直角三角形(一)教學設計

1、第一章 證明（二）2直角三角形（一）一、學生知識狀況分析 直角三角形全等的條件和勾股定理及其逆定理在前面已由學生通過一些直觀的方法進 行了探索，所以學生對這些結論已經有所了解，對于它們，教科書努力將證明的思路展現出 來例如以前我們曾用割補法驗證過勾股定理，而此處對勾股定理的證明應以我們認定的幾 條公理和由此推出的定理為依據進行，雖然證明的方法有多種，但對學生來說，這些都有難 度，因此教科書將其兩種證明方法放在 “讀一讀 '中'，供有興趣的學生閱讀，不要求所有學生 掌握，其逆定理的證明方法對學生來說也是有一定難度的二、教學任務分析本節(jié)課的教學目標是：1知識目標：（1）經歷和了解勾

2、股定理及其逆定理的證明方法，進一步理解證明的必要性.（2）結合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命 題不一定成立2能力目標： （1）進一步經歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感， 發(fā)展抽象思維（2）進一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理的能力 3情感與價值觀要求 在數學活動中，獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心 積極參與數學活動，對數學命題的獲得產生好奇心和求知欲.4教學重點、難點重點 了解勾股定理及其逆定理的證明方法 結合具體例子了解逆命題的概念，識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立難點勾股定理及其逆定理的

3、證明方法.對不是“如果那么”形式的逆命題的敘述.三、教學過程分析本節(jié)課設計了七個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境，引入新課；第二環(huán)節(jié)：講述新課；第三環(huán)節(jié)：議一議；第四環(huán)節(jié)：想一想；第五環(huán)節(jié)：.隨堂練習；第六環(huán)節(jié)：課時小結；第七 環(huán)節(jié)：課后作業(yè) 第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境，引入新課通過問題1,讓學生在解決問題的同時，回顧直角三角形的一般性質。問題1 一個直角三角形房梁如圖所示，其中BC丄AC, / BAC=30 , AB=10 cm ,CBi丄AB , BiC丄ACi,垂足分別是Bi、Ci,那么BC的長是多少？ BiCi呢？B解：在 Rt ABC 中，/ CAB=30°, AB=i0 cm , i

4、i BC = 2 AB = 2 乂0= 5 cm.CBi 丄 AB，/ B+Z BCBi = 90°又/ A+ Z B = 90° Z BCBi =Z A = 30°ii5在 RtAACBi 中，BBi = 2 BC = 2 冷=2 cm = 2. 5 cm. ABi = AB = BBi= i0 2.5= 7.5(cm).在 RtACiABi 中，Z A = 30°rii BiCi = 2 ABi = 2 X7.5= 3.75(cm).解決這個問題，主要利用了上節(jié)課已經證明的“ 30°角的直角三角形的性質”.由此提問:'般的直角三角形

5、具有什么樣的性質呢？ ”從而引入勾股定理及其證明。教材中曾利用數方格和割補圖形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及由其推導出的 定理，能夠證明勾股定理嗎？請同學們打開課本Pi8,閱讀 讀一讀”，了解一下利用教科書給出的公理和推導出的定理, 證明勾股定理的方法.第二環(huán)節(jié)：講述新課閱讀完畢后，針對“讀一讀”中使用的兩種證明方法，著重討論第一種，第二種方法請 有興趣的同學課后閱讀.i.勾股定理及其逆定理的證明.已知：如圖，在 ABC 中，/ C= 90°° BC = a, AC = b, AB = c.求證：a2+b2 = c2.證明：延長 CB至D，使BD= b,作/ EBD

6、= Z A，并取BE= c,連接ED、AE(如圖),則厶 ABC BED ./ BDE = 90°, ED = a(全等三角形的對應角相等，對應邊相等). 四邊形ACDE是直角梯形.1 1 2二 S 梯形 acde = 2 (a+b)(a+b) = 2 (a+b)./ ABE = 180° (/ ABC + Z EBD) = 180° 90°= 90°, AB = BE.1 2 SA ABE = 2 c2T S 梯形 ACDE = Ssbe+Ssbc +Sbed ,1/x 21211-2 (a+b) = 2 c + 2 ab + 2 ab,即2

7、 a2 + ab + 1 b2 = 2 c2 + ab,二 a2+b兩干多年來，人們對勾股定理進行了大量的研究，給出了多達數百種的證明方法.如果 學生有興趣，鼓勵他們查閱有關資料，了解勾股定理的其他證明方法.教師用多媒體顯示勾股定理內容，用課件演示勾股定理的條件和結論，并強調.具體如 下：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.反過來，如果在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們曾用度量的 方法得出 這個三角形是直角三角形”的結論.你能證明此結論嗎？這對同學們來說也是具有一定難度的.于是師生共同來完成.已知：如圖：在厶ABC中，AB2+AC2= BC2求證： ABC是

