中考專題中線倍長法及截長補短

1、 幾何證明中常用輔助線(一)中線倍長法:例1 、求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊和的一半。已知：如圖，ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：AD (AB+AC)分析：要證明AD (AB+AC)，就是證明AB+AC>2AD，也就是證明兩條線段之和大于第三條線段，而我們只能用“三角形兩邊之和大于第三邊”，但題中的三條線段共點，沒有構成一個三角形，不能用三角形三邊關系定理，因此應該進行轉化。待證結論AB+AC>2AD中，出現(xiàn)了2AD，即中線AD應該加倍。證明：延長AD至E，使DE=AD，連CE，則AE=2AD。 在ADB和EDC中， ADBEDC(SAS)AB=CE又 在ACE中，A

2、C+CEAEAC+AB2AD，即AD (AB+AC)小結：(1)涉及三角形中線問題時，常采用延長中線一倍的辦法，即中線倍長法。它可以將分居中線兩旁的兩條邊AB、AC和兩個角BAD和CAD集中于同一個三角形中，以利于問題的獲解。課題練習:中，AD是的平分線，且BD=CD，求證AB=AC例2: 中線一倍輔助線作法 ABC中 方式1： 延長AD到E， AD是BC邊中線 使DE=AD， 連接BE 方式2：間接倍長 作CFAD于F， 延長MD到N， 作BEAD的延長線于E 使DN=MD，連接BE 連接CD例3：ABC中，AB=5，AC=3，求中線AD的取值范圍例4：已知在ABC中，AB=AC，D在AB上

3、，E在AC的延長線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE課堂練習：已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于例5：已知：如圖，在中，D、E在BC上，且DE=EC，過D作交AE于點F，DF=AC.求證：AE平分課堂練習：已知CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中線，求證：C=BAE作業(yè)：1、在四邊形ABCD中，ABDC，E為BC邊的中點，BAE=EAF，AF與DC的延長線相交于點F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關系，并證明你的結論2、已知：如圖，DABC中，ÐC=90°，CMAB于M，AT平分ÐBA

4、C交CM于D，交BC于T，過D作DE/AB交BC于E，求證：CT=BE.3：已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF4：已知CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中線，求證：C=BAE5、在四邊形ABCD中，ABDC，E為BC邊的中點，BAE=EAF，AF與DC的延長線相交于點F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關系，并證明你的結論 （二）截長補短法圖1-1例1. 已知，如圖1-1，在四邊形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求證：BAD+BCD=180°.圖1-2分析：因為平角等于180°

5、;，因而應考慮把兩個不在一起的通過全等轉化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關鍵在于構造直角三角形，可通過“截長補短法”來實現(xiàn).證明：過點D作DE垂直BA的延長線于點E，作DFBC于點F，如圖1-2BD平分ABC，DE=DF，在RtADE與RtCDF中，RtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180°，BAD+DCF=180°，即BAD+BCD=180°例2. 如圖2-1，ADBC，點E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.圖2-1求證：CD=AD+BC.例3. 已知，如圖3-1，1=2，P為BN上一點，且PDBC于點D，A

6、B+BC=2BD.求證：BAP+BCP=180°.圖3-1例4. 已知：如圖4-1，在ABC中，C2B，12.圖4-1求證：AB=AC+CD.作業(yè)：1、已知：如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)AD=FAE. 求證：BE+DF=AE.2、五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°，求證：AD平分CDE（三）其它幾種常見的形式：1、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形。例：如圖1：已知AD為ABC的中線，且12,34,求證：BECFEF。2、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構造全等三角形。例：如圖2：AD為ABC的中線，且12，34，求證：BECFEF 練習：已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖4， 求證EF2AD。 3、延長已知邊構造三角形：例如：如圖6：已知ACBD，ADAC于A ，BCBD于B，求證：ADBC4、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉化成為三角形來解決。例如：如圖7：ABCD，ADBC 求證：AB=CD。5、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖8：在RtABC中，ABAC，BAC90°，12，CEBD的延長