4.4萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)

1、4.4萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)一、考點(diǎn)聚焦12.萬有引力定律n21 萬有引力定律的應(yīng)用人造地球衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)(限于圓軌道)22.宇宙速度 I二、知識掃描1.萬有引力定律：(1) 內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都是相互吸引的，引力的大小跟這兩個(gè)物體的 積成正比，跟它們的 距離的平方 成反比.(2) 表達(dá)式：F =6匕警 r為兩質(zhì)點(diǎn)或球心間的距離；G為萬有引力恒量(1798年由r英國物理學(xué)家 卡文迪許 利用扭秤裝置測出)G = 6.67 10 J1 N m2 / kg2(3) 適用條件：適用于 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn) 或均勻球體2萬有引力定律的應(yīng)用(1 )行星表面物體的重力：重力近似等于萬有引力(2)重力加速度：MmGM表面

2、重力加速度：G2 mg0. g02RR軌道上的重力加速度:GMmGMR h 2 _ 盹 § _ R h 23. 天體的運(yùn)動(dòng)(1 )運(yùn)動(dòng)模型：天體運(yùn)動(dòng)可看成是 勻速圓周運(yùn)動(dòng)一一其引力全部提供 向心力(2 )人造地球衛(wèi)星：由GMrr越大,v越小.由GMmGM 3 r越大,3越小.由Mmg7I r可得:<T丿T=2,r3 GMr越大，T越大.由二ma向可得：aGM r越大，a向越小.r4. 宇宙速度(1 )第一宇宙速度：v=7.9km/s可理解成：是發(fā)射衛(wèi)星進(jìn)入最低軌道所必須具有的最小速度.是衛(wèi)星進(jìn)入軌道正常運(yùn)轉(zhuǎn)的最大環(huán)繞速度，即所有衛(wèi)星的環(huán)繞速度均小于7.9km/s.(2 )第二宇

3、宙速度：v=11.2km/s(3 )第三宇宙速度：v=16.7km/s三、好題精析例1.從地球上發(fā)射的兩顆人造地球衛(wèi)星A和B，繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為Ra : Rb=4 : 1，求它們的線速度大小之比.下面是某同學(xué)的一種解法，請判斷其解法是否正確若是正確的，請你作出評價(jià)；若是錯(cuò)誤的，請分析其出錯(cuò)的原因并給出正確的解答.2解：衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力F向=mg=m R設(shè)A, B兩顆衛(wèi)星的質(zhì)量分別為mA、mB,則mAg=mA(1)RamBg=mB2VbRB由、得vA = Ra vB Rb解析這種解法不對.錯(cuò)在沒有考慮重力加速度與高度有關(guān).根據(jù)萬有引力定律知道:M地mAmAgA=

4、G2RaM地mBmBgB=G2Rb由(1)/得,= rA =xg b Rb 161gA = gB16可見，該同學(xué)把 A、B兩衛(wèi)星的重力加速度 gA, gB當(dāng)作相同的g來處理是不對的. 正確解答：衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有2M地mAVaG 2=mARaRaM 地 mBvBG 2 =mBRbRb由/，得vARbVbRaVaVb它的點(diǎn)評物體的重力和地球?qū)υ撐矬w的萬有引力可認(rèn)為相等，由此可計(jì)算出重力加速度的值, 由結(jié)果可知，隨著物體位置的提高， 重力加速度隨之減小，物體置于高度不同的位置，重力要發(fā)生變化.例2 在天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此距離較近的恒星稱為雙星它們圍繞

5、兩球連線上的某一點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)由于兩星間的引力而使它們在運(yùn)動(dòng)中距離保持不變已知兩星質(zhì)量分別為Mi和M2，相距L,求它們的角速度.解：如圖4-4-1所示，設(shè)Mi的軌道半徑為1, M2的軌道半徑為 3, 由于兩星繞0點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，都設(shè)為 ,根據(jù)牛頓第二定律有：-MM 一 2G 12 2 = M r1L2GM1M22= M r2L2而 r1r L以上二式聯(lián)立解得：10 G(M1 M2)LLM?0M2*圖 4-4-1點(diǎn)評：雙星之間的萬有引力是一對相互作用力，分別提供各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，所以它們能在引力作用下不相互靠近而保持距離不變，且角速度相同；這類雙星模型在列方程時(shí)要注意：用萬

