數(shù)值分析典型習(xí)題

1、Rejoicing in hope, p atient in tribulation.題型一:有效數(shù)字1,確定 丄的首位數(shù)字X1,要使丄的近似值x*的相對誤差不超過0.5X 10-5,至少713713要保留幾位有效數(shù)字.(2010-2011)解答：x 2設(shè)至少要保留n位有效數(shù)字，則有|er*| 101n 丄 101 n 0.5 105 c2 22x1解得，n 5.7 取n 6位有效數(shù)字.2，要使的相對誤差不超過0.5X 10-4,至少要保留幾位有效數(shù)字？(2009-2010)3,已知21.787654為有效數(shù)，確定其絕對誤差界與相對誤差界.(2007-2008)解答：|e| 2 IO6|er*

2、| 丄 101n 丄 10182X12 241074,已知30.49876為有效數(shù)，確定其絕對誤差界 .(2006-2007B)5,設(shè)有效數(shù)x=12.4567,確定x的絕對誤差界.(2004-2005)題型二：插值多項式1,已知f(x)的函數(shù)值：f(0)=-2, f(1)=1, f(2)=5,用反插值法求f(x)=0在0，2內(nèi)的近似根 x*.(2010-2011)解答：對y=f(x)的反函數(shù)x=f 1(y)進行二次插值L2(y)f 1(y0)(yy1)(yy2)f1(y1)(yy0)(yy2)(y。)(% 曲(y1 沁* 曲0 1 (y 2)(y 5) 2 (y 2)(y 1)(1 2)(1

3、5)(5 2)(5 1)2991242 28y 84y故, x* l2(o)22f 1(y2)Emp.91201Rejoicing in hope, p atient in tribulation.2, 已知f(x)的如下函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值：f(-1)=1, f(0)=2, f '0)=3, f(1)=7;(1) ,建立不超過3次的埃爾米特插值多項式H3(x);,X -1,1,確定用H3(X)代替f(X)的誤差界(已知|f(X)| < M4 ,x -1,1).(2O1O-2O11)解答：(1),滿足插值條件Hs&j)f(xi),(i O,1,2)的二次插值多項式為:N2(x)

4、f (Xo) fXo, X1(X Xo) fXo,X1,X2(X Xo)(X X1)1 (X 1) 2(x 1)(x O)2x2 3x 2L也可用拉格朗日插值法滿足題設(shè)插值條件的插值多項式為：H3(x)N2(x) k(x 1)(x 0)(x 1)2x2 3x 2 k(x3 x)H3'(x) 4x 3 k(3x2 1)由 出'(0) f '(O)3得：k=0故：H3(x) 2x2 3x 2f(4)()(2),誤差 R(x)=(X 1)(x 0)2(x 1),( 1,1)1 M44= 964!則誤差界|R3(X)|業(yè)4!3,已知f(x)的函數(shù)值:f(0)=2, f(1)=4

5、, f(2)=9,寫出二次拉格朗日插值多項式及余項.(2009-2010)4,已知f(x)的如下函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值：f(1)=1, f(2)=2, f '1)=3, f(3)=9;(1) ,建立不超過3次的埃爾米特插值多項式;計算f(1.6)的近似值；若 M4=O.5，估計f(1.6)的誤差界.(已知|f(x)| <M4).(2OO9-2O1O)5, 寫出滿足條件H(0)=1, H(1)=O, H '1)=1, H(2)=1的三次插值多項式，并給出誤差估計式.(2008-2009B)Rejoicing in hope, p atient in tribulation.6,已知

6、一組數(shù)據(jù)，求函數(shù) f(x)=0的根.(2008-2009B)xi-1023f(Xi)-7-1177,已知f(x)的如下函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值：f(0)=1, f(1)=3, f '1)=1, f(2)=9,(1),建立不超過3次的埃爾米特插值多項式，寫出誤差估計式;(2) ,計算f(1.8)的近似值：若M4=1 ,估計f(1.8)的誤差界.(已知|f(x)| WM4).(2OO7-2OO8) 8,已知f(x)的如下函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值：f(1)=2, f(2)=4, f '2)=5, f(3)=8, (1),建立不超過3次的埃爾米特插值多項式;(2) ,計算f(2.5)的近似值：若M4=O.

