復(fù)習(xí)專題解三角形專題

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載解三角形專題不務(wù)正業(yè)原創(chuàng)1 已知函數(shù) f(x) = tan(2x+ nn.(1)求f(X)的定義域與最小正周期;設(shè)a(0，才)若嚕卜2cos2 a，求a的大小.分析：這個(gè)題從表面看，應(yīng)該有多種解法，實(shí)際上通過進(jìn)一步解答發(fā)現(xiàn)，有些解法計(jì)算太 X工n十k n注意這里的 x代 表的實(shí)際意義，對(duì)于形如tan( t5x+b)這種形式的函數(shù)來講，x代表的是括號(hào)內(nèi)的整體，因?yàn)槎x域是針對(duì)正切函數(shù)而言的，不是針對(duì)變量x的。同樣的道理，對(duì)所有的正切函數(shù)來說，周期T=兀，對(duì)形如tan( ©x+b)而言，周期 T。本題主要是第 2小題的解答，原方程可化為：0復(fù)雜。定義域不用講了，對(duì)所有的

2、正切函數(shù)來說，它的定義域?yàn)?兀tan( a + )=2cos2 a,從表面上看，感覺全部化成正切應(yīng)該簡單一些，通過簡單的變形發(fā)現(xiàn),4tan a的值算出來不是一個(gè)特殊值，不方便，進(jìn)而考慮化弦，問題得解?！窘獯稹浚河?X+ n才+ kn, k Z,得X工訂kn, k Z. R x工 n + kn，k z.f(x)的最小正周期為n.(2)由2cos2 a,得所以f(x)的定義域?yàn)?ra+nf n c csinf 十 4丿22+_ E Sina+ cos a c,.、，tan a+ T = 2cos2 a, ； = 2(cos a- sin a ,整理得=2(cos a+ sin a)(cos a-，

3、4丿f ncos a- sin acos Ia+ 4丿sin a .因?yàn)?0，n)所以 sina+ cos a工 0，因此(COS a- sin "2= |，即 sin2 a= f .由 (0，2J,所以 2 a= 6，即 a=2 在 ABC0,求邊BC上的高.本題考查兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，利用正弦定理或余弦定理解三角形, 以及三角形的邊與角之間的對(duì)應(yīng)大小關(guān)系，考查綜合運(yùn)算求解能力.中，a， b， c 分別為內(nèi)角 A， B， C 所對(duì)的邊長，a=>/3， b=>/2， 1 + 2cos(B + C)=【解答】：由 1 + 2cos(B + C)= 0

4、和 B + C =n A，得 1 - 2cosA = 0，cosA = ，sinA =¥，再由正弦定理，得sinB = bsinA = ¥.由b<a知B<A，所以B不是最大角，Bvf,從而a 22cosB= U1 - sin2B = ¥.由上述結(jié)果知sinC = sin（A+ B2曹+扌）設(shè)邊BC上的高為h，則有h=bsinC =吟當(dāng)然，用余弦定理也一樣解。因?yàn)?1 + 2cos(B + C)= 0 和 B + C = n- A,得 1 2cosA = 0 , cosA=-1, sinA=¥ <0 (舍去)222a =b +c -2bc

5、*cosA代入數(shù)據(jù)得 c= 或 c=21 1 1 +3已知所以bC的一個(gè)*內(nèi)角為120*h并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則 ABC的面積【解答】： 不妨設(shè)/ A = 120° c<b，貝y a = b+ 4，c = b- 4， 于是cos120-七屮 =-1，解得b = 10,所以c= 6.所以 S= gbcsin120 丄 15(3.n4 在 ABC 中，若 b = 5,Z B=才，ta nA = 2,貝 si nA =【解析】因?yàn)閠anA = 2,所以sinA =芻怎；再由正弦定理有：a5sinA sinBb ，即一 =孚，可得 a =2寸 52/252一般地，在解三角

6、形題時(shí)，往往利用三角形內(nèi)角一定小于180°這個(gè)特性。因?yàn)閠anA=2,所以A必為銳角，在第二象限，正弦函數(shù)值為負(fù)。由tanA=2，得：sinA=2coaA又coSa+cosA=1,很容易得出inA=耳55n15 在 ABC 中，若 b = 5,Z B= 4, si nA = 3，貝a =【解答】：由正弦定理有：誌=盞，即a=j2，得a=呼.326 ABC 的內(nèi)角 A、B、C 的對(duì)邊分別為 a、b、c, asinA + csinC-V2asinC = bsinB. (1)求 B；若 A = 75 ° b= 2,求 a, c.【解答】 由正弦定理得a2 + c2/2ac= b2

