西工大 有限元試題附答案

1、.1針對(duì)下圖所示的3 個(gè)三角形元，寫出用完整多項(xiàng)式描述的位移模式表達(dá)式。2如下圖所示，求下列情況的帶寬:a) 4 結(jié)點(diǎn)四邊形元；b) 2 結(jié)點(diǎn)線性桿元。3對(duì)上題圖諸結(jié)點(diǎn)制定一種結(jié)點(diǎn)編號(hào)的方法，使所得帶寬更小。圖左下角的四邊形在兩種不同編號(hào)方式下，單元的帶寬分別是多大？4下圖所示， 若單元是 2 結(jié)點(diǎn)線性桿單元， 勾畫出組裝總剛后總剛空間輪廓線。系統(tǒng)的帶寬是多大？按一右一左重新編號(hào)（即6 變成 3 等）后，重復(fù)以上運(yùn)算。.5 設(shè)桿件 12 受軸向力作用，截面積為 A，長度為 L，彈性模量為 E，試寫出桿端力 F1 ，F(xiàn)2 與桿端位移 u1 , u2 之間的關(guān)系式，并求出桿件的單元?jiǎng)偠染仃?k(

2、e)6設(shè)階梯形桿件由兩個(gè)等截面桿件 1 與2 所組成，試寫出三個(gè)結(jié)點(diǎn)1、2、3 的結(jié)點(diǎn)軸向力 F1， F2， F3 與結(jié)點(diǎn)軸向位移 u1 , u2 , u3 之間的整體剛度矩陣 K 。7 在上題的階梯形桿件中，設(shè)結(jié)點(diǎn)3 為固定端，結(jié)點(diǎn) 1 作用軸向載荷 F1=P，求各結(jié)點(diǎn)的軸向位移和各桿的軸力。8 下圖所示為平面桁架中的任一單元，x, y 為局部坐標(biāo)系， x， y 為總體坐標(biāo)系， x 軸與 x 軸的夾角為。（1） 求在局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃噆 (e)（2） 求單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣T ；（3） 求在總體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃噆 (e).9如圖所示一個(gè)直角三角形桁架，已知E3107 N / cm

3、2 ，兩個(gè)直角邊長度l 100cm ，各桿截面面積 A 10cm2 ，求整體剛度矩陣 K 。10 設(shè)上題中的桁架的支承情況和載荷情況如下圖所示，按有限元素法求出各結(jié)點(diǎn)的位移與各桿的內(nèi)力。.11 進(jìn)行結(jié)點(diǎn)編號(hào)時(shí)，如果把所有固定端處的結(jié)點(diǎn)編在最后，那么在引入邊界條件時(shí)是否會(huì)更簡便些？12 針對(duì)下圖所示的 3 結(jié)點(diǎn)三角形單元，同一網(wǎng)格的兩種不同的編號(hào)方式，單元的帶寬分別是多大？13 下圖所示一個(gè)矩形單元，邊長分別為 2a 與 2b，坐標(biāo)原點(diǎn)取在單元中心。位移模式取為uv12 x3 y4 xy56 x7 y8 xy導(dǎo)出內(nèi)部任一點(diǎn)位移u, v 與四個(gè)角點(diǎn)位移之間的關(guān)系式。14 桁架結(jié)構(gòu)如圖所示， 設(shè)各桿

4、 EA/L 均相等，單元及結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖所示，試寫出各單元的單剛矩陣 k e。.15 圖所示三桿桁架，節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn) 3 處固定，節(jié)點(diǎn) 2 處受力 Fx2，F(xiàn)y2，所有桿件材料相同，彈性模量為E，截面積均為A，求各桿內(nèi)力。16 對(duì)下圖 (a) 中所示桁架結(jié)構(gòu)分別采用圖(b) 、圖(c) 兩種編節(jié)點(diǎn)號(hào)方式， 求其剛度矩陣半帶寬。一般來講，剛度矩陣的最大半帶寬節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)x( 單元中節(jié)點(diǎn)最大編號(hào)差+1) 。按圖 (b) 編號(hào)方式，最大半帶寬為SB Max2× (6 11) 12按圖 (c) 編號(hào)方式，最大半帶寬為SB Max2×（ 21) 617 如圖所示為一個(gè)由兩根桿組成的結(jié)構(gòu)(