7、5,估計f(2.5)的誤差界.(已知|f(x)| <M4).(2OO6-2OO7 )9,已知f(x)的如下函數(shù)值表Xi0.10.20.30.4f(xi)1.122.652.811.68選取合適的插值節(jié)點，用二次插值多項式計算f(0.35)的近似值.(2005-2006)10,已知f(x)=sinx的如下函數(shù)值表Xi1.01.52.0sinxi0.84150.99750.9093用插值多項式計算sin 1.8,并估計誤差界.(2004-2005)11,用f(x)的關(guān)于互異節(jié)點集Xj：；和Xijn2的插值多項式g(x)和h(x)構(gòu)造出 關(guān)于節(jié)點集人：1的插值多項式.(2005-2006)(課

8、后習(xí)題)Rejoicing in hope, p atient in tribulation.解答：法一：設(shè)關(guān)于節(jié)點集Xin1的插值多項式為q(x),則q(x)與g(x)有共同插值節(jié)點x"-；，則 設(shè)：q(x)=g(x)+Aw由 q(Xn)二f(X n)得,故：q(x)=g(x)+f(xn1(X),Wn1(X) (X X/X X2)L(X X： 1) f(X n) g(X n)Wn 1 ( Xn )如"Wn 1(Xn)Aw 1(X)法二：設(shè) q(x)=g(x)+由于g(x)和h(x)有共同插值節(jié)點Xj：-；，貝y存在常數(shù)B,使得g(x) h(x) B(x X2)(x X3)

9、L(X x： 1), B 01則，Wn1(x)二 B(x X1)g(x)h(x)A故: q(x)=g(x)+-(X X1)g(x)由 q(Xn) f(Xn) h(Xn)得Ah(Xn) g(Xn) B(Xn X1)g(Xn)/曰A1得一=B Xn為h(x)h(Xn)則：q(x)=g(x)+(H)h(x)g(x)12,(1),已知f(x)的如下函數(shù)值：f(0)=1,f(1)=3,f(3)=5,寫出二次拉格朗日插值多項式 L2(x);(2),若同時已知：f'1)=1,用待定系數(shù)法求埃爾米特插值多項式H3(x)；(3) ,當(dāng) 1 If(x)| 2 及 3 |f (x)| 4,x 0,3時，x

10、不取節(jié)點，x 0,3，求I "X) H3(x)| 的上界.(2011-2012) f(X) L2(X)題型三：最佳平方逼近多項式及最小二乘法1,已知函數(shù)值表:X-2-1012y01210用二次多項式 y=C0+CX+GX2按最小二乘法擬合改組數(shù)據(jù)，并求平方逼近誤差.(2010-2011)( 2005-2006)解答:法一：atRejoicing in hope, p atient in tribulation.（X0）0。）0(X2)0(X3)0(X4)11（X0）1（X）1(X2)1(X3)1(X4)21（X0）2(XI)2(X2)2(X3)2(X4)4101100yT 0 1線性

11、擬合的法方程組為:AtAC Ay 即500 1010 010034CoCC2解得:c05855,C13 2 -x70,C2平方逼近誤差：IIl2=(y,y)-YTc*0 12 1012105835037835法二：構(gòu)造首項系數(shù)為1的正交多項式:0（X）=1(X 0, 0)(0, 0)(X 1，衛(wèi)1)00)20, i(x)=x-(1,(1,(0,2, 2(x) (x1)1(x)0 0(X)=X2mF4 c 6/ 2 c、 58-0 (x 2)5 14352 2平方逼近誤差:| |2=(y,y)-學(xué)斗i 0 ( i , i)35(x)2,求f（x） 1 在區(qū)間0,1上的一次最佳平方逼近多項式及平方