7、.由余弦定理得 b2 = a2 + c2 2accosB.故 cosB = 丁，因此 B= 45 . (2)si nA = sin(30 ° 45 ) = sin 30 cos45 + cos30 sin 45返 + yf6sinA 返+ I6石sinCn60 ° 庁=.故 a=bX而= =1/3，c=bXsnC=2X時(shí)尸厲般情況下，我們習(xí)慣將邊轉(zhuǎn)化為角來解題，但本題將角轉(zhuǎn)化為邊更簡潔。C圖1 57 如圖 1 5 , ABC 中，AB = AC= 2, BC= 2/3,點(diǎn) D 在 BC 邊上，/ ADC = 45 ° 貝U AD 的長 度等于AC2 + bC2 A

8、B 2 【解析】心ABC中，由余弦定理：COSC =2AC BC=¥，則/ aCB = 30°.2 X 2 X 232在ACD中，由正弦定理:AD =si nCAC sin/ADC，12 X . ad = AC Sin30 =2sin 45亞=戸即2AD的長度等于2.8若 ABC的面積為【解答】方法一：由羽，BC = 2,SABC = AC BCsi nC,得C= 60 °則邊AB的長度等于2aC 2sin60=>/3,解得 AC= 2.由余弦定理，得 AB2= AC2 + BC2 2AC BCcos60° = 22+ 22 2X 2 AB = 2

9、,即邊AB的長度等于2.方法二：由SsBc = 2ac BCsinC,得2AC 2sin60=/3,解得 AC = 2. AC = BC = 2,又/ ACB = 60 ° ABC是等邊三角形，AB = 2,即邊AB的長度等于2.19設(shè) ABC的內(nèi)角 A、B、C所對(duì)的邊分別為 a、b、c,已知a= 1, b= 2, cosC =才 求 ABC的周長；(2)求cos(A C)的值.1課標(biāo)理數(shù) 16.C8 2011 湖北卷【解答】(1) / c2= a2+ b2 2abcosC = 1 + 4 4X -= 4,4=7=8.V15 sinA =晉=亍普-c = 2， ABC 的周長為 a+

10、 b + c= 1 + 2+ 2 = 5.(2) / cosC = 4， sinC = j 1- cos2c =a<c,. A<C, 故 A 為銳角， cosA=p 1 sin2A =cos(AC)=cosAcosC+ sinAsinC=8 X 4+平魯=16.總結(jié)：在判斷三角形內(nèi)角的類型時(shí)，已知一個(gè)角的正余弦值，角，如果正弦值為正（實(shí)際上，正弦值也不可能為負(fù)，因?yàn)樵?但與這個(gè)角相對(duì)應(yīng)的邊小于另外的邊，則這個(gè)角一定是銳角，往往可以判斷角為銳角還是鈍0 兀之間，正弦值均為正），如本題的A角以及第2題的B10在 ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別是a,Cb, c,已知 sinC +

11、cosC= 1 si“乙求 sinC 的角的判斷，都運(yùn)用了這種思維。如果一個(gè)角余弦值為正，則這個(gè)角一定是銳角。值；(2)若 a2+ b2 = 4(a + b) 8,求邊 c 的值.C sin 2+訃細(xì)號(hào),C【解答】（1）由已知得sinC + sin=1 cosC,CCCCC 1由 sinC 半0 得 2cosC +1 = 2sinC，即 sinC cosC=1,3兩邊平方得：Sine = 3.由 sinC" cos|= 2> 0 得n< Cv n，即才< C vn，則由 sinC =魯?shù)?cosC = 由 a2 + b2 = 4(a + b) 8 得：(a 2)2

12、+ (b 2)2 = 0,貝U a = 2, b = 2.由余弦定理得 c2= a2+ b2 2abcosC = 8 + 2屮，所以 c = W + 1.因?yàn)椋篠inC coS2= 2 0，所以：sin2 cosC 因?yàn)?0號(hào)亍 所以必有： 才 C寸（圖像）11 ABC的三個(gè)內(nèi)角 A,B, C 所對(duì)的邊分別為 a, b, c, asinAsinB + bcos2A = 2a，則7=() a2yf2 C/s D.V2【解析】由正弦定理孟=sinBbcos2A= 72a, 即卩 b= Q2a,故選 D.b 得 asinB= bsinA，所以 asinAsinB+ bcos2A = V2a 化為 b

