圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程

1、圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程一、 教學內容解析圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程 是人教版教材選修 4-4 里面的內容，也是理科生必需掌握的重點知識， 它是學生在以前已學過曲線的極坐標方程， 以及在前面幾節(jié)學習了圓錐曲線的定義與標準方程以及第二定義的基礎上，從幾何學角度，運用坐標法進一步研究圓錐曲線的極坐標關系， 極坐標與直角坐標結合思想，初步形成極坐標法解決幾何問題的能力，并逐漸內化為學生的習慣和基本素質，為以后更深入學習圓錐曲線的知識打下基礎。本節(jié)課內容共一個課時。 教學過程中， 讓學生利用已有的知識， 自主探索用極坐標法坐標法去研究圓錐曲線內在實質的方法， 體驗有關的數(shù)學思想， 培養(yǎng)學生“用數(shù)學”以及

2、合作學習的意識。一、教學目標設置由于本節(jié)課在以前的學習過程已有所接觸， 教師準備 “學案” 先讓學生提前思考，歸納出直圓錐曲線的極坐標方程以及對應各個參數(shù)的意義。 通過學生的推導、分析、概括，促使學生把解析幾何中用方程研究曲線的思想與曲線幾何性質相結合，從而把傳授知識和培養(yǎng)能力融為一體，完成本節(jié)課的教學目標。二、學生學情分析在經(jīng)歷極坐標方程、 圓錐曲線的第二定義學習后， 學生已經(jīng)具備了一定的用方程研究幾何對象的能力，因此，我在教學中通過提供的豐富的數(shù)學學習環(huán)境，創(chuàng)設便于觀察和思考的情境， 給他們提供自主探究的空間， 使學生經(jīng)歷完整的數(shù)學學習過程，引導學生在已有數(shù)學認知結構的基礎上， 通過積極主

3、動的思維而將新知識內化到自己的認知結構中去 同時為他們施展創(chuàng)造才華搭建一個合理的平臺，使他們感知學習數(shù)學的快樂。高中數(shù)學教學的重要目標之一是提高學生的數(shù)學思維能力， 通過不同形式的探究活動，讓學生親身經(jīng)歷知識的發(fā)生和發(fā)展過程， 從中領悟解決問題的思想方1法，不斷提高分析和解決問題的能力，使數(shù)學學習變成一種愉快的探究活動，從中體驗成功的喜悅， 不斷增強探究知識的欲望和熱情，養(yǎng)成一種良好的思維品質和習慣。根據(jù)本節(jié)課的教學內容和我所教學生的實際，本節(jié)課的教學目標確定為以下三個方面：知識與技能目標：（1）熟練掌握圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標的推導過程。（2）掌握圓錐曲線統(tǒng)一極坐標方程中各個參數(shù)表示的幾何意義，

4、 比如 對應在圖形中的幾何意義。（3）重點掌握圓錐曲線極坐標方程在解決一般問題中所體現(xiàn)的優(yōu)勢性，比如定值問題、焦點弦等問題，極坐標方程為其提供了充分有利的平臺。過程與方法目標：（ 1）通過對圓錐曲線統(tǒng)一極坐標方程的探究活動，經(jīng)歷知識的建構過程，培養(yǎng)學生獨立思考、自主探究、動手實踐、合作交流的學習方式。（2）強化學生用極坐標法解決幾何問題的意識，培養(yǎng)學生分析問題和靈活解決問題的能力。情感、態(tài)度與價值觀目標：通過對本節(jié)課的探究活動，加深學生對極坐標法解決圓錐曲線問題的認識，領悟極坐標法對于解決問題的優(yōu)勢性，體驗探索中成功的喜悅，激發(fā)學習熱情，養(yǎng)成良好的學習習慣和品質，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和科學精神。

