《2.4.1擺線的參數(shù)方程》導(dǎo)學(xué)案2

1、241擺線的參數(shù)方程導(dǎo)學(xué)案 2課前自主導(dǎo)學(xué)課標(biāo)解讀1.借助教具或計(jì)算機(jī)軟件，觀察圓在直線上滾 動(dòng)時(shí)圓上定點(diǎn)的軌跡(平擺線卜直線在圓上滾 動(dòng)時(shí)直線上定點(diǎn)的軌跡(漸開(kāi)線)，了解平擺線 和漸開(kāi)線的生成過(guò)程，并能推導(dǎo)出它們的參 數(shù)方程.2.通過(guò)閱讀材料，了解其他擺線 (變幅平擺線、 變幅漸開(kāi)線、外擺線、內(nèi)擺線、環(huán)擺線)的生成過(guò)程；了解擺線在實(shí)際應(yīng)用中的實(shí)例.知識(shí)梳理1.漸開(kāi)線及其參數(shù)方程(1)把線繞在圓周上，假設(shè)線的粗細(xì)可以忽略，拉著線頭逐漸展開(kāi)，保持線與圓相切,線頭的軌跡就叫做圓的漸開(kāi)線，相應(yīng)的定圓叫做漸開(kāi)線的基圓. (2)設(shè)基圓的半徑為r，圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程是x= r cos 0+ 空in $y

2、= r sin(jcos $($為參數(shù)).2.擺線及其參數(shù)方程(1)當(dāng)一個(gè)圓沿著一條定直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，圓周上的一個(gè)定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡叫做平擺 線，簡(jiǎn)稱擺線，又叫旋輪線.x= r( ( sin 林設(shè)圓的半徑為r，圓滾動(dòng)的角為 購(gòu)那么擺線的參數(shù)方程是($是參ly= r(1 cos數(shù)).思考探究1.圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程中的參數(shù)$的幾何意義是什么？【提示】 根據(jù)漸開(kāi)線的定義和求解參數(shù)方程的過(guò)程，可知其中的字母r是指基圓的半徑，而參數(shù)0是指繩子外端運(yùn)動(dòng)時(shí)繩子與基圓的切點(diǎn)B轉(zhuǎn)過(guò)的角度，如圖，其中的/ AOB即是角0顯然點(diǎn)M由參數(shù)0惟一確定在我們解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)可以適當(dāng)利用其幾何意義，把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為 與三角

3、函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，使求解過(guò)程更加簡(jiǎn)單.2.圓的擺線的參數(shù)方程中的參數(shù)0的幾何意義是什么？【提示】同樣，根據(jù)圓的擺線的定義和建立參數(shù)方程的過(guò)程，可知其中的字母r是指定圓的半徑，參數(shù) 0是指圓上定點(diǎn)相對(duì)于定直線與圓的切點(diǎn)所張開(kāi)的角度參數(shù)的幾何意義可 以在解決問(wèn)題中加以引用，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程當(dāng)然這個(gè)幾何意義還不是很明顯，直接使用還 要注意其取值的具體情況.課堂互動(dòng)圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程已知圓的直徑為2,其漸開(kāi)線的參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的曲線上兩點(diǎn)a、b對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是n3和扌，求A、B兩點(diǎn)的距離.【思路探究】先寫(xiě)出圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程，再把A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)代入?yún)?shù)方程可得對(duì)應(yīng)的A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后使用兩點(diǎn)之間的距離

4、公式可得A、B之間的距離.【自主解答】根據(jù)條件可知圓的半徑是1 ,所以對(duì)應(yīng)的漸開(kāi)線參數(shù)方程是x= cos 0+ 空in 0,y= sin 0 0cos 0（0為參數(shù)）,nn分別把0= 3和0= 2代入,32可得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A（3+Jn;3 '3 n6 ）,n 八B（2，1） 那么，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得A、=6 V i 13 6 ；3 孑一6 n 36,3+ 72.B兩點(diǎn)的距離為即A、B兩點(diǎn)之間的距離為1 26、13-6 ,3 n 6 n 36 ；3+ 72.根據(jù)漸開(kāi)線的定義和求解參數(shù)方程的過(guò)程可知其中的字母是指繩子外端運(yùn)動(dòng)時(shí)繩子上的定點(diǎn)M相對(duì)于圓心的張角.r是指基圓的

5、半徑，參數(shù)$距離.當(dāng)$=苧，n時(shí)，求出漸開(kāi)線x= cos 0+ )sin y= sin 0 $cos $上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A, B，并求出A, B的（3n3 nx c，【解】將0= 3n代入?yún)?shù)方程，得s2姑1.把0=尹入方程，得s 27= 1.3n A( n, 1)，點(diǎn) B(2, 1)因此 ABi=、y（扌+ 2冗$+°+1 丫=2 話 n+1,故點(diǎn)A、B間的距離為2 , n+ 1.圓的擺線的參數(shù)方程已知一個(gè)圓的擺線過(guò)一定點(diǎn)（2,0）,請(qǐng)寫(xiě)出該圓的半徑最大時(shí)該擺線的參數(shù)方程以及對(duì)應(yīng)的圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程.x= r（ 0 sin 01【思路探究】根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程'戶（0為參數(shù)）

6、，只需把點(diǎn)（2,0）y= U1 cos 0）代入?yún)?shù)方程求出r的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式求出r的最大值，再確定對(duì)應(yīng)的擺線和漸開(kāi)線的參數(shù)方程即可.【自主解答】 令y= 0,可得r（1 cos 0）= 0,由于r>0,即得cos 0= 1,所以0= 2kn k代入 x= r( 0 sin 0),得 x= r(2kn sin 2kn)又因?yàn)?x= 2, (1)將消去ly= 5 + 5si n t參數(shù) t,化為普通方程(x 4)2 + (y 5)2= 25,即 6： x2 + y2 8x 10y+ 16= 0.x= pcos 0,22將代入 x2 + y2 8x 10y+ 16 = 0 得ly= ps