12、逼近誤差（去1 x權(quán)函數(shù)p (x)=x).(2009-2010)3, 通過實驗獲得以下數(shù)據(jù):Xi0123yi13610Rejoicing in hope, p atient in tribulation.請用最小二乘法求形如y=a+bx2的經(jīng)驗公式.(2008-2009)解析：AtAC ATy4, 利用正交多項式的性質(zhì)構(gòu)造首項系數(shù)為1的正交多項式gi(x)i 1,有下列公式:g0(x) g1 (x) gk 1 (x)x 0其中:(xk)gk(x)k 1gk 1(x),(k 1,2,.)(xgk,gk),(k0,1,2.)(gk,gk)(gk,gk)(k 1,2.)(gk 1, gk 1)(1)

13、,求0,1上首項系數(shù)為1的正交多項式(權(quán)函數(shù)P(x)=1),g o(x),g i(x),g 2(x)(2),以上述正交多項式為基，求sinx在區(qū)間0,1上的二次最佳平方逼近多項式，并求平方逼近誤差.(2008-2009B)(2004-2005)解答：(i),g0(x)(xg0,g0)(g0,g0)110xdx10dx2,g1(x) X 0(2),1x(x -)2dx0 21(x -)2dx0 2:-,g2(x) (x12(X)(g0,f)c(g1,f)(xg,®)(5,91)(5,5)©g。)1)g1(x)0 g。(x)1sin xdx0 11 Idx0(、g0g1(g0,

14、g0)(9,91)1 10 (x -)sin xdx1(x0 0.00746 1.0913x1 (x)2dx 2，20.23546x(、g2(g2,g2) 20(xlx20 1)1)sin xdx(x2x -)2dx6丿xi)平方逼近誤差：II * f |2(f,f)2 (f,gi)2i 0 (gi,gi)0.000623.5,以正交多項式為基，求函數(shù) f(x)丄 在區(qū)間0,1上的二次最佳平方逼近多1 x項式，并求平方逼近誤差.(2007-2008)(權(quán)函數(shù)P (x)=x,(2011-2012)Rejoicing in hope, p atient in tribulation.解答： 法一：

15、取0(x)1,1(x) X, 2(x)1 2In 2,( 1， f)正規(guī)方程組為：H2C(0，f)X2,解得12f)2In2F212即: 1314解得：故二次最佳平方逼近多項式：平方逼近誤差：2=（f,f）-F nTC法二：構(gòu)造首項系數(shù)為1的正交多項式:g0（x） 11345C01415161.0656, c1CoCiC2(xg0,g0)0(90,90)(xg1,g1)1(gi, gi)13_12815g2（x） （Xi)gi(x)則：P 2（X）(f ,90)平方逼近誤差:1 -41 1 , c-I n 22 20.503 02, c2P *2(x)0.074231.06560.50302

16、x 0.07423 x20.00002904|,g1(x) x(g1,g1)©g。)0g0（x）丄18(X )(x15(fgj118X263x 一510(g g)g0(x)7g1(x)(g0, g0)( g1, g1)2=(f,f)-F nTC 0.00002904(f,92)(92,92) g2(x)21.06560.50302 x 0.07423 x6,通過實驗獲得以下數(shù)據(jù):Ui01916Vi11/21/31/4請用最小二乘法求形如v的經(jīng)驗公式，并求平方誤差.（2006-2007）解答:轉(zhuǎn)化1 C0 G需vEmp.1512011,確定參數(shù)a,使求積公式hf(x)dx hf (0)

17、 f (h)h2 f'(0) f'(h)的代數(shù)精確度0 2盡可能高，并求其代數(shù)精確度.(2010-2011)解答：令f (x)1,x, f (x)顯然成立令 f(x) x2,得=-112hh 3:0 f(x)dx 2(0 h )hh41f (x)dx -( 0+h4)02又f(x) X3時1 2 2嚴(yán)3h)f(x) X4 時:h2(0 4h3)12h故 0 f (x)dxhf(0)f(h)h2f'(0) f'(h)具有三次代數(shù)精確度.2,確定參數(shù)Ai, A,使求積公式hf (x)dx A1f ( h) A2f (0) h£f(h)的代數(shù)精確度盡可能高，