5、三、教學策略分析本節(jié)課以問題為載體， 學生活動為主線， 讓學生利用已有的知識， 自主探究，培養(yǎng)學生主動學習的習慣。 通過建立數(shù)學模型、 數(shù)形結合， 提高學生分析問題和解決問題的能力， 進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學素質； 通過對圓錐曲線統(tǒng)一極坐標形式的探究，進一步提高學生的思維能力和歸納能力。在教學方法的選擇上， 主要采用教師組織引導的學習方式，力求體現(xiàn)教師的2設計者、組織者、引導者、合作者的作用，通過引導，讓學生對圓錐曲線極坐標方程的推導得出有很自然和直觀的結果認識。四、教學過程教學內容師生互動設計意圖1、極坐標表示曲線時，應師：讓學生之當注意幾個要素？極坐標的三啟發(fā)學生由間進行回憶、討論、復個基本量

6、是什么？以往的指示交流。2、回顧圓錐曲線的第二定獲取與本節(jié)習引義，想一想以前是如何將三種曲生：自己畫圖、課有關的知入線的定義統(tǒng)一起來的。識，提前做好看圖，并說出自己3、可否將極坐標系填充到準備。的看法。圓錐曲線的方程之中。師：引導學生說明極坐標概問題 1 思考引例：既然極坐觀察圖形，分析問與直角坐標題。是相通的，引標可以表示平面內的任何一點，念出今天所學形那么對于圓錐曲線上的點， 可否生：觀察圖形， 知 識解決這成用極坐標 =表示？利用前面所復習知個問題的必識，引入新課。要性。師：引導學生回憶圓的極坐標方程的推導與表示方從“第二定概問題 2 既然圓錐曲線上的法。義”和“方程”任意點可以用極坐標

7、表示， 那么的念深整個曲線可否用對應的極坐標生：回憶圓的角度，求圓錐化方程表示呢？極坐標方程的表示曲線的極坐以及對應極點不同標方程。而導致的方程表示不同。應用舉例如圖所示，截取圓錐曲線的一部分，由圓錐曲線的第二定義可知，曲線上的任意一點 M到定點 F 的距離與 M到定直線 l 的距離之比為常數(shù)。師：指導學生回憶圓錐曲線的第基礎知識的二定義，即統(tǒng)一定夯實，對今天義。所學內容可以得出很自生：第二定義然的推導。即是與離心率e 有關的一個定義。3也即.將極坐標嵌入圓錐曲線之中， 我們以圓錐曲線中規(guī)定的頂點為師：注意這里極點，以水平方向為極軸， 建立的幾何關系，怎樣極坐標系，則圓錐曲線上的任意將其推導在

8、極坐標一點 M可以用唯一的 M( , ) 表方程之中。示。以 p 表示定點 F 到定直線的生：圓錐曲線距離 l 之間的距離，利用幾何關的第二定義與上極系，可知：坐標工具，公式的|MA|=|BK|=p+ *cos得出很自然。故體會公式推導的思想方法，關注量與量之間的關系。即：師：拋物線、橢圓、雙曲線之中，此方程成為圓錐曲線的統(tǒng)一極這里的定點 F 和定應坐標方程。直線 l 分別表示那公式推導只是截取了圓錐個對應的幾何量。用舉曲線的一部分，我們可以將整支例曲線放入極坐標系中， 體會這里生：學生觀察的定點與定直線對應的意義。圖形，給出直觀作0e1 時表示雙曲線；e=1 時表示拋物線師：未學極坐標方程之

9、前，這樣的題目我們是如何求解的？例 1、經(jīng)過橢圓的焦點生：設點，聯(lián)立方程求交點，再任意做兩條互相垂直的弦證明。使學生以更深層次的角度對基礎知識有直觀理解。溫習舊知識，體現(xiàn)溫故知新。和，求證：為定值。4生：方程形式應該不同，因為極坐標和直角坐標類似，坐標系不同，點和曲線的坐標位置不同。師：引導學生從各個不同角度思考、分析問題。師：引導學生對例題建立極坐標系，并對所求的長度關系應用極坐標表示。生：互相討論、交流。通過分析、抽象、歸納，得出求直線方程的一般思路。師：引導學生通過運算過程，體會各種方法的差異性。生：極坐標方程簡化了許多不必要的運算過程，節(jié)省時間。師：學生自己猜想，結論留給學生課余推導證