5、 二桿分別沿 x,y 方向 ) 。結(jié)構(gòu)參數(shù)為：622E1 E2 2×10 kgcm，A1=2A2=2cm，試完成下列有限元分析。(1) 寫出各單元的剛度矩陣。(2) 寫出總剛度矩陣。(3) 求節(jié)點(diǎn) 2 的位移 u2，v2(4) 求各單元的應(yīng)力。(5) 求支反力。18 單元的形狀函數(shù) N 具有什么特征答案：其中的 Ni 在 i 結(jié)點(diǎn) Ni=1；在其他結(jié)點(diǎn)Ni=0 及 Ni=119 為了在位移模式中反映單元的常量應(yīng)變和剛體位移項(xiàng)，在桿件單元、平面單元和空間單元中各應(yīng)保存哪些冪次項(xiàng)？.20 將有限單元法的離散化結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)相比，當(dāng)采用低次冪函數(shù)作為位移模式時(shí)，其單元的剛度、整體的剛度是增加

6、了還是減少了？21 如何構(gòu)造位移模式：答案：構(gòu)造位移模式，應(yīng)考慮(1) 位栘模式中的參數(shù)數(shù)目必須與單元的結(jié)點(diǎn)位栘未知數(shù)數(shù)目相同；(2) 位栘模式應(yīng)滿足收斂性的條件，特別是必須有反映單元的剛體位移項(xiàng)和常應(yīng)變項(xiàng)的低冪次項(xiàng)的函數(shù)；(3) 在結(jié)點(diǎn)，必須使位栘函數(shù)在結(jié)點(diǎn)處的值與該點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)位栘值相等22 利用平面固結(jié)單元?jiǎng)偠染仃囃茖?dǎo)下圖所示左瑞固定右瑞鉸支的桿單元?jiǎng)偠染仃?3 一般的桿件結(jié)構(gòu)有限單元法得到的解是近似解還是準(zhǔn)確解，為什么？24 設(shè)懸臂梁的自由端由剛度系數(shù)為 k 的彈簧支撐，在荷載 P 作用下，求圖所示端點(diǎn) 2 的撓度和轉(zhuǎn)角.答案：25 用有限單元法計(jì)算圖所示平面剛架時(shí)(1) 如何進(jìn)行結(jié)點(diǎn)編號(hào)

7、使整體剛度距陣 K 的帶寬最小 ?(2) 在結(jié)點(diǎn)編號(hào)確定后， 按此順序進(jìn)行自由度編號(hào)， 則 A 結(jié)點(diǎn)水平位移對(duì)應(yīng)的主對(duì)角線項(xiàng)在 K 中的行列式位置是多少？(3) 哪些單元對(duì)該項(xiàng)的數(shù)值有影響？(4) 在K 中該項(xiàng)以左哪些元素不等于零？26 在平面問題中，常常將原整體坐標(biāo)系 (x ， y) 中的四結(jié)點(diǎn)直邊四邊形或八結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等單元變換為局部坐標(biāo)系 ( , ) 中的規(guī)則正方形，再建立位移模式，進(jìn)行有限單元法分析，其坐標(biāo)變換式和位移模式采用同樣的形函數(shù)和相同的參數(shù)，因此這種單元稱為等參數(shù)單元。27 在平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元中的位移、應(yīng)變和應(yīng)力具有什么特征?答案：在平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元中， 位移呈線性