18、并求其代數(shù)精確度.(2009-2010)3,建立高斯型求積公式1 21x f (x)dx A| f (x1) A2 f (x2) .(2009-2010)解答：法一：已知求積公式有3次代數(shù)精確度,f(x)=1,x,x2,x3 得A1X1A2X21 3X dx10A1X12A2x221 JX dx125A1X13A2x231 5.i X dx01解上述方程組得:X1dX 2312AiA2X 1X2J5,a1法二：構(gòu)造二次正交多項式g0(x)1(xg0,g0)0(g0,g0)(xgi,gi)0,g1(x) X 0(91,91)0, 0(gz)(g0 , g0)g2(x) (X1)g1(x)ogo(

19、x)令 g2(x)0,得咼斯點:X2A11 X211X1X23,A235I2L2XxX2 X1故高斯型求積公式為:121x f(x)dx畐嚨)方法三：設(shè)-1,1ix2g2(x)dx則有:f (上權(quán)(x) =x2,首項系數(shù)為1的二次正交多項式為g2(x) X2 ax b.0,即 2+空 0,b53所以g2(x)2 X法四:A A223AiXiA2x20222A1X1A2X25A1X13A2X20(X)(X Xi)(XAi (Xi) A2(X2)22c20, C2xg2(x)dxX2) xA1(X123510,即竺0,a053剩下步驟同法二.5c1xCiXic2,顯然(X1)(X2)0C2) A2

20、(X：2 C1X2 C2) (A1X12 A2X2)C1( A1X1 A2X2) C2(A1 A2)A1X1(X1)A2X2(X2)(A1X13A2X；)C1(AiX12A2X2)C2(A1X1A2X2)2c150,Ci 0(x)X2 f,剩下步驟同法二Rejoicing in hope, p atient in tribulation.x£ 106Rejoicing in hope, p atient in tribulation.4,確定求積公式h f(x)dx Af( h) Bf(0) Cf (h)中的參數(shù) A,B,C，使其代數(shù)精度盡量高，并指出其代數(shù)精確度.(2008-200

21、9B)5, 確定求積公式 1f(x)dx -f(1) 1f(1) 2f(3)的代數(shù)精確度.(2006-2007B)03432346, 確定下列求積公式中的參數(shù)，使求積公式的代數(shù)精確度盡可能高，并求出代 數(shù)精確度 1f(x)dx A0f(1) A1f(1) A2f(3) .(2005-2006)04247, 確定下列求積公式中的參數(shù)，使求積公式的代數(shù)精確度盡可能高，并求出代 數(shù)精確度:f(x)dx A1f( h) A0f(0) A f(h) .(2004-2005) 8,已知h>0,建立高斯型求積公式:h 2hx f (x)dx Af(X1)AJX) .(2011-2012)題型五：求積公

22、式的最少節(jié)點數(shù)1,設(shè)定積分oe2dx,問用復(fù)化辛普森(Simpson)求積公式進行計算，要求誤差小于10-6，所需要的最少節(jié)點數(shù)為多少？(2010-2011)x解答：f(x) e?,f(X)1xI2e 216復(fù)化辛普森公式截斷誤差:|RSf| | bh4f(4)()|3h4 16960106Emp.17120117.05b a 解得：h<0.176,n>h故應(yīng)取19個節(jié)點.10-6，所2,設(shè)定積分0e3dx，問用復(fù)化梯形求積公式進行計算，要求誤差小于需要的最少節(jié)點數(shù)為多少？ (2009-2010)解答：f (x) e空，f(X)1J9復(fù)化梯形公式截斷誤差:|RTf| | 專&quo

23、t;()| 屮1解得：h<0.357,n>丄上h故應(yīng)取4個節(jié)點.2.823,給定積分0 cos2xdx，問用復(fù)化梯形求積公式和復(fù)化辛普森(Simpson)求積公式進行計算，要求誤差小于 10-6，所需要的最少節(jié)點數(shù)各為多少?(注: RTf害h2f(2)( ),RSf般h4f(4)( ),a,b)(2008-2009B)12 28801 x4,給定積分0e4dx，問用復(fù)化梯形求積公式和復(fù)化辛普森(Simpson)求積公式進行計算，要求誤差小于 10-6，所需要的最少節(jié)點數(shù)各為多少？ (2007-2008)25，給定積分Inxdx，問用復(fù)化梯形求積公式和復(fù)化辛普森(Simpson)求積