13、sin2A +分析：一般情況下，根據(jù)結(jié)果確定是邊化角，還是角化邊，本是題求邊的比，所以先考慮是角化邊，解答如上；如果不習(xí)慣這樣做，也可以這樣做：sinA=2R*a （ R為三角形外接圓的半徑），將cos2a化為sin2A,同樣得到：bR2a。當(dāng)然，這也不是絕對(duì)的，如第6題，只不過是先考慮那個(gè)的問題。下面一題的第問，用的就是邊化角，結(jié)果也是一樣的。12、A ABC 的三個(gè)內(nèi)角 A, B, C 所對(duì)的邊分別為 a, b, c, asinAsinB+ bcos2A=/2a.(1)求? (2) a若 c2 = b2+ J3a2,求 B.【解答】(1)由正弦定理得，sin2AsinB + sinBcos

14、2A=V2sinA,即卩 sinB(sin2A + cos2A) =V2sinA.故 sinB = /2sinA, 所以a =寸2.(2)由余弦定理和c2= b2+Q3a2，得cosB =由(1)知 b2= 2a2，故 c2 = (2 + 護(hù)歸2.可得 cos2B =又 cosB>0,故 cosB =罟，所以 B = 45°.13 ABC 中，B= 120 ° AC = 7, AB = 5,則 ABC 的面積為 _【解析】解法1 :由正弦定理，有篇=sABC，即島=s，所以sinC =曾=普所以cosC =寸 1 si n2c =J = I1，又因?yàn)?A + B +

15、C = 180° 所以 A + C = 60°所以5= sin(60 ° C) =sin60 °osC-cos60°inc = ¥x #- 2 x-14座=3/314 = 14，所以解法$ ABC = AB ACsinA = 1 x 5x 7 x= 15屮.2214452 + x2 722:設(shè)BC = x(x>0)，由余弦定理，有cos120° = 一一，整理得10XX2 + 5x 24= 0,解得x= 3,或 X = 8(舍去),即卩 BC = 3所以$ ABC = 2AB BCsinB =5x 3 x sin120

16、 = 3x 5x 3x 2 = 4cosA 2cosC 2 c a sinC 厶乙14在 ABC中，內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c.已知 一一 =.(1)求而的cosB1值；(2)若cosB= j, ABC的周長為5，求b的長.分析：(1)結(jié)果求角的比，考慮邊化角，很容易得出結(jié)果。(2)求邊，所以優(yōu)先考慮邊的關(guān)系。由(1)的結(jié)果肯定能得出c與a的關(guān)系，盡管現(xiàn)在還沒求出來，但肯定存在 c=m*a的關(guān)系。由cosB=：,也就是說,4又c=m*a，也就是說，b也可以用a來表示。而 ABC的周長為 將a求出來。從而問題得解。b可以用a、c來表示,5,顯然，可以很容易的【解答】由正弦定理

17、，設(shè)孟=爲(wèi)=洗=k.則2cb-2ksinC ksin2sksinBsinBQ、(皿cosA 2cosC 2sinC sin A 卄所以原等式可化為 =.即(cosA 2cosC)si n B = (2s inC sin A)cosB,cosBsi nB化簡可得sin(A+ B)= 2sin(B+ C),又因?yàn)?A+ B + C= n,所以原等式可化為sinC = 2sinA,因此 吧 =2.(2)由正弦定理及 吧 =2得c = 2a,由余弦定理及cosB=；得sinAsinA42 2 2 2 2 2 1 2b = a + c 2accosB = a + 4a 4a x 4= 4a .所以 b=

18、 2a.又 a+ b+ c= 5.從而 a = 1, 因此b= 2.15在 ABC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c.125已知 si nA + si nC = p si nB(p R)，且 ac=40.(1)當(dāng) p = 4 b= 1 時(shí)，求a,c的值;（2）若角B為銳角，求P的取值范圍.廠5a+ c =4,【解答】（1）由題設(shè)并利用正弦定理，得<1lac= 4，ra= 1 , 解得11lc= 1,或a=4c= 1.22222 21 21 223由余弦定理，b = a + c 2accosB = (a + c) 2ac 2accosB = p b 尹一b cosB，即 p