6、有引力定律時(shí)兩顆星之間的距離與向心加速度中星球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道 半徑不等.例3.某星球自轉(zhuǎn)的周期為 T,在它的兩極處用彈簧秤稱得某物重為W,在赤道上稱得該物重為W',求該星球的平均密度 二解析在星球的兩極物體受星球的引力與彈簧的彈力作用，因該處的物體無圓運(yùn)動(dòng)，處于靜止?fàn)顟B(tài)，有F引=W =6也$ R又M二2二二 4二R3,代入 式后整理得3W34 兀 GRm在星球赤道處，物體受星球的引力與彈簧的彈力作用，物體隨星球自轉(zhuǎn)做圓運(yùn)動(dòng)，所以WT2又F引二WW W4二2mR2(W -W )T2-_24 二整理后得:3W 二GT2(W -W )點(diǎn)評題目中彈簧秤稱得物重 W與W，實(shí)質(zhì)上是彈簧秤的讀

7、數(shù)，即彈簧的彈力，它不一定 等于萬有引力，另外還要判斷出物體在兩極和赤道處的意義，才能想到用牛頓第二定律列方程，因此做題時(shí)正確地閱讀題目弄清它的物理含義對解題十分重要.例4.如圖4-4-2所示為宇宙中有一個(gè)恒星系的示意圖，A為該星系的一顆行星，它繞中央恒星0運(yùn)行軌道近似為圓，天文學(xué)家觀測得到 A行星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為 Ro,周期為T。.(1 )中央恒星O的質(zhì)量是多大？(2)長期觀測發(fā)現(xiàn)，A行星實(shí)際運(yùn)動(dòng)的軌道與圓軌道總存在一些偏離，且周期性地每隔to時(shí)間發(fā)生一次最大的偏離，天文學(xué)家認(rèn)為形成這種現(xiàn)象的原因可能是A行星外側(cè)還存在著一顆未知的行星 B (假設(shè)其運(yùn)行軌道與 A在同一平面內(nèi)，且與 A的繞行方

8、向相同)，它對A 行星的萬有引力引起 A軌道的偏離根據(jù)上述現(xiàn)象及假設(shè)，你能對未知行星B的運(yùn)動(dòng)得到A *0龜%<h圖 4-4-2哪些定量的預(yù)測.解析(1)設(shè)中央恒星質(zhì)量為 M , A行星質(zhì)量為m,則有MmR0= m()2RoT023解得：M =4 RoGTo2(2)如圖4-4-3所示，由題意可知：A、B相距最近時(shí)，B對A的影響最大，且每隔to時(shí)間相距最近設(shè) B行星周期為Tb，則有:to toToTb解得：TBTotto To該B行星的質(zhì)量為 m',運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為Rb，則有G 啤=m ()2RbRbTb由、可得:Rb = Rot0-To)2點(diǎn)評本題的難點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)模型的建立，A、B相距

9、最近時(shí)，B對A的影響最大是一個(gè)重要的隱含條件，在時(shí)間to內(nèi)A、B運(yùn)動(dòng)的物理量間的關(guān)系是列方程的一個(gè)重要依據(jù)，做這種題型時(shí)要注意認(rèn)真讀題，挖掘出這些條件本題中根據(jù)周期可求出角速度；根據(jù)B行星運(yùn)動(dòng)的半徑可求出B行星的線速度和向心加速度.例5.某網(wǎng)站報(bào)道：最近南亞某國發(fā)射了一顆人造環(huán)月衛(wèi)星，衛(wèi)星的質(zhì)量為1000kg ,環(huán)繞周期為1h一位同學(xué)對新聞的真實(shí)性感到懷疑，他認(rèn)為，一是該國的航天技術(shù)與先進(jìn)國家相比還有差距，近期不可能發(fā)射出環(huán)月衛(wèi)星；再是該網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)似乎也有問題，他準(zhǔn)備用所學(xué)知識對該數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證.他記不清引力恒量的數(shù)值且手邊沒有可查找的資料，但他記得月球半徑約為地球半徑的11，地球半徑為64

10、00km，月球表面重力加速度約為地球表面的，地球表面的重力加速度46可取10m/s2，他由上述這些數(shù)據(jù)經(jīng)過推導(dǎo)分析，進(jìn)一步認(rèn)定該新聞不真實(shí).請你也根據(jù)上述數(shù)據(jù)，運(yùn)用物理學(xué)的知識，寫出推導(dǎo)判斷過程.解析設(shè)月球的質(zhì)量為 M，半徑為ro,衛(wèi)星的質(zhì)量為 m,環(huán)繞周期為T,半徑為r，有Mm 22兀 2r3G 一2m r =m () r 得 T=2 冗，(1)rTGM在月球表面，有Gm=m 'ro2得GM=g月r0Tmin =2 nro(3)代入（1 ）式，得 T=2 n r 2（2）V g月 r°由（2）可知，衛(wèi)星軌道半徑r越小，周期T則越短，取r=r 0,周期有最小值 TminTmi