7、in 02 p 8 pcos 0 10 psin B+ 16= 0.所以Ci的極坐標(biāo)方程為 p 8 pcos 0- 10 pin 0+ 16= 0.C2的普通方程為x2 + y2 2y = 0.了x2由1 2X+ y2 8x 10y+ 16 = 0,+ y2 2y= 0,解得r=1,y= 1x= 0,y= 2.所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為（羽，n，（2, n 所以r（2kn sin 2k n = 2,即得r =1 嚴(yán)Z） 一 1 1又由實(shí)際可知r>0，所以r = （k N +）.易知，當(dāng)k= 1時(shí)，r取最大值為-.k n '，n代入即可得圓的擺線的參數(shù)方程為1（0為參數(shù)）x=

8、 n 0 sin 0 ,1 y=n1 cos 0x=cos 0+ 空in 0圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程為（0為參數(shù)）.y=nsi n 0 0cos 0根據(jù)擺線的定義和求解參數(shù)方程的過(guò)程可知其中的參數(shù)0是指圓上定點(diǎn)相對(duì)于定直線與圓的切點(diǎn)所張開(kāi)的角度.x= 4 0 4sin 0已知一個(gè)圓的擺線方程是 <,（0為參數(shù)），求該圓的面積和對(duì)應(yīng)的圓的|y= 44cos 0漸開(kāi)線的參數(shù)方程.【解】首先根據(jù)擺線的參數(shù)方程可知圓的半徑為4,所以面積為16 n,該圓對(duì)應(yīng)的漸開(kāi)線的參數(shù)方程是：rx= 4cos 0+ 4 0sin 0,（0為參數(shù)）y = 4sin 0 4 0cos 0真題賞析傲材第42頁(yè)習(xí)題2.4,

9、第2題）當(dāng)0= n，求出漸開(kāi)線x = cos 0+ 帕in 0,上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A, B，并求出點(diǎn)A , B間y = sin 0 0cos 0的距離.x = 1 + 6cos a，(2013大連模擬)已知圓C的參數(shù)方程是/(a為參數(shù))和直線I對(duì)應(yīng)的|y= 2+ 6s in a普通方程是x y 6 2 = 0.如果把圓心平移到原點(diǎn)0,請(qǐng)問(wèn)平移后圓和直線有什么位置關(guān)系？(2)寫(xiě)出平移后圓的漸開(kāi)線方程.【命題意圖】本題主要考查圓的參數(shù)方程和圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，以及直線與圓的位置關(guān)系，考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸能力.【解】(1 )圓C平移后圓心為 0(0,0)，它到直線x y 6 2 = 0的距離為d

10、 =6 2 = 6,V2 恰好等于圓的半徑，所以直線和圓是相切的.x= 6cos 6+ 6 dsin 6,(2)由于圓的半徑是6，所以可得漸開(kāi)線方程是 t( 6為參數(shù)).|y= 6sin 6 6 6cos 6達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.關(guān)于漸開(kāi)線和擺線的敘述，正確的是()A 只有圓才有漸開(kāi)線B 漸開(kāi)線和擺線的定義是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才得到了不同的圖形C.正方形也可以有漸開(kāi)線D .對(duì)于同一個(gè)圓，如果建立的平面直角坐標(biāo)系的位置不同，畫(huà)出的漸開(kāi)線形狀就不同【解析】不僅圓有漸開(kāi)線，其他圖形如橢圓、正方形也有漸開(kāi)線；漸開(kāi)線和擺線的實(shí)質(zhì)是完全不一樣的，因此得出的圖形也不相同；對(duì)于同一個(gè)圓不論在什么地方建立

11、平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)出的圖形的大小和形狀都是一樣的，只是方程的形式及圖形在坐標(biāo)系中的位置可能不同.故選C.【答案】 Cx= 6(cos 6+ 6sin 6)2當(dāng)6= 2 n時(shí)，圓的漸開(kāi)線(：上的點(diǎn)是()|y= 6(sin 6 6cos 6)A. (6,0)B. (6,6 n)C. (6, 12 n ) D. ( n 12 n)【解析】 當(dāng)6= 2 n時(shí)，代入圓的漸開(kāi)線方程.x= 6(cos 2 + 2n sin 2=n)y= 6(sin 2 2 n cos = ： 12 n.【答案】 Cx= 3cos 0,3 圓（0為參數(shù)）的平擺線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0,那么其橫坐標(biāo)可能是（）y = 3sin 0【

12、解析】x= 3 0 3sin 0,根據(jù)條件可知圓的平擺線的參數(shù)方程為（0為參數(shù)），把y|y= 3 3cos 0=0代入，得cos 0= 1,所以 0= 2knK Z).而 x= 3 0 3sin 0= 6knK Z)【答案】CC 6 n D 10 n4.半徑為4的圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程是【解析】由圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程x= r(cos °+ )sin °) y= r(si n ° °cos 0°cos()+ )sin 0 ,得X= 4y = 4 sin 0空in ° .x= 4 cos 0+ 空in ° ,y= 4 sin ° gos ° .課后作業(yè)【答案】1.已知一個(gè)參數(shù)方程是X= 2+ tcos a, y= 2+ tsi n a,如果把t當(dāng)成參數(shù)，它表示的圖形是直線1（設(shè)斜率存在），如果把a(bǔ)當(dāng)成參數(shù)（t>0），它表示半徑為t的圓.（1）請(qǐng)寫(xiě)出直線和圓的普通方程;如果把圓平移到圓心在（0 ,