24、公式進行計算，要求誤差小于10-6，所需要的最少節(jié)點數(shù)各為多少?haha(已知：RTf古 h2f1),RSf右h4f (2), 1, 2 (a,b)( 2006-2007)82x121806,用積分2ln2計算In2，要使所得近似值具有7位有效數(shù)字，問用復(fù)化辛普森求積公式至少需要取多少個節(jié)點？ (2005-2006)Rejoicing in hope, p atient in tribulation.令: | R,f| | 山h4f(4)( )| h4180 1808 2h 0.04472,n 134.2h故至少需要取137個節(jié)點.Rejoicing in hope, p atient in

25、tribulation. 解答：復(fù)化辛普森公式截斷誤差公式：RSf罟h4f®( ), 2,8In2 22 存 f(x)占叫)x5 則 |f (x)| |,x 2,88 使所得的近似值具有7位有效數(shù)字，即RSf1 10-73 £ 1 10-78802Emp.2312017,用積分：Xdx In3計算In3 ,要使所得近似值具有 5位有效數(shù)字，問用復(fù)化梯形求積公式至少需要取多少個節(jié)點？ (2004-2005 )1(Simpson)8, 對于定積分I 0 f(x)dx，當(dāng)M=1/8,M 4=1/32,用11點的復(fù)化辛普森I的截斷求積公式求I的截斷誤差為Rf,用n個節(jié)點的復(fù)化梯形求

26、積公式求誤差為RTf,要使FTf< Rf , n至少是多少?(M=max|f ”(x)|,M 4=max|f (x)|, x 0,1 ).(2011-2012)題型六：Doolittle分解及方程組求解21,求矩陣46的 Doolittle 分解.(2010-2011)2解答：A= 46LU12,求矩陣12的 Doolittle 分解.(2009-2010)3,設(shè)線性方程組1126014214113101X1x2X3x45516(1),對方程組的系數(shù)矩陣A 作 Doolittle 分解;(2),用所得的Doolittle分解求該線性方程組的解.(2007-2008&2005-20

27、06)解答:11 A26014214113101LU由LY由UXb得：(y 1, y2, y3,y4)T丫得：(X1,X2,X3,X4)T1042(5,0,4,設(shè)線性方程組1126(1,41111,1,130111,-1)T.0011113191)t(1),對方程組的系數(shù)矩陣131332219113x1X2X3X45178A 作 Doolittle分解;(2),用所得的Doolittle分解求該線性方程組的解.(2006-2007)5,設(shè)線性方程組:r 2x2 3x315x1 x2 3x34JX 8x2 11 x33(1),對方程組的系數(shù)矩陣 A作Doolittle分解;(2),利用上述分解結(jié)

28、果求解該線性方程組.(2004-2005)6,用高斯順序消去法求解線性方程組:1解答：增廣矩陣=010回代求解：x42,x3012120400133531771000片2x35X2X43Xi2x24x33x417X23x470510201301013120021370002012120205364.(2010-2011)2,X21,X11.7,用高斯順序消去法求解線性方程組71.(2009-2010)0Rejoicing in hope, p atient in tribulation.廠3x1x2 4x3X1 2x2 2x32x1 3x2 2x3題型七:條件數(shù)及范數(shù)1,求線性方程組嚴(yán)9x18

29、x115x310x278的系數(shù)矩陣 A的條件數(shù)cond1(A),并說明其含義.9x210(2010-2011)1090001510900115condi(A)條件數(shù)遠(yuǎn)大于1,這說明當(dāng)A和b有小擾動時會引起解的較大誤差，即該方程組是病態(tài)的1936115 002,設(shè)矩陣 A0910，求 co nek (A). (2009-2010)0 893,設(shè)三階對稱矩陣A的特征值分別為：-2,1,3,求|A| 2及con d2(A).(2007-2008)解答：|A|2 J max(ATA)J max(A2)廠二両 3|A1| max(A1)TA1) J max(A-1)2)= J 則：cond2(A) |