11、n =2 nr地/4=2 n2g地S=6000s=1.7h據(jù)題意，r 地=4 ro，g地=6g月 代入（3）式，得由于環(huán)月衛(wèi)星的周期至少要1.7h，遠(yuǎn)大于新聞中環(huán)月衛(wèi)星周期1h,所以新聞報(bào)道中數(shù)據(jù)有誤.點(diǎn)評本題牽涉到兩顆星球的兩顆衛(wèi)星，由題意，應(yīng)根據(jù)人造環(huán)月衛(wèi)星的周期判斷新聞是否 真實(shí).由于它們的運(yùn)動(dòng)模型相同，因而只要研究其中的一個(gè)列方程求出通式，再用比值法就很容易地求出人造環(huán)月衛(wèi)星的周期的特點(diǎn)，為判斷提供證據(jù).四、變式遷移1人造地球衛(wèi)星的軌道可以是這樣的（）A .與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面同心圓 B 與地球表面上某一經(jīng)度線所決定的圓是共面同心圓C.與地球表面上的赤道線是共面同心圓

12、，且衛(wèi)星相對地球表面是靜止的 D .與地球表面上的赤道線是共面同心圓，但衛(wèi)星相對地球表面是運(yùn)動(dòng)的2 .如圖4-4-4所示，離質(zhì)量為 M、半徑為R、密度均勻的球體表面R遠(yuǎn)處有一質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)M對m的萬有引力大小為當(dāng)從M中挖去一半徑為r=R/2的球體時(shí)，剩下部分對m的萬有引力為F2，求F!與F2的比值.設(shè)想把物體放到地球的中心，則此物體此時(shí) 與地球間的萬有引力是多少？圖 4-4-4五、能力突破1. 卡文迪許巧妙地利用扭秤裝置，第一次在實(shí)驗(yàn)室里測出了萬有引力恒量的數(shù)值，在他的實(shí)驗(yàn)裝置中，下列哪些措施是為了測量極小的引力而采取的? A .將測量力變?yōu)闇y量力矩B .使固定小球的質(zhì)量盡可能大些C.

13、 用鏡尺法顯示扭秤的偏轉(zhuǎn)情況D. 把實(shí)驗(yàn)裝置放在恒溫箱內(nèi)2. 下列說法中正確的是（）2倍時(shí)，向心力將增大到 2倍2倍時(shí)，向心力將減小到原來的2倍時(shí)，向心力減小為原來的1/21/4A .因F=m® 2r，所以人造地球衛(wèi)星軌道半徑增大到B .因F=mv2/r，所以人造地球衛(wèi)星軌道半徑增大到C.因F=GMm/r2，所以人造地球衛(wèi)星軌道半徑增大到D .僅知道衛(wèi)星軌道半徑變化，無法確定向心力的變化3. 在研究宇宙發(fā)展演變的理論中，有一種學(xué)說叫做“宇宙膨脹說”，這種學(xué)說認(rèn)為萬有引力常量G在緩慢減小.根據(jù)這一理論，在很久很久以前，太陽系中地球的公轉(zhuǎn)情況與現(xiàn)在相 比（）A .公轉(zhuǎn)半徑R較大C.公轉(zhuǎn)速

14、率v較大B .公轉(zhuǎn)周期T較小D .公轉(zhuǎn)角速度3較小4.已知第一宇宙速度為7.90千米/秒，如果一顆人造衛(wèi)星距地面的高度為3倍的地球半徑,它的環(huán)繞速度是（）A . 7.90km/s B . 3.95 km/sC. 1.98km/sD .由于衛(wèi)星質(zhì)量不知，所以不能確定5. 如果有一星球的密度跟地球的密度相同，又已知它表面的重力加速度是地球表面重力加 速度的2倍，則該星球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比是（'；11A. -B. 2C. 8D.-286. 利用下列哪組數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出地球質(zhì)量（）A .已知地球半徑和地面重力加速度B .已知衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和周期C. 已知月球繞地球作勻速圓周

15、運(yùn)動(dòng)的周期和月球質(zhì)量D. 已知同步衛(wèi)星離地面高度和地球自轉(zhuǎn)周期7. 地球的公轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為T和R;月球的公轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為t和r，則太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為（）TrtR23T rB.3t2R3C.t2R3T2r3T2rt2R& 地球半徑R=6400km，地面上的重力加速度 g=9.8m/s2，地核的體積約為整個(gè)地球體積的16%，地核的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的34% .試估算地核的平均密度.（結(jié)果取兩位有效數(shù)字）.9.兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng).地球半徑為 等于R, b衛(wèi)星離地面高度為 3R.則（1） a、b兩衛(wèi)星周期之比為 Ta： Tb是多少？（2 ）若某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過地