8、變化， 在公共邊界上兩單元位移協(xié)調(diào)；單元內(nèi)的應(yīng)變、應(yīng)力為常量，但在公共邊界上應(yīng)變、應(yīng)力均有突變現(xiàn)象28 在有限單元法中，當(dāng)單元的尺寸逐步縮小時(shí)，單元中的位移、應(yīng)變、應(yīng)力有什么特征？.答案：當(dāng)單元的尺寸非常小時(shí)，單元內(nèi)的位移、應(yīng)變、應(yīng)力均趨近于常量29 試分析下列平面單元中的位移在兩單元公共邊界上的連續(xù)性：(1) 三結(jié)點(diǎn)三角形單元；(2) 四結(jié)點(diǎn)矩形單元；(3) 六結(jié)點(diǎn)三角形單元；(4) 四結(jié)點(diǎn)直線四邊形等參數(shù)單元；(5) 八結(jié)點(diǎn)曲線四邊形等參數(shù)單元答案：在單元之間的公共邊界上，上述單元的位移均保持連續(xù)30 在有限單元法中，等參數(shù)單元的主要優(yōu)點(diǎn)是什么?答案：(1)在原結(jié)構(gòu)中可以采用不規(guī)則單元，易

9、于適應(yīng)邊界面的形狀和改變單元的大??；(2) 將不規(guī)則單元變換為規(guī)則的母單元后，易于構(gòu)造位移模式。31 在有限單元法中，應(yīng)用等參數(shù)單元時(shí)：(1) 坐標(biāo)變換的精度和位移模式的精度是否一樣 ?(2) 如何建立局部坐標(biāo)系 ( , ) 與整體坐標(biāo)系之間的關(guān)系 ?(3) 為什么要采用高斯積分公式 ?(4) 高斯積分點(diǎn)的數(shù)目如何確定 ?32 對(duì)于下圖所示問題，用有限單元法分析時(shí)，應(yīng)采用什么措施以提高分析的精度 ?答案： (1) 采用高次位移模式的單元； (2) 在孔口、支座處加密網(wǎng)格； (3) 由于對(duì)稱，取半進(jìn)行計(jì)算。33對(duì)于下圖所示的六結(jié)點(diǎn)矩形單元，應(yīng)取什么樣的形狀函致來表示位移模式?試寫出位移模式，并檢

10、驗(yàn)是否滿足收斂性條件。.答案：可取位移模式為對(duì)于 v，可寫出同樣形式的表達(dá)式其中此位移滿足了收斂性的條件； 反映了單元的剛體位移項(xiàng)和常量應(yīng)變項(xiàng)， 并在單元之間邊界上保持了位移的連續(xù)性34 當(dāng)單元采用線性位移模式時(shí)，試列出各單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣。.35 空間單元大致分哪幾類，它們各自有什么優(yōu)缺點(diǎn)?答案：分三類：四面體單元、六面體單元和等參數(shù)單元。優(yōu)缺點(diǎn)：四面體單元以四結(jié)點(diǎn) 12 個(gè)自由度為例，其剛度矩陣最簡單，能適應(yīng)復(fù)雜結(jié)構(gòu)幾何外形，但因是常應(yīng)變單元，故計(jì)算精度較差。六面體單元形狀規(guī)則，難以適應(yīng)復(fù)雜的外形。等參數(shù)單元計(jì)算精度高，又能適應(yīng)復(fù)雜幾何外形。36 為什么在三角形單元中可以用面積坐標(biāo)代替

11、笛卡兒坐標(biāo)?使用面積坐標(biāo)有什么優(yōu)點(diǎn) ?是否類似四面體單元中可以采用體積坐標(biāo)?答案：因?yàn)槊娣e坐標(biāo)對(duì)三角形單元來說是自然坐標(biāo)，就好像, 坐標(biāo)對(duì)于等參數(shù)四邊形單元是自然坐標(biāo)一樣。 當(dāng)三角形單元的形狀和位移由同樣的面積坐標(biāo)表示的形函數(shù)確定時(shí)，三角形單元實(shí)際上就是等參數(shù)單元， 用面積坐標(biāo)表示形函數(shù)，能方便地驗(yàn)證單元的協(xié)調(diào)性，四面體單元可以用體積坐標(biāo)表示。.填空題1.總剛度矩陣有 3 個(gè)重要的性質(zhì) :、。對(duì)稱性關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱；稀疏性矩陣中有大量的零元素；帶狀分布矩陣中非零元素在主對(duì)角線兩仍呈帶狀分布。2. 單元的剛度矩陣和系統(tǒng)的總體剛度矩陣均是對(duì)稱矩陣。 且主對(duì)角線上元素均為正值?？傮w剛度矩陣是帶狀分布