8、直角三角形.分析：要從邊的關系，推出/ A = 90°是不容易的，如果 能借助于厶ABC與一個直角三角形全等，而得到/ A與對應角 （構造的三角形的直角）相等，可證.證明：作 Rt A B',使/ A'= 90°, A BAB , A C AC（如圖）, 則A B'+ A 0.（勾股定理）. AB2 + AC2= BC2, A 養(yǎng) AB , A CABC' BC2= B' C:.BC = B' C ABC A B' (SSS) Z A = Z A = 90° (全等三角形的對應角相等) 因此， ABC是直角三

9、角形.教師用多媒體顯示定理內容：定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.2 互逆命題和互逆定理.觀察上面兩個命題，它們的條件和結論之間有怎樣的關系 ？在前面的學習中還有類似的命 題嗎？通過觀察，學生會發(fā)現：上面兩個定理的條件和結論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個定理的結論，結論 是第二個定理的條件.這樣的情況，在前面也曾遇到過例如兩直線平行，內錯角相等”，交換條件和結論，就得到 內錯角相等，兩直線平行”.又如 在直角三角形中，如果一個銳角等于 30°,那么它 所對的直角邊就等于斜邊的一半”.交換此定理的條件和結論就可得“在直角三角形中，如果 一條

10、直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30?！?。第三環(huán)節(jié)：議一議：活動內容：觀察下面三組命題：學生以分組討論形式進行，最后在教師的引導下得出命 題與逆命題的區(qū)別與聯系?；顒幽康模鹤寣W生暢所欲言，體會逆命題與命題之間的區(qū)別與聯系，要能夠清晰地分別 出一個命題的題設和結論，能夠將一個命題寫出“如果；那么”的形式，以及能夠 寫出一個命題的逆命題?；顒有Чc注意事項：活動中，教師應注意給予適度的引導，學生若出現語言上不嚴謹 時，要先讓這個疑問交給學生來剖析，然后再總結?；顒訒r可以先讓學生觀察下面三組命題： 如果兩個角是對頂角，那么它們相等.如果兩個角相等，那么它們是對頂角.如果小明患了肺炎

11、，那么他一定發(fā)燒.如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎.三角形中相等的邊所對的角相等三角形中相等的角所對的邊相等 上面每組中兩個命題的條件和結論也有類似的關系嗎 ?與同伴交流 不難發(fā)現，每組第二個命題的條件是第一個命題的結論，第二個命題的結論是第一個命 題的條件在兩個命題中，如果一個命題條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個 命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題，相對于逆命題來說，另一個就 為原命題再來看 “議一議 ”中的三組命題，它們就稱為互逆命題，如果稱每組的第一個命題為原命 題，另一個則為逆命題請同學們判斷 i 每組原命題的真假逆命題呢 ?在第一組中，原命題是真命

12、題，而逆命題是假命題 在第二組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題 在第三組中，原命題和逆命題都是真命題 由此我們可以發(fā)現：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題第四環(huán)節(jié)：想一想 要寫出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件和結論，然后把結論變換成條件，條 件變換成結論，就得到了逆命題請學生寫出命題 “如果兩個有理數相等，那么它們的平方相等 ”的逆命題嗎 ?它們都是真命 題嗎？從而引導學生思考：原命題是真命題嗎 ?逆命題一定是真命題嗎 ? 并通過具體的實例說 明。如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們?yōu)榛ツ娑ɡ?. 其中逆命題成為原命題 (即原定理 )的逆定理能舉例說出

13、我們已學過的互逆定理 ?如我們剛證過的勾股定理及其逆定理， “兩直線平行，內錯角相等 ”與“內錯角相等，兩直 線平行”“全等三角形對應邊相等 ”和“三邊對應相等的三角形全等 ”、“等邊對等角 ”和“等角對 等邊”等第五環(huán)節(jié)：隨堂練習說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假 ;(1) 四邊形是多邊形；(2) 兩直線平行，內旁內角互補；(3) 如果 ab= 0,那么 a= 0, b = 0 分析 互逆命題和互逆定理的概念，學生接受起來應不會有什么困難，尤其是對以“如果那么”形式給出的命題，寫出其逆命題較為容易，但對于那些不是以這種形式給出 的命題,敘述其逆命題有一定困難可先分析命題的條件和結論,然后寫出逆命題解： (1)多邊形是四邊形原命題是真命題，而逆命題是假命題(2) 同旁內角互補，兩直線平行原命題與逆命題同為正(3) 如果a= 0, 6 = 0,那么ab= 0.原命題是假命題，而逆命題是真命題. 第六環(huán)節(jié)：課時小結這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結合數學和生活中的例子了解逆命 題的概念，會識別兩個互逆命題，知道，原命題成立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方 法，進一步發(fā)展了演繹推理能力.第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)習題 1. 4第 1、3題四、教學反思學生對于命題和逆命題中題設和結論分析和把握不是太準， 部分學