30、A 11|2| A|2 3.2max(A-1)=14,若n元線性方程組 Ax=b為病態(tài)的，可以得到關(guān)于系數(shù)矩陣A的什么性質(zhì).(2006-2007)15,若 A 1112 3 ,求 con d1(A).(2005-2006 )求 co nek (A).(2004-2005)216,設(shè) A 104卄127,若 A 3 4求譜半徑 (A).(2005-2006)解答：最大特征值:A)=5 >/33232 ,求 II All 與 II A|1.(2007-2008)5題型八：雅可比迭代與高斯-賽德爾迭代7x1 3x2 2X3121，寫出求解方程組4X1 10X2 2x3 15的雅可比迭代公式，并

31、說明其收斂3為 4X2 8x318性.(2010-2011)雅可比迭代公式為:Y (k 1)入1X2(k 1)X3(k 1)1 (3x2(k) 2x3(k) 12) 存 4x1(k) 2x3(k) 15)!( 3x1(k) 4x2(k)818)雅可比迭代法迭代矩陣:7BJ4331022嚴(yán)格對角占優(yōu),8故求解該方程組的雅可比迭代法關(guān)于任意初始向量x(0)收斂.2，設(shè)有方程組:3X1 2x3102x2 x3 11，討論用雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法、2x1 x2 2X312解此方程組的收斂性.(2010-2011)Rejoicing in hope, p atient in tribulati

32、on.(1),證明求解該方程組的雅可比迭代法關(guān)于任意初始向量收斂；相應(yīng)的高斯3解答：A= 02雅可比迭代矩陣:Bj1(L U)3002312=F!(BJ)<1,故用雅可比迭代法解答此方程組對任意| E Bj | 0,得 1=0,初始向量x(0)都收斂.高斯-賽德爾迭代矩陣:Bs(DL) 1U231211121112(Bs) <1,故用高斯-賽格爾迭代法解答此方程組對任意初始向量x(0)都收斂.| E Bs| 0,得 1= 20，33,寫出求解方程組:性.(2009-2010)5x13x22x34Xi7X22x33X15x28X31215的高斯-賽德爾迭代公式，并說明收斂184,用雅

33、可比迭代法求解以32為系數(shù)矩陣的線性方程組時，確定其收3斂性.(2009-2010)乂 2X25,設(shè)線性方程組 X1 X2116J 2x1 2x2 X3222x3X3討論分別用雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法解此線性方程組的收斂性，若收斂，請給出迭代格式.(2008-2009B)Xi 2x2 2x3156,設(shè)線性方程組:X1 X2 X3202洛 2x2 x325賽德爾迭代法不是關(guān)于任意初始向量收斂;(2),取x(O)(O,O,O)t，用雅可比迭代法進行求解，要求x(k)| 10 5.(2OO7-2OO8)II (k 1)|x102511解答：022(1):BJD 1(LU)101220| EB

34、jI0,解得: 1='2 =3 = 0,(Bj)1022Bs(DL) 1u023002| EBsI0,解得: 10,232, ( Bs)1所以用雅可比迭代法解此方程組對任意初始向量都收斂，而用高斯-賽德爾迭代法解此方程組不是對任意初始向量都收斂 (2):雅可比迭代公式：X1(k1)2x2(k) 2x3(k) 15X2(k 1)X1(k)X3(k)20X3(k 1)2x1(k) 2x2(k) 25當(dāng) x(0)(0,0,0)t時，計算得：x(1)(15,20, 25)Tx(2)(105,60, 35)Tx(3)(205,160,65)tx(4)(205,160,65)t(精確解).8x1

35、x2 2x37,設(shè)線性方程組:2x1 7X2 3X34x13冷 11x3(1),寫出求解該方程組的雅可比迭代法的迭代公式和高斯-賽德爾迭代法的迭代公式，并確定其收斂性;(2),取x(O)(O,O,O)t，用高斯-賽德爾迭代法計算X.(2006-2007)Emp.271201Rejoicing in hope, p atient in tribulation.t 2 38,設(shè)線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A 2 t 1，其中t<0，問t取何值時雅可比迭代法關(guān)于任意初始向量都收斂.(2006-2007)解答：雅可比迭代矩陣BjU)2 2一 t , 雅可比迭代法對于任意初始向量都收斂，則(2即：

