向量的加法的教學設計

1、向量的加法的教學設計江蘇省邳州市宿羊山高級中學 黃靜（221354）一 設計思想：1 本節(jié)課采用“支架式（scaffolding）”教學模式。scaffolding本意是建筑行業(yè)的腳手架，這里用來形象的說明一種教學模式：教師引導著教學的進行，使學生掌握、建構和內(nèi)化所學的知識技能，從而使他們進行更高水平的認知活動。簡言之，是通過支架（教師的幫助）把管理學生學習的任務逐漸由教師轉(zhuǎn)移給學生自己，最后撤去支架。數(shù)學課程標準倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式。顯然，“支架式”教學模式符合新課標的理念。在本節(jié)課中，教師通過五個問題情景，為學生的學習創(chuàng)設一個又一個“腳手架”。學生通過

2、自主探索，合作交流，理解了向量的加法及其性質(zhì)產(chǎn)生過程，明白了其中蘊涵的思想方法。通過例題及其變式練習為學生靈活運用向量加法的兩個法則再創(chuàng)設“腳手架”。2重視合情推理能力的培養(yǎng)。所謂合情推理，就是合乎情理，好似為真的一種推理，它是相對于演繹推理而言的。演繹推理的主要方式是分析、綜合、演繹、概括、完全歸納、等價變換；合情推理的主要方式是縱橫類比、不完全歸納、情景回歸、低維化、特殊化等。合情推理雖不像演繹推理那樣嚴謹，不能作為數(shù)學證明，所得的結(jié)論也不一定正確，但運用合情推理常能得到與演繹推理相同的結(jié)果。正因為如此，合情推理被廣泛地應用與科學、生產(chǎn)和社會研究之中，是科學發(fā)現(xiàn)、發(fā)明創(chuàng)造、揭示真理和生產(chǎn)經(jīng)

3、營決策的有力武器。數(shù)學課程標準在選修22的第二部分推理與證明里指出：結(jié)合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用。也就是說，合情推理的內(nèi)容不僅局限于分布在教材中各個章節(jié)的隱含的個案，新的課程標準已經(jīng)把合情推理作為選修的一部分內(nèi)容來處理。本節(jié)課中，通過類比位移的合成引入向量的加法，通過一個個特殊的例子探索向量加法的性質(zhì)、規(guī)律，都體現(xiàn)了對學生合情推理能力（主要是類比和不完全歸納）的培養(yǎng)。當然，合情推理畢竟是一種或然推理，對其猜想出的結(jié)果盡量要做理論上的驗證，如性質(zhì)1的猜想與論證、例2兩種方式的到達時間的比較就體現(xiàn)了合

4、情推理與演繹推理的完美結(jié)合。3重視對學生提出問題能力的培養(yǎng)。愛因斯坦說過：“提出一個問題比解決一個問題更重要。”著名美籍華人學者楊振寧教授在比較中、外留學生有哪些不同時曾提出，中國學生普遍成績比較出色，特別是在數(shù)學運算和推理方面比國外學生有明顯優(yōu)勢，但中國學生最大的缺憾就是不善于提出問題，缺乏創(chuàng)新精神。而學生自主學習，善于發(fā)現(xiàn)、提出問題和解決問題，從而有所感悟、有所創(chuàng)新的能力，正是下一個世紀具有競爭力人才的關鍵素質(zhì)所在。由此可見，提出問題的能力的培養(yǎng)是當務之需，每一節(jié)課上都要盡可能的讓學生自己提出一些問題。如本節(jié)課中，通過創(chuàng)設問題情景，給學生提出問題創(chuàng)設一個良好的氛圍；通過問題的變式引申，給學

5、生提供一些提出問題的方法；通過課堂的適度“布白”臺北香港上海給學生提出問題提供時間的保證；通過創(chuàng)設有爭議的問題，給學生提出問題提供鍥機。 二教學過程（一）創(chuàng)設情景，導入課題問題情景一：如圖1（多媒體投影），由于大陸和臺灣沒有直航，因此2003年春節(jié)探親，乘飛機要先從臺北到香港，再從香港到上海，這兩次位移之和是什么？學生（齊答）：這人兩次的位移的和是從臺北到上海。教師：如果設A為臺北，B為香港，C為上海，你能用數(shù)學語言敘述這一現(xiàn)象嗎？ 圖1學生1：,并畫出如圖2所示的示意圖。教師：你能總結(jié)這種加法規(guī)則的規(guī)律嗎？學生2：如果一個有向線段的終點和另一個有向線段的起點相連，那么它們相加的結(jié)果是 圖2以