19、 =2 +cosB，因?yàn)镺v cosB< 1，得p2 g, 2)由題設(shè)知p>0,所以 當(dāng) V p <e因?yàn)椋簊inA+ sinC =PsinB所以a+c=Pbac=茁第1小可直接代入數(shù)據(jù)就行了。2 2 2 2對(duì)于第2小題，cosB=a +c b =（a+c）6ac =2p2 -3因?yàn)锽為銳角，所以2acf2ac0<2p2-3vl 得：¥< P<V216 在 ABC 中，角 A, B, C 的對(duì)邊分別是 a, b, c,已知 3acosA = ccosB + bcosC.(1)求 cosA 的 值；(2)若a= 1, cosB + cosC = 孌，

20、求邊c的值.3【解答】(1)由余弦定理 b2 = a2 + c2 2accosB, c2= a2+ b2 2abcosC,1 有 ccosB + bcosC= a，代入已知條件得 3acosA = a，即 cosA=-.312f212/2由 cosA=；得 sinA = ，貝U cosB= cos(A + C)=；cosC +sinC,代入 cosB + cosC =3333耳3，得 cosC + yf2sinC=Q3，從而得 sin(C + © = 1,其中 sin*3, cos =, 0<(<n3332則C+ ©= n于是sinC=¥，由正弦定理得

21、c=當(dāng).17在 ABC中，內(nèi)角求cosA +才）勺值-A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c.已知 B = C,2b= >/3a.(1)求 cosA 的值；(2)【解答】（1）由B = C,2b=3a，可得 c= b = 2 a.所以 cosA =2bc3 2 , 3 2_2=4a+ 4a a = 1 血血=3.2X 2 ax 2 a1(2)因?yàn)?cosA= 3, A (0,n )所以 si nA =71 cos2A = ,故 cos2A= 2cos2A 1 = 7.394寸2 sin2A = 2si n AcosA=.9所以 cos(2a + 卄 cos2Acosn sin2As

22、inn=-9普-羋達(dá)=分析：欲求cosA由余弦定理知，cosA可以用邊來表示，而題中 abc的關(guān)系是明確的，顯然直接用余弦定理就行了， cosA=1。因?yàn)閏osA為正，所以A為銳角。求出sin2A與cos2A.3218 設(shè) a R， f(x) = cosx(asinx cosx) + cos足 f (f(o) 求函數(shù) f(x)在 n的最7t大值和最小值.【解答】f(x) = asi nxcosx cos2x + sin 2x= as in 2x cos2x.函數(shù)所以和，2x -f(0)得一¥| +1= 1,解得 a= 2*73.因此 f(x)=*y3sin2x cos2x = 2si

23、nx*n f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x nn3'2411詡寸,2xn，¥1，f(x)為減f(x)在 k，24n 11 n上的最大值為 噱卜2.又因f,f故f(x)在才,的最小值為f19 設(shè)函數(shù) f(x) = sinxcosx V3cos(x + n )cox<x R).y= g(x)的圖象，求 y= g(x)在o.(1)求f(x)的最小正周期； 若函數(shù)y = f(x)的圖象按b= U 羅丿平移后得到函數(shù)最大值.1V3V3(1 + cos2x) = 2sin2x+ 2 cos2x+ ?【解答】(1)f(x)= fsin 2x +質(zhì)cos2x= fsi n2x+ 弩=sin(2x

24、+.故f(x)的最小正周期為T=2n= n.+ ¥ + ¥= si n(2x依題意g(x) = fix2 = sin 2|x當(dāng) x 0, n寸，2x 話n nT6, 3，g(x)為增函數(shù),所以g(x)在b nn上的最大值為g(nn=葺3分析：本題關(guān)鍵是函數(shù)圖像的平移。關(guān)鍵要搞清移動(dòng)方向與表達(dá)式之間的關(guān)系。一般地，如 果函數(shù)f(x)是由函數(shù)g(x)按向量(m,n)平移后而得，則有f(x)=g(x-m)+n。20函數(shù)f(x) = 2cos2x-V3sin2x(x R)的最小正周期和最大值分別為()A. 2 n 3B . 2 n， 1C. n， 3 D. n, 1C 【解析】/（.r） - 2 cos' .r- TTsinj - LO.2.f - sin2:r +1 2込（2十守）十lae R所n s小正周期和戰(zhàn)大值分 別為