36、|Jv1,得 t<-2,or t>2 又t 0,故t 2.| EBj|( 2肖0得,1=0,2t3t22=tbj)3 t1t9,1),設(shè)線性方程組:'4x1 3x23x1 4x2X2 4x324x33024Emp.311201寫出求解該方程組的雅可比迭代法的迭代公式，并確定該迭代法的收斂性;2),設(shè)線性方程組:10x1 4x2 4x3134x110x2 8x3114x1 8X2 10x325寫出求解該方程組的高斯-賽德爾迭代法的迭代公式，并確定該迭代法的收斂性.(2004-2005)10,給定方程組:X1X12xi2X35X312x2X22x2 X3 3(1),用三角分解法

37、解此方程組;(2),寫出解此方程組的雅可比迭代公式，說明收斂性；取初始向量X0=(0,0,0) T,Rejoicing in hope, p atient in tribulation.當(dāng) |Xk1Xk | 102時，求其解.(2011-2012)11,設(shè) A（k）解答：lim A(k)1k4kk2 40022k 5k 3ksin ktan3k3sin kkcos* ，求 kim A(k).(2007-2008)12,若 A（k）1kksin1kkk 1sin kk,求 kim A(k) .(2004-2005)"25 的值.(2008-2009B)1 125解答：牛頓迭代公式：Xk

38、 1 -(Xk ),x0 0.21,設(shè)計一個算法求解答：|kmA（K）題型九：非線性迭代Xk2,給出用牛頓法求6170的近似值的迭代公式，并確定初值的取值范圍.(2010-2011)解答：X 6170轉(zhuǎn)化為方程x6 170由牛頓迭代法得迭代公式：兀1 Xkf (X) X6 170f(x) 當(dāng)X $175時，f(x0) 當(dāng)0VX0 聊70時，X16x50, f"(x)f"(x0)0,故此時收斂到x*.6 1(5x0 170)折706Rejoicing in hope, p atient in tribulation.0的正根.耳畀15Xk竽6Xk6x,30x405X06/17

39、0, X (0,6170)、八 /、1 /u170、設(shè) g(x) -(5x )6Xg'(x) 1(5 警)0,x (O,Vi70),故g(x) g(冊)0, 6X故：x1聊70 o,x,護70,回到前段.所以當(dāng)X (0,70),迭代公式也收斂到X*.綜上：x00.3,給出用牛頓法求5140近似值的迭代公式，并給出初值的取值范圍.(2009-2010)解答：方法同上.24,設(shè)© (x)=x+c(x -5),當(dāng) c 為何值時，Xk+i= (Xk) , (k=0,1,2 )產(chǎn)生的序列x k收斂于J5 ；又c為何值時收斂最快？ (2010-2011)解答：(x)=x+c(x 2 5)

40、, '(x)=1+2cxxk 1 (xk)收斂，則有 | (x*)|v1,即|1 +2cx*|<11 cx*0，又X* 二亦，則1當(dāng)'(x *)=0,即C二十時,255,設(shè)(X) x c(x2收斂最快.3)，應(yīng)如何選取常數(shù)c才能使迭代Xk 1(Xk),(k0,1,2L )具有局部收斂性？ C取何值時，這個迭代收斂最快？取 X0=2, c2計算(x)的不動點，要求當(dāng)|Xk1 Xk| 106時結(jié)束迭代.(2004-2005)解答：(1),令xk 1 故 xa/s,要(x)|1 2cx | 1, 1 exRejoicing in hope, p atient in tribul

41、ation.(xk)收斂于 X*,則 X*X*c(x*23)X c(x23)局部收斂，即|'(x*)|賦得-並c 0,or,031,又x(2),根據(jù)收斂階定理，當(dāng)'(x*)0時，迭代至少二階收斂，即1+2CX* 0,得c= 迴6故c= 時，迭代收斂最快.6(3),迭代公式為：xk 1 xk(x： 3)X1x2X3x4因為 |X4 x3 | 10 6,故:x*1.732050808.又x。21.7113248651.7319268031.7320508041.7320508086,方程x3-3x-1=0在x=2附近有一根，構(gòu)造一個局部收斂的不動點迭代法，并說明收斂的理由.(200

