4.3__兩角和與差、二倍角的公式

1、4.3 兩角和與差、二倍角的公式（二）【知識點】1 .在公式 S ( a + B)、C ( a + B)、T ( a + B)中角a沒有限制在T2a中，只有當a豐2余弦二倍角公式有多種形式即kn +上且a豐k n +壬時，公式才成立.2422 22 2 、cos2 a =cos a sin a =2cos a 1=1 2sin a .變形公式sin2 a cos2： , cos22【基礎類題目1 cos2:2.它的雙向應用分別起到縮角升幕和擴角降幕作用1下列各式中,值為-的是2中，當a = B時，就可得到公式 S2a、C2 a、T2a，在公式S2nA.sin15 ° cos15

2、76;C J1 +cos30B.2cos22 1d.怡呼51 - tan2 22.5解析：tanf2.5 _1 -tan2 225°答案：D=丄 ta n45°2” e e2.已知 sin +cos=2 2e e+cos =2解析：由sin1+s in 0 =,3sin2.332 32 30 =丄,3那么sin 0的值為,cos2 0的值為2cos2 0 =1 2sin答案：-33.已知 f ( X)=1 -X ,3n曲)時，f(sin20) f ( sin2 0 )可化簡為2A.2sin 0B. 2cos 0C. 2sin 0D.2cos 0解析：f (sin2 0 )

3、f ( sin2 0 ) = Ji -sin 2v . 1 sin 2v = | sin 0 cos0 | | sin 0 + cos 0 | ./ 0 (丸43 n、 ,丿，2/ 1 v sin 0-:' 2v v cos 0 v 0.2 cos0 sin 0 >0, cos0 +sin 0 v0.原式=cos 0 sin 0 +cos 0 +sin 0 =2cos 0 .答案：D3 nn14.已知 sin (x ) cos (x)= ，求 cos4x 的值.444剖析：4x為2x的二倍角，2x為x的二倍角.解：由已知得sin （x-)cos (x4 cos2 (x n )=4

4、4冗 sin2x=cos ( 2x)22=2cos（n- x）1=2 cos4x=1 2sin 2x=198641732n 5 .右 8cos (+ a )4cos ( n 4=1,則 sin44a +cos a =解析：由已知得 8sin (壬一a ) cos (上一a ) =1 ,44n1 4si n (丄一2 a ) =1. cos2 a =24sin4 a +cos4 a =(sin2 a +cos2a ) 2sin2 2 a cos,1 2 1 a =1 sin 2 a =1 一 221 cos 2 a ) 2=1 1 (1 1 ) =1 12 16 215171632答案：卩326

5、.已知a為第二象限角，a . cos +sin2求sinCtcos '和 sin2 a +cos2 a 的值. 2a1+2sin2即 sin acos a =15解：由 cos +si n=丄5平方得2 2a 5 cos =,24V kn2' cos - +sin2=1 0,8aasin cos 22asin v 0.2a - cos V 0,2 為第三象限角.2二 2k n + 匹二 2kn + 3n , k 乙422.aa sin v cos,22即 sin cos v 0.2 23-sin cos = 1 _ sin * =,2 2 227(15sin2 a +cos2

6、a =2sin a cos a +1 2sin a =8評述：由三角函數(shù)值判斷 二的范圍是關鍵.2【提高類題目】2 x2 cos -si n x 17若sin x cosxtanx= . 2，貝U2解析:原式=cosx -sinx = 1 -tanxcosx + si nx 1 +ta nx 1 +J21 H2) =2 上3.-1答案:2 ,2 38已知 0VaVf，tanaa+cot =22，求 sin ( a2上）的值.3解：由已知tan+cot ：2 2-，得 sinsin 二 2/ OVa V23cos a = . 1 - sin =5從而sin=4 x5n ) =sin a3、31冗

7、* coscos a3-sin n32 10(4 3 .3 ).9設a=s in14 °+cos14°,b=sin16 °+cos16°，c=F，則 b、c的大小關系是A. av b V cB.av cv bC.bv cv aD.bv a v c解析：a= 2 sin59 ° , c= . 2 sin60°,b= . 2 sin61 °,. av cv b.答案：B10.若 f (tanx) =sin2x,貝U f ( 1)的值是A. si n2B. 1C.-2D.1解析：f ( 1) =f tan ( n ) = sinn

8、 = 1.42答案：B(sin x cosx -1)( sin x - cosx 1)sin2x11.化簡(sin x+1 2s in2° -1)( sin x1 +2s in 2- +1)解：原式=-sin 2x/ x x2X、/ x x2X、(2si n cos2 si n)(2 sin cos 亠 2 sin2 2 2 2 2 2xx4sin cos cosx22/ x X、/ X X x(cos sin )(cos sin ) sin2 2 2 2 2xcos cos X2.X cosx sin2 x=ta n2X cos cos X2/2 X .2 X、. X(cos si