6、前一個有向線段的起點為起點，后一個有向線段的終點為終點的有向線段。教師：很好！我們可以用八個字概括：“尾首相接，首尾相連”。教師：在物理中，位移是一個矢量，也就是數(shù)學中的向量，上面叫做兩個向量的和。對于兩個尾首不相連的向量，我們怎么定義兩個向量的和呢？(畫出如圖3兩個向量和)。學生3：可以將向量平移，使它的起點與向量的終點重合，然后就和上面的一樣了。教師：很好！這就是化歸與轉(zhuǎn)化的思想， 圖3即把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、已經(jīng)解決的問題中來。教師：能不能平移向量呢？學生：可以。（投影出向量加法的三角形法則）1向量加法的定義作法（1）如圖4，在平面內(nèi)任取一點O;（教師：當然根據(jù)向量相等的定義，我

7、圖4們還可以在平面上任意選一點O）(2);（多媒體動態(tài)演示平移的過程）。 .求兩個向量和的運算叫做向量的加法，這種作法叫做向量加法的三角形法則。要點：尾首相接，首尾相連。設計說明：教育家蘇霍姆林斯基說過：“教師如果不想方設法使學生產(chǎn)生情緒高昂和智力振奮的內(nèi)心狀態(tài)，而是不動情感的腦力勞動，就會帶來疲倦，處于疲倦狀態(tài)下的頭腦，是很難有效地吸取知識的。”因此，創(chuàng)設一個有趣的情景，目的在于激發(fā)學生學習的興趣，體驗向量加法法則的產(chǎn)生過程。 問題情景2：當向量和共線時，三角形法則是否適合?教師給出如圖5兩組向量和，找兩個同學到黑板上按照“尾首相接， 圖5首尾相連”的原則作出。學生4很順利的完成了向量和同向

8、時的情況，學生5在作向量和異向時的情況時出現(xiàn)了錯誤，教師引導學生訂正，進一步強調(diào)這種法則的要義。并借助幾何畫板給出如圖6動態(tài)的示意圖，進一步說明這種法則滿足向量共線時的情況。 圖6設計說明：通過電腦動畫的展示，進一步讓學生明白向量加法對共線向量一樣適用。二搭建支架，導出性質(zhì)問題情景3：學生（齊答）：相等。投影：學生6：相等。教師：等于什么？學生6：0。下面有很多學生說不對，是。教師：注意兩個向量相加的結(jié)果仍然是一個向量。投影：。（3）你能總結(jié)出一般規(guī)律嗎？給個名字。學生7：，加法交換律（教師投影）。教師：這只是一個猜測，怎么驗證呢？學生議論,用圖形，很多同學在說。（4）如圖3所示的向量和，請兩

9、位同學分別作出和。兩位同學在黑板上作圖如圖7（1）、（2）： 圖7(1) 圖7(2) 圖7(3)教師：和相等嗎？學生（齊聲）：相等。教師：為什么？學生10：因為兩個圖形正好能拼成一個平行四邊形。教師：很好！多媒體顯示圖7(1)、7(2)經(jīng)過平移，恰好構成平行四邊形的過程。教師：這就是我們比較熟悉的力學中關于力的合成與分解的平行四邊形法則，它告訴我們在求兩個向量的和時，可以把它們平移至同一起點的位置，利用平行四邊形法則作出向量的和。（投影）平行四邊形法則的定義：若向量與是不共線向量，將向量與的起點平移到同一點O（如圖7（3），作平行四邊形OABC，則。這個法則叫平行四邊形法則。設計說明：通過特殊

10、例子歸納出一般規(guī)律，旨在培養(yǎng)學生的合情推理能力。通過學生自己動手驗證，培養(yǎng)學生主動探索、動手實踐、嚴謹思維的能力。教師：比較兩個法則的異同點?學生11：三角形法則強調(diào)兩個向量的終點和起點相接，結(jié)果是先平移的向量起點作為和向量的起點，后平移的向量的終點作為和向量的終點。而平行四邊形法則是把兩個向量的起點平移至同一點，和向量就是它們的對角線。教師：很好！我們也用八個字概括平行四邊形法則的特點：起點重合，鄰邊作形（平行四邊形）。問題情景4：（1）化簡： ， 。學生12：都是.(2)你能得到什么規(guī)律？學生12：加法交換律。投影：交換律：。設計說明：書上采用圖形直接證明，盡管比較直觀嚴謹，但來的突兀，不

