1.1定積分背景——面積和路程問(wèn)題

1、4.1.1 定積分背景面積和路程問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)課件 4.1.1 定積分背景面積和路程問(wèn)題是選用的北師大版高中數(shù)學(xué)選修 2-2 第四章第一節(jié)的內(nèi)容。教學(xué)過(guò)程 :一、問(wèn)題引入 師：1.求湖泊的面積： 師：對(duì)于哪些圖形的面積，大家會(huì)求呢？（學(xué)生回憶，回答） 師：對(duì)于曲邊圍成的圖形（曲邊梯形）的面積如何來(lái)求呢？（一問(wèn)激起 千層浪，開(kāi)門見(jiàn)山，讓學(xué)生明確本節(jié)課的所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，對(duì)于學(xué)生未 知的東西，學(xué)生往往比較好奇，激發(fā)他們的求知欲）今天我們一起來(lái)探 究這種曲邊圖形的面積的求法。二、學(xué)生活動(dòng)與意義建構(gòu) 先提問(wèn)：?jiǎn)栴} 1、我們古代的數(shù)學(xué)家是怎樣計(jì)算圓的面積的？圓周率是如何確定的？1、讓學(xué)生自己回憶，探求，討論

2、（ 34 分鐘）2、讓學(xué)生說(shuō)出自己的想法希望學(xué)生說(shuō)出以長(zhǎng)方形的面積近似代替曲邊梯形的面積，但誤差很大， 如何減小誤差呢？希望學(xué)生討論得出將曲邊梯形進(jìn)行分割， 形成若干個(gè) 曲邊梯形。（在討論的過(guò)程中滲透分割的思想） 師：如何計(jì)算每個(gè)曲邊梯形的面積呢？ （通過(guò)討論希望學(xué)生能出以下二 種方案，在討論的過(guò)程中，讓學(xué)生想到以直代曲，給學(xué)生創(chuàng)新的機(jī)會(huì)）方案二萬(wàn)案一方案一：用一個(gè)矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積，梯形分割的越多, 三角形的面積越小，小矩形的面積就可以近視代替曲邊梯形的面積。方案二：用一個(gè)大矩形的面積來(lái)近似代替曲邊梯形的面積，梯形分割的 越多，三角形的面積越小，大矩形的面積來(lái)近似代替曲邊梯形的

3、面積。（對(duì)于其中的任意一個(gè)曲邊梯形，我們可以用“直邊”來(lái)代替“曲邊”（即在很小的范圍內(nèi)以直代曲），這三種方案是本節(jié)課內(nèi)容的核心，故 多花點(diǎn)時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生探求，討論得出，讓學(xué)生體會(huì)“以曲代直”的思想, 從近似中認(rèn)識(shí)精確，給學(xué)生探求的機(jī)會(huì)） 師：這樣，我們就可以計(jì)算出任意一個(gè)小曲邊梯形的面積的近似值，從 而可以計(jì)算出整個(gè)曲邊梯形面積的近似值，（求和），并且分割越細(xì), 面積的近似值就越精確，當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無(wú)限逼近所 求的湖泊的面積。如何求這個(gè)湖泊的面積，以方案一為例: 分割細(xì)化將區(qū)間a.b等分成n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為多少（學(xué)生回答）， 過(guò)各個(gè)區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到n個(gè)小曲

4、邊梯形，它們的面積 分別記作ASi 。以直代曲 對(duì)區(qū)間a.b上的小曲邊梯形，以區(qū)間左端點(diǎn)Xi斗對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（Xi為一 邊的長(zhǎng)，以&i為鄰邊的長(zhǎng)的小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。（當(dāng)分割很細(xì)時(shí)，在a.b上任一點(diǎn)的函數(shù)值作為矩形的一邊長(zhǎng)都可以,常取左右端點(diǎn)或中點(diǎn)，這樣為以后定積分的定義埋下了伏筆，為學(xué)生的 解題提供了方法） 作和因?yàn)槊總€(gè)小矩形的面積是相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以每個(gè)小 矩形面積之和就是所求曲邊梯形面積 的近似值:逼近3、分成兩組，分別以方案一、方案二按上述四個(gè)步驟重新計(jì)算曲邊梯形的面積，并將操作過(guò)程和計(jì)算結(jié)果與方案一進(jìn)行比較。（設(shè)計(jì)的目的是培養(yǎng)學(xué)生的合作交流的

5、能力，優(yōu)化解題方案） 師：請(qǐng)用流程圖表示求曲邊梯形面積的過(guò)程4、反思（如何分在求曲邊梯形面積過(guò)程中，你認(rèn)為最讓你感到困難的是什么?割，求和逼近是兩大難點(diǎn)）（在新課程的課堂教學(xué)過(guò)程中，經(jīng)常性地問(wèn)學(xué)生一些這樣的問(wèn)題，可以讓學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程起到一個(gè)自查作用，查漏補(bǔ)缺，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué) 習(xí)數(shù)學(xué)的自查意識(shí)是一個(gè)很好的途徑，也可以活躍課堂氣氛） 三、數(shù)學(xué)應(yīng)用1、典型例題n師：在方案一中，和式5： f（XiJMXi表示曲邊梯形的面積的近似值， 這i丄一和式不僅是有直觀的幾何意義，還有豐富的實(shí)際背景。例1:求變速運(yùn)動(dòng)的路程一輛汽車在直線形公路上變速行駛，汽車在時(shí)刻t的速度為v（t） = t2+ 5（單位：km

6、/h）.試估計(jì)這輛汽車在0<t <2（單位：h）這段時(shí)間內(nèi)行 駛的路程 解：將區(qū)間0,2等分成n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為 -，在每個(gè)小n區(qū)間上取一點(diǎn)Xi-1，雖然汽車的速度不是常數(shù)，但在一個(gè)小區(qū)間內(nèi)其變 化很小，可以用f（Xi-i）來(lái)近似代替火箭在第i個(gè)小區(qū)間上的速度，這樣,火箭在第i個(gè)時(shí)段內(nèi)運(yùn)行的路程f（Xi4）AXin從而 火箭在0,2內(nèi)運(yùn)行的路程總和£ f（Xi_L）Mxj7這就是函數(shù) 在時(shí)間區(qū)間0,2上按（*）式所作的和的實(shí)際背景。（由于學(xué)生初次遇到這類問(wèn)題，語(yǔ)言表達(dá)比較困難，故教師在教學(xué)過(guò)程 中最好采用對(duì)話式教學(xué)，邊說(shuō)邊寫，規(guī)范板書）（設(shè)計(jì)這道例題的目的，一是培養(yǎng)學(xué)生的文字表達(dá)能力，二是讓學(xué)生體 會(huì)數(shù)學(xué)在物理上的應(yīng)用，也為后面的定積分的物理意義變力所做的功, 變速運(yùn)動(dòng)的位移埋下伏筆） 學(xué)生練習(xí)：課本P46練習(xí) 四、回顧反思 知識(shí)點(diǎn):求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟； 數(shù)學(xué)知識(shí)在物理上的應(yīng)用。反思消化：對(duì)今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容，你覺(jué)得有什么困難?在以前的學(xué)習(xí)過(guò)程中，有哪些地