42、9-2010)解答：(x)=葯3x取X 2的鄰域1.5,2.5(1.5) 1.765174168, (2.5)2.040827551當(dāng) X 1.5,2.5時，(X)1.5,2.5又因為 | '(x)| | .1| - 0.33,故迭代在1.5,2.5上整體收斂.7,已知方程f (X)X4 4x2 40有一個兩重根X0 72,請以初值X0=1.5,用m重根的牛頓迭代法計算其近似值，要求|xk 1 Xk| 10 5.(2008-2009B)( P204 例7.7)8,(1),已知方程e2xX 4 0在0.6附近有一根x，迭代法Xk 14 e2xk,k 0,1,2L是否局部收斂？如果不收斂，

43、試構(gòu)造一個局部收斂的不動點迭代法，并說明收斂的理由Rejoicing in hope, patient in tribulation.2圍.(2007-2008)解答：(1)：(X)1 '(x*)|構(gòu)造：(3) ,給出牛頓法求 屁0的近似值的迭代公式，并給出初值的取值范4 e2x, '(X)2e2x1,(x*0),故該迭代公式不是局部收斂的1Xk 1-ln(4 Xk)22、_ 1 、'(X) 1Ill IH-2(X )2(4 X)(0)In2,(1)1-In3故(X) 0,12又|'(x)| |'(1)|1 16故迭代式Xk11 2In(4 xk)在0,

44、1(2),Xk 1 2In(4Xk)，則X11In(42X0)0.611887715X21 -ln(4 2X1)0.610136459X311n (42X2)0.610394833X41 -ln(4 2X3)0.610356722X51 n(42X4)0.6103623441 120,Xk1-(Xk),X00.Xk上整體收斂.理由：取鄰域0,19,給定方程x2+x-2=0, X 0,2,采用迭代公式 Xk+1=Xk+c(x k2+Xk-2),(k=0,1,2)求其根，問當(dāng)c為何值時，迭代法收斂？又當(dāng) c為何值時，迭代法收斂最快?(2011-2012)解答：x'(x) 11, (x) x

45、c(2x 1)c(x22)當(dāng)| '(1)|1c(21)1c 0時，線性收斂.當(dāng)(1)=0, 即卩c二-時收斂最快.310,給定方程 3x2 ex 0，x 3,4(1),構(gòu)造一種線性收斂的不動點迭代公式求該方程的根(含迭代公式，初值取何值或何區(qū)間，迭代法收斂的原因)(2),構(gòu)造一種二次收斂的不動點迭代公式求該方程的根(含迭代公式，初值取何值或何區(qū)間，迭代法收斂的原因).(2011-2012)解答:，1(x) In (3x2),3.291' 2-1(x)-,x 3,423故不動點迭代公式:x k 1 (2), f(x) 3x2 f(3) 0,f f'(x) 6x ex1(x

46、)2) 3.87ln( 3x：),(k ex,x 3,4 0"x0, f (x)6 ex0,x0,1,2,L )對于任意初值xo3,4收斂.3,4Emp.351201取初值x。3時，牛頓迭代法： xk1兀3xk e：收斂，且二次收斂.k16xk exk11,方程x3-x2-1=0在x=1.5附近有根,建立一個收斂的迭代公式，并證明其收斂性.(2004-2005)解答：xk1 1丄Xk取 x 1.5的鄰域1.3,1.611 Tx1.591715976, (1.6)1.3906251.3,1.6 時，(X) 1.3,1.62' 2 2(x)(1.3)故當(dāng)x又(X),1(x)| | O.92xx1.3xk1 1 亠在1.3,1.5上整體收斂.Xk故迭代公式:Emp.39120112,(1),已知方程ex 10x20在0.09附近有一根X,迭代法& 1 In(2 10Xk),(k 0,1,2L )是否局部收斂？如果不收斂，請構(gòu)造一個局部收斂的不動點迭代法，并說明收斂的理由;(2),取 X0=O.O9,用局部收斂的迭代法計算 X5；(3),用牛頓法求引