11、符合學生的認知發(fā)展規(guī)律。這樣推導，不僅自然流暢，而且能讓學生進一步明白向量加法的實質(zhì)（起點可以自由選擇）。（三）例題探究，變式引申例1 (投影投出)如圖8，O為正六邊形ABCDEF的中心，作出下列向量：(1);(2);(3).學生13：;教師：依據(jù)是什么？學生13：平行四邊形法則。，依據(jù)是（略有沉思） 圖8三角形法則。教師：對，是三角形法則的特殊情況。（3）呢？學生13：0，不，。（下面學生在笑，剛才已經(jīng)有人犯過這個錯誤）教師：很好，本題主要考查三角形法則和平行四邊形法則的理解和應用。應用兩個法則要記住八個字：尾首相接，首尾相連；起點重合，鄰邊作形。問題情景（例1的變式題）5： ； ； 。給學

12、生留下兩分鐘的思考時間。學生14：都是。教師：很好，你能總結(jié)出一般規(guī)律嗎？學生14：（沉思一會）如果幾個向量相加，尾首逐個相連，結(jié)果為。學生15：不對，最后一個向量的終點必須和第一個向量的起點相同。教師：很好。投影投出這個結(jié)論，并用符號語言重新描述。 （投影）如果平面內(nèi)有n個向量依次首尾連接組成一條封閉的折線，那么這n個向量的和是零向量。（書上思考題的結(jié)論）如果這個n邊形的頂點分別記作A1, A2, An,則變式思考： 。教師：這個也就是學生14說的情況，結(jié)果應該是什么呢？學生16：。教師：很好！利用三角形法則不難得到，這個結(jié)論常用，大家要記住。對于例1這個圖形，你能設計出一個問題讓別的同學解

13、答嗎？學生七嘴八舌的開始討論，他們紛紛主動提出問題，如： ; 等等，其他同學迅速給出了解答。設計說明：美國著名數(shù)學大師波利亞說過，一個善于備課的老師，會拿出一道像樣的題目，了解更多的知識。通過例1及其變式練習的解決，鞏固了兩個重要的法則，探索出書上思考題的結(jié)論，也為學生提出問題提供了方法。例2. (投影投出)在長江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25km/h。渡船要垂直地渡過長江，其航向應如何確定？教師：船頭能不能按垂直于對岸的方向航行？學生（齊答）：不能。教師：應該怎樣？給學生留下四分鐘的思考時間，教師巡視，將學生17的結(jié)果投影在屏幕上。（投影）教師：解題過程很

14、好，計算也無誤，好像少點什么?學生(齊答)：答案。（師生共同補齊答案,答案為：渡船要垂直地渡過長江，其航向應為北偏西30度。）教師：解答應用題的關鍵是提取有效信息，如本題中“渡船要垂直地渡過長江”是最關鍵的一條信息。然后聯(lián)想相應的數(shù)學模型，如本題聯(lián)想兩向量的和的模型。變式練習：若渡船以25km/h的速度按垂直于河岸的速度航行，那么，受水流影響，渡船的實際航向如何（求出和河岸夾角的余弦值）？速度為多大？在巡視的過程中，發(fā)現(xiàn)幾個學生求出實際航向和河岸夾角為30度，原因是受初中的結(jié)論（若直角三角形的一條直角邊是斜邊邊長一半，則其對應的角度為30度）的影響，形成了錯誤的思維定勢。教師及時進行點撥糾正。

15、投影學生18的解題過程，這里從略。教師：對于例2及其變式，你能提出什么問題嗎？學生19：這兩種方式哪一種先到達對岸？教師：很好?同學們認為呢？學生有的說是第一種方式，有的說是第二種方式，下面有爭論學生20：我認為是第一種，原因是航行的距離短。學生21：我認為是第二種，原因是航行的速度快。教師：你們說的都有道理，但是考慮的不全面，因為時間既和距離有關，又和速度有關，到底哪個先到呢？同學們做一下。大約過了四分鐘，一位同學站了起來。學生22：第二種方式先到，因為第一種方式到達的時間是：（S為河岸的垂直距離，教師板書并畫出草圖），第二種方式到達的時間是：（教師板書并畫出草圖）。顯然，故第二種方式先到。教師：很好，數(shù)學里的許多問題靠直覺可以得到，但是直覺在很多時候是不可靠的，需要我們借助于理性思維來再認識。設計說明：例2及其變式練習的設計，旨在進一步鞏固平行四邊形法則的運用，進一步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題、提出問題的能力，培養(yǎng)學生科學的人生觀和鍥而不舍的精神。（四）反思小結(jié)，理性升華教師：哪位同學來總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容？學生23：本節(jié)課主要學習了向量加法的三角形法則和平行四邊形法則以及它們的兩個性質(zhì)：結(jié)合律和交換律。（這時，下課鈴已響起）教師：很好，這位同學從知識的角度進行了總結(jié)。下面我從知識和方法及價值觀三個角度來總結(jié)（投