9、n ) sin= 2 2 2x cos cos X2n13.已知 sin ( x)4513Ov xv n，求4cos2x的值.cos( n x)4分析：角之間的關系:+(7+X)7t及上一2x=2 (n x),利用余角間的三角函數(shù)的關系2412.化簡 Ji sin8=解析：,1 -sin8= - (sin4 cos4)2 =|sin4 cos4|=sin4 cos4.答案：si n4 cos4便可求之.解：(n x) +4cos=sinn 、x).4又 cos2x=sin (n、=sin2 ( x)=2sin ( n x)cos(nx),444cos2x1224=2cos ( x)=2 xco

10、s(n x)41313414.已知 sin2 a = - , a ( 5n ,3n).542(1)求cos a的值；(2)求滿足 sin ( a x) sin (a +X) +2cos a :山的銳角X.10解：(1)因為v a v 3n,42所以立V 2a V 3n .2所以 cos2a = 1 -sin2 2二=5由 C0S2 a =2cos32sin a cos a +cos a = 一.2 a 1 ,所以 COS a = 7° .10(2) 因為 sin ( a x) sin ( a +x) +2cosa = 1° ,10 所以 2cosa (1 sinx)=

11、76;10所以sinx=l2因為x為銳角，所以x= n .6n15.已知 tan (+ a ) =2，求：4(1) tan a 的值；(2) sin2 a +sin2 a +cos2 a 的值.(1) 解：tan ( n + a ) =sin2 a +cos2 a=2ta na +1= 3 2 tan : i 2解法二：sin2 a +sin2 a +cos2 a =sin2 a +sin2 a +cos2 a sin2 atan 一 =2 , tan a =-.41 - ta na3(2) 解法一：sin2 a +sin2 a +cos2 a =sin2 a +sin2 a +cos2 a

12、sin2 a2=2sin a cos a +cos a22=2sin a2cos a +cos a .2sin、£cos二 亠cos2sin : cos亠cos :Sin a = , cos a = ，代入得10 10綜上所述 Sin2 a +sin2 a +cos2 a=32 .16 .設 cos ( a=1sin ( 3 ):-22923剖析：=(a ：a - 3 ).222依上述角之間的關系便可求之且 nVaVn, 0<BVn，求 COS ( a + 3 )2 21/ tan a =丄，3- a為第一象限或第三象限角23 .2sin a cos a +COS a =;2當

13、a為第三象限角時，13Sin a = , cOS a =，代入得當a為第一象限角時,解:- ' n< a < n ,0 < 3 < n ,22 n v P v n V a V n ,424故由 cos ( a 一)=2由sincosa2二亠”)2-3)=3，=cos ( a=2，得 sincos (-2-G2二)=4 529=逓3 .3)=, 一朋2239272 :i=2cos 2評述：在已知角的某一三角函數(shù)值而求另外一些角的三角函數(shù)值時，首先要分析已知和要求的角之間的 關系，再分析函數(shù)名之間的關系其中變角是常見的三角變換17. tan15° +cot

14、15。等于cos仁,729A.2B.2+ 3C.4解析一:解析二:2 2tan 15° +cot15° = sin 15 + cos15 =獨 毎 空 I5 =1cos15* sin 15®cos15°si n15°121 V3 tan45 - tan3031 tan 45 tan 30由 tan 15° =tan (45° 30°原式= 7+T =4.3.33 .3答案：C【拓展類題目】【萬能公式】卄318 .右 cos a =-5( 0, n )，tan =2解析一：由 cos a(0,專),得 sin a =

15、 . cos2atan =2a sin2a cos22si n21 COS-：2sin、*-2 sin cos sin2 21=14 25解析二:tan1cos :1，51? 25=4.sin 30答案：-2【技巧之1 ”的用法】19 .已知.2 . 26sin a +sin a cos a 2cos a=0 , a 7tsin(2a +上)的值.3分析：本題考查三角函數(shù)的基本公式以及三角函數(shù)式的恒等變形等基礎知識和基本運算技能解法一：由已知得(3si na +2cos a)( 2s in a cos a ) =0= 3s in a +2cosa =0 或 2s in a cos a =0.由已知條件可知 cos a豐0,所以是 tan a v 0,二 tan annnsin (2 a + ) =sin2 a cos +cos2 a sin3x'32=sin a cos a +( COS a2sin* 2 a )7ttan:2a1 -tan2 :sin : cos.：.：-3 、/+ x coscos * 亠 sin ：&