑，點E為 弧AC的中點，點B和點C為線段AD的三等分點，平面AEC外一點F滿足FC平 面 BED,FB=（1）證明：EBFD（2）求點B到平面FED的距離.【解析】（1）證明：點B和點C為線段AD的三等分點，點B為圓的圓心等積法求體積點到面的距離【教師版】又TE是弧A

10、C的中點，AC為直徑，即T平面，平面，又平面，平面且 平面又T平面， (2)解：設(shè)點B到平面的距離(即三棱錐的高)為.平面，二FC是三棱錐F-BDE的高，且三角形FBC為直角三角形由已知可得，又 在 xx ，故 ,*5又T平面，故三角形EFB和三角形BDE為直角三角形，在 xx ， , ,即，故，即點B到平面的距離為.等積法求體積點到面的距離【教師版】備用題:1、四棱錐P-ABCDxx底面ABC為直角梯形，PD底面ABCD PD二DC二BC=AB=2AB| CD, ABC=90，求點D到平面PAB的距離.2、四棱錐P-ABCDxx底面ABCD正方形，PA底面ABCD AB=分別求點C與點D到平面PAB的距離.3、如圖幾何體是由正方體 ABCD-A1B1D與四棱錐E-A1B1D1組成，E為CC1 的xx上一點，且EC1二CC,1AB=2 M為EB1的中點，求點M到平面 ACD1的距離.4、如圖BCD與 MCDfE是邊長為2的正三角形，平面 MCDP面BCD AB平面BCD求點A到平面MCD勺距離.5、圓錐如圖5所示，圖6是它的正（主）視圖.已知圓的直徑為，是的中點,為的中點.等積法求體積點到面的距離【教師版】(1)求該圓錐的側(cè)面積；(2)證明：；(3)求點