2013北師大版選修2-1第三章圓錐曲線與方程綜合檢測(cè)題及答案解

1、綜合檢測(cè)（三）第三章圓錐曲線與方程滿分：120分）5分，共50分.在每小題給出的四（時(shí)間：90分鐘一、選擇題（本大題共10小題，每小題 個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.2 2八1D3A.2B 兀C. 1D . W：3x k B 1 . c o m【解析】右焦點(diǎn)F（1,o）,.心.【答案】B2 22.橢圓X9+著一1的焦點(diǎn)為F1、F2, AB是橢圓過(guò)焦點(diǎn)Fi的弦，則 ABF21.橢圓X4 +卷二1的右焦點(diǎn)到直線 尸 3x的距離是（）的周長(zhǎng)是（）A. 20B . 12C. 10D. 6【解析】由橢圓的定義知： ABF2的周長(zhǎng)為4X 5 = 20.【答案】A3. 若雙曲線過(guò)點(diǎn)（m, n）（m

2、>n>0），且漸近線方程為y= ix，貝U雙曲線的焦點(diǎn)（）A .在x軸上B. 在y軸上C. 在x軸或y軸上D. 無(wú)法判斷是否在坐標(biāo)軸上【解析】°和> n>0,點(diǎn)（m, n）在第一象限且在直線y=x的下方，故焦點(diǎn)在x軸上.【答案】A24. 雙曲線4y 2 & 丄一iA.4 - 5-i= 1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. （ ± 3, 0）B . （0, 土. 3）C. （ ± 5, 0）D . （0, 土. 5） 2【解析】依題意a= 2, b= 1,所以c=a2+5,又因?yàn)殡p曲線鄉(xiāng) y2= i的焦點(diǎn)在x軸上，所以，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±5

3、, 0）.【答案】5.拋物線y= gx2的準(zhǔn)線方程是（y= 2c. y=32【解析】由丫= £x2，得x2二一8y,故準(zhǔn)線方程為y= 2.【答案】26.已知 Pi（xi, yi）, P2（X2, y2）, P3（x3, y3）是拋物線 y= 2px 上的三點(diǎn)，點(diǎn) F 是拋物線y2 = 2px的焦點(diǎn)，且|PiF| + |P3F匸2|P2F|,則（）A . X1 + X3>2x2B. xi + X3= 2x2C. xi + X3<2x2D . xi + x3與2X2的大小關(guān)系不確定【解析】1PFi|=xi + 2, |PF2匸X2+p, |PF3|= X3+2, xi + X

4、3= 2X2.【答案】 B7. （20i3東高考）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線 C的右焦點(diǎn)為F（3,0），離心率3等于3則c的方程是（）12 2x yC C.252 2D. x-y【解析】右焦點(diǎn)為F(3,0)說(shuō)明兩層含義：雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上；c= 3.c又離心率為-a3 2 23,故 a = 2, b2= c2 a2 = 32 22 = 5, 故C 的方程為專(zhuān)y = 1,選B.【答案】B2 28 .過(guò)雙曲線拿2= 1(a>0, b>0)的右頂點(diǎn)A作斜率為1的直線，該直線1與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為b, c.若AB =-BC，貝u雙曲線的離心率是 ()B. ,3D.10A. .2C

5、. 5【解析】對(duì)于A(a,O)，則直線方程為x+ y a= 0,直線與兩漸近線的交點(diǎn)2 . 2a ab a為 B, C,可求得 B( , -), C(a+b a+bab2 2ab _亠 2a b 2a b),貝U有BC= G 2, 2)， a ba b a b冷 ab ab .AB=(a+b，a+)，因AB = 2北，故有一aba2b 2,=2a+ b a b即 b= 2a,故 e=a=ba故選C.【答案】C2 29.雙曲線乍一y2= 1a b2的離心率為8,雙曲線存一2x2= 1的離心率為e2,貝U eia+良的最小值為()A. 4 2C. 2 2【解析】(e1 + e2)22 2=ei+

6、e2 + 2eie2> 2 + 2 + 2X 2 = 8.當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)取等號(hào).故選C.【答案】C10. 在正方體ABCD AiBiCiDi中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直線BC與直線CiDi的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是()A .直線B .拋物線C.雙曲線D .圓【解析】 易知點(diǎn)P到直線CiDi的距離為PCi, Ci是定點(diǎn)，BC是定直線.據(jù) 題意，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)Ci的距離等于到定直線BC的距離.由拋物線的定義，知 軌跡為拋物線.故選B.【答案】B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線 上)2 211. 已知圓c過(guò)雙曲線9為=i的一個(gè)頂點(diǎn)

7、和一個(gè)焦點(diǎn)，且圓心在此雙曲線上，貝u圓心到雙曲線中心的距離是.【解析】由雙曲線的幾何性質(zhì)易知圓C過(guò)雙曲線同一支上的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，W7i6所以圓C的圓心的橫坐標(biāo)為4.故圓心坐標(biāo)為(4,±丁).易求它到中心的距離為 亍【答案】晉2 212. 已知A(4,0)，B( 3，,3)是橢圓；X5+ <9 = i內(nèi)的點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則|MA|+ |MB|的最小值是.【解析】由題意知A(4,0)是橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為點(diǎn)C，則C( 4,0)，A|MA|+ |MB|= 10 (|MC| |MB|)> 10 |BC|= 10 ' 3 + 4 2+3 02 = 10 2 = 8.