10、明。問題 3：F 為極點建立極坐標系，怎樣去處理這里的證明關系式？提高對數(shù)學思想方法的理解和運用。問題 4：回顧以前采用直角坐標應解決這道題的方法， 是否可以提用現(xiàn)出極坐標在解決圓錐曲線問舉例題中的優(yōu)越性？問題 5：在極坐標系中，選取的極點不同，是否對應得出曲線的極坐標方程形式也不同呢？問題 6：請你梳理一下本節(jié)課的歸內容，可以從知識、技能、數(shù)學納方法、數(shù)學經(jīng)驗等方面進行？此總外你從其他同學那里又學到的結什么，以后的學習過程中有需要注意什么？進一步開解極坐標方程對于運算過程的優(yōu)越性。給予學生發(fā)揮的空間，充分尊重學生的想法和觀點，鞏固所學過的知識，進一步理解和掌握極坐標方程?；仡櫋⒎此?、總結形成

11、知識生：互相討論、體系。交流，學生自己總結本節(jié)課所學內容。5業(yè)課請同學們完成 2012 年重慶生：學生獨立外市高考題的第 14 題。完成。作五、教學評價設計鞏固所學知識。新課程強調學習過程的評價， 因此，在對學生學習結果評價的同時， 更應高度重視學生學習過程中的參與度、自信心、合作意識、獨立思考的能力及學習的興趣等。根據(jù)本節(jié)課的特點，我從以下幾個方面進行教學評價：通過問題情境， 激發(fā)學生的學習興趣， 使學生找到要學的與以學知識之間的聯(lián)系；問題串的設置可讓學生主動參與到學習中來； 在判斷方法的形成與應用的探究中，師生的相互溝通調動學生的積極性， 培養(yǎng)團隊精神； 知識的生成和問題的解決，培養(yǎng)學生獨

12、立思考的能力， 激發(fā)學生的創(chuàng)新思維； 通過練習檢測學生對知識的掌握情況； 根據(jù)學生在課堂小結中的表現(xiàn)和課后作業(yè)情況， 查缺補漏，以便調控教學。圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程（學案）學習目標：（1）通過圓錐曲線極坐標方程的推導，進一步領會極坐標法的思想方法。（2）掌握極坐標法對于解決圓錐曲線問題的常用步驟。（3）通過解決實例，進一步感受數(shù)形結合思想等的應用，理解解析幾何的幾何本質。一、復習：1、平面的任意一點用極坐標法如何表示？2、以前所學的知識，是如何將三種圓錐曲線統(tǒng)一起來的？3、極坐標和圓錐曲線特征量表示的幾何意義是什么？6二、教學過程設計問題 1：思考引入：用幾何法，將極坐標方程嵌入圓錐曲線之中

13、，并將對應的極坐標方程推導出來。問題 2：得出的統(tǒng)一極坐標方程各個參數(shù)表示的意義需弄清。問題 3：體會這一系列過程中所蘊含的數(shù)學思想方法。三、結合以上的推導過程，解決下列數(shù)學問題：例 1、經(jīng)過橢圓的焦點1 任意做兩條互相垂直的弦和，求證：為定值。解：法 1：直角坐標系解析法以橢圓的中心為坐標原點，建 : 立如圖所示的坐標系，則，,，設所在直線:, 則所在直線為:, 并設橢圓的標準方程為：，聯(lián)立方程，利用距離公式。聯(lián)立化簡即 :利用韋達定理：則7故化簡可得=,同理則=法 2 極坐標法：以橢圓的焦點 F1 為極點，建立極坐標系：則此時橢圓的極坐標方程為：又設 A(), B(),C(),D()則，,那么同理, 則問題 4：通過以上兩種方法的對比，你是否已經(jīng)體驗出極坐標方程對于解決圓錐曲