12、的稀疏矩陣 在未引入邊界條件 ( 約束 ) 前是奇異的。3. 總體剛度矩陣可以由單元?jiǎng)偠染仃嚢垂?jié)點(diǎn)編號(hào)疊加而成。4. 總體剛度矩陣在計(jì)算機(jī)內(nèi)的存儲(chǔ)量的大小與最大半帶寬有關(guān)，而最大半帶寬由單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)差所決定， 因此，對(duì)系統(tǒng)編碼時(shí)應(yīng)注意盡量減小單元節(jié)點(diǎn)的最大編號(hào)差。5. 對(duì)于同一對(duì)稱面，加載荷是對(duì)稱的，則位移的反對(duì)稱分量為零；加載荷是反對(duì)稱的，則位移的對(duì)稱分量為零。6. 為了隨著單元尺寸的減小 ( 單元數(shù)目增多 ), 有限元計(jì)算結(jié)果能收斂于精確解，所選擇的位移插值函數(shù)必須滿足下列 3 個(gè)條件 : 位移插值函效應(yīng)能反映單元的剛體位移；位移插值函數(shù)應(yīng)能反映常量應(yīng)變 、位移插值函數(shù)應(yīng)能保證單元內(nèi)及相鄰

13、單元間位移的連續(xù)性。 條件表明， 位移函數(shù)中應(yīng)包含有常數(shù)項(xiàng)， 條件表明，位移插值函數(shù)應(yīng)包含一次項(xiàng)； 條件表明， 位移插值函數(shù)應(yīng)在單元內(nèi)連續(xù)，在單元邊界上其值應(yīng)能由節(jié)點(diǎn)函數(shù)值惟一確定。7. 三節(jié)點(diǎn)三角形單元，由于其位移插值函數(shù)是線性函數(shù)，因此稱之為三角形常應(yīng)變或常應(yīng)力單元。 其位移在單元內(nèi)呈線性變化， 應(yīng)力、應(yīng)變?cè)趩卧獌?nèi)是一個(gè)常量，因此在求解區(qū)域內(nèi)應(yīng)力和應(yīng)變的變化都是不連續(xù)的。8. 采用線性位移插值函數(shù)的三角形單元的計(jì)算精度不高，為提高計(jì)算精度可以采取的方法有：、。單元分細(xì)；構(gòu)造高精度新單元。9. 等參數(shù)單元的特征是單元上位移插值函數(shù)的插值公式與坐標(biāo)變換的表達(dá)式具.有完全相同的形式。10. 為保

14、證等參變換式在單元上能確定整體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使等參數(shù)變換能真正施行，必須使雅可比行列式在整個(gè)單元上均不等于零。11構(gòu)造等參數(shù)單元是以局部坐標(biāo)為出發(fā)點(diǎn)，整個(gè)討論和計(jì)算都是在局部坐標(biāo)系中規(guī)則單元內(nèi)進(jìn)行的。最后在整體坐標(biāo)下疊加各單元?jiǎng)偠染仃嚽蠼狻?2等參數(shù)單元的優(yōu)點(diǎn)是有較大的選擇單元的自由，能很好地模擬曲線邊界， 計(jì)算精度高，這一點(diǎn)對(duì)復(fù)雜區(qū)域的求解時(shí)特別突出。有限元法實(shí)質(zhì)上是把具有無限個(gè)自由度的連續(xù)系統(tǒng)， 理想化為只有有限個(gè)自由度的單元集合體，使問題轉(zhuǎn)化為適合于數(shù)值求解的結(jié)構(gòu)型問題。幾何方程是表述彈性體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)變與位移之間關(guān)系的方程式。 物理方程是描述應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的方程。由單元?jiǎng)偠染仃嚡B加而成的總體剛度矩陣是一個(gè)奇異矩陣， 原因是未對(duì)整個(gè)系統(tǒng)施加約束，而施加約束條件后的方程組則是有惟一解的