8、【答案】813. 拋物線形拱橋，當(dāng)水面離橋頂 2 m時(shí)，水面寬4 m,若水面下降1 m時(shí)，則水面寬為 . 新I課I標(biāo)I第I 一 I網(wǎng)【解析】設(shè)拋物線方程為X2二2py(p>0)，由題意知，拋物線過(guò)點(diǎn)(2,2),-4= 2p X 2.p= 1， x =一 2y.2當(dāng) yo= 3 時(shí)，得 xo= 6.水面寬為2X°I = 2寸6 m.【答案】 2.6 m14. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知 ABC頂點(diǎn)A( 3,0)和 C(3,0)，頂點(diǎn)B2 2在橢圓務(wù)+話=1上，則sin A+ sin Csin B2 2【解析】由已知得點(diǎn)a，c為橢圓25+16= 1的焦點(diǎn),由正弦定理得sin A

9、+ sin C |AB|+ |BC| 2X 5 _snBjACj=""6_5_ 3-三、解答題(本大題共4小題，共50分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或 演算步驟)2 215. (本小題滿分12分)(2013大連高二檢測(cè))已知橢圓字+存=1(a>b>0)的 J2離心率為2，右焦點(diǎn)為F(1,0).(1) 求此橢圓的方程；n、.(2) 若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為4的直線與此橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，求ABI的值.【解】(1)由£ = ¥，c= 1 得 a=/2，b= 1，X22橢圓方程為2 + y2二1.2X 2.丄邁+y= i，2由得3x -4x= 0,y

10、= x- 1,4解得 X1 = 0, X2= 3. 2|xi X2|= 4'3_216. （本小題滿分12分）求以（1, 1）為中點(diǎn)的拋物線y2 = 8x的弦所在直線的 方程.【解】設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A（X1， y1）， B（x2， y2）,y1 = 8x1則-X1+ X212 1由y1 + y2X1+ X2 2，得y + y2- 2y2 y1 kAB X2 X1由，得(y2 + y1)(y2 y1) 8(x2X1),y2-y18. X2 X1y2 + y1將代入上式可得kAB 4.弦所在直線方程為y+ 1 = 4(x1),即 4x+ y 3 = 0.17. (本小題滿分12分)已知過(guò)

11、拋物線y 2 18.(本小題滿分14分)(2013天津高考)設(shè)橢圓J+ *= 1(a>b>0)的左焦點(diǎn) 為F，離心率為才，過(guò)點(diǎn)F且與X軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為4.(1)求橢圓的方程； = 2px(p>0)的焦點(diǎn)F的一條直線交 拋物線于A(x1, y1), B(x2, y2)兩點(diǎn).求證：1 1(1)X1X2為定值；(2)亦+ Fb為定值.【證明】(1)拋物線y2= 2px(p>0)的焦點(diǎn)為F p, 0 ,當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線 AB的方程為y= kx 2 (kM0),2 2 2代入拋物線方程，得k2x2 p(k2 + 2)x+ 4 = 0,故X1X2 = 4(定

12、值).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，AB丄x軸，X1= X2= p,2'X1X2= 4也成立.(2)由拋物線的定義知，F(xiàn)A=xi +結(jié)合可得fa+p 21 +-X1 + X2 + p+ X2 + X1X2 +X1+ X2+ p2=pXl + X2 + 與X1 + X2+ pp X1+ X2 + p2m定值)C, D兩點(diǎn).若AC DB + AD Cb = 8,求k的值.【解】設(shè)F( c,0)，由£=彳，知a= , 3c._ 2 2過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為x= c,代入橢圓方程有一活- + *= 1,解得于是2 k2 + 126+ b 1.c O m2+ 3k2 '36b=弩，解得b= 2.又 a2 c2= b2,從而 a= 3, c= 1,2 2所以橢圓的方程為x+鄉(xiāng)二1.設(shè)點(diǎn)C(xi, yi), D(X2, y2),由F( 1,0)得直線CD的方程為 尸k(x + 1),k(x+ 1 ,由方程組 x2 y2消去 y,整理得(2 + 3k2)x2 + 6k2x+ 3k2 6= 0.G + 2 =1由根與系數(shù)的關(guān)系可得X1 + X26k22 + 3k2,23k2 6X1x2 =2.2 + 3k2因?yàn)?A( .3, 0), B( .3, 0),所以 AC DB+ AD CB=(X1+