微積分05無窮級數(shù)與微分方程

1、項目四無窮級數(shù)與微分方程實驗1無窮級數(shù)(基礎(chǔ)實驗實驗?zāi)康挠^察無窮級數(shù)部分和的變化趨勢進(jìn)一步理解級數(shù)的審斂法以及聒級數(shù)部分和對函數(shù)的 逼近.掌握川Mathematica求無窮級數(shù)的和.求慕級數(shù)的收斂域.展開函數(shù)為慕級數(shù)以及展 開周期函數(shù)為傅里葉級數(shù)的方法基本命令1. 求無窮和的命令Sum該命令可用來求無窮和.例如輸入Suml/n2.( nJ.Infinity則輸岀無窮級數(shù)的和為龍2/6.命令Sum與數(shù)學(xué)中的求和號S相2. 將函數(shù)展開為慕級數(shù)的命令Series 該命令的基木格式為Seriesf(xl3x-x0jiJ它將門對展開成關(guān)于X-心的無級數(shù)幕級數(shù)的最商次祜為(X-%”余項用(A-x,r表 示

2、.例如輸入Seriesyx(xO5H則輸出帶皮亞諾余項的麥克勞林級數(shù)y0+/0jv + - +&y g +_門0” + 而側(cè)ok + q 寸3去掉余項的命令Normal在將門幻展開成幕級數(shù)后，有時為了近似汁算或作圖.需要把余頂去掉.只要使用 Nonnal命令.例如輸入SeriesExpxI4xA6l則輸岀Nonnal%|2JJ561 + X + + + + + + o|xp2!3!4!5!6!, X- x3 xS f2!3!456!4.強制求值的命令Evaluate如果函數(shù)是用Normal命令定義的.則、勺對它進(jìn)行作圖或數(shù)tfUl算時.可能會出現(xiàn)問題. 例如輸入fx=NormaIlSeries

3、ExpIxl3x-0.3)tPk)lfxx33H則只能輸岀去掉余項后的展開式, X- xl + x + H2 6而御不到函數(shù)的圖形.這時要使用強制求值命令Evakiac改成輸入 PiotEvaluate 13 X33)則輸出上述函數(shù)的圖形.5作散點圖的命令LislPloiListPlot I )為平面內(nèi)作散點圖的命令.其對象是數(shù)集例如輸入LisiPlo【TaWej 人 2Ul6)|PknS【ylePoiinS 加0012|則輸出坐標(biāo)為L1-MZ2-I33-3-,- -41636-的敢點圖(圖1250200150ICO502.557.51012.515圖116.符號“/；用于定義某種規(guī)則.r：

4、”后面是條件例如輸入Clearg,gf|：g|xJ;=x/:0=xlg|xJ:=-x/:-l=x=l則得到分段的周期函數(shù)-lx0g(x) =g(x-2X0xI再輸入gf=Plol|gxl.x,-L6則輸出函數(shù)g(x)的圖形12注:用Which命令也可以定義分段函數(shù).從這個例子中看到用表達(dá)式:條件r來 定義周期性分段函數(shù)更方便些.用Plol命令可以作出分段函數(shù)的圖形但用Matheniatica命 令求分段函數(shù)的尋數(shù)或積分時往往會有問趣.用Which宦義的分段函數(shù)可以求尋但不能積 分.Mathcmatica內(nèi)部函數(shù)中有一些也是分段函數(shù).如:卜lod|XlAbsxFloorx|和UnilSleplx

5、. 其中只有笊位階躍函數(shù)UnitSleplxl可以用Mathcmatica命令來求導(dǎo)和求宦積分 W此在求分 段函數(shù)的傅里葉系數(shù)時.對分段函數(shù)的枳分往往要分區(qū)來枳.在被積函數(shù)可以用貳位階躍函數(shù)UnitSlep的四則運算和復(fù)合運算表達(dá)時.訃算傅里葉系數(shù)就比較方便U實鯊舉例K項級數(shù)例1.1(教材例LI)(I)觀察級數(shù)召W的部分和序列的變化趨勢(2觀察級數(shù)丄的部分和序列的變化趨勢.輸入 snJ=Suml/k2.k.nlt：dala=TabIelsiiHnJ00; ListPloIdata;NlSum|l/k2J infinity Hl NlSuml/k2Jk.Infinity 40| 則輸出U)中級數(shù)

6、部分和的變化趨勢圖l31.624G6C5CICO1.551.561.54圖13級數(shù)的近似值為1.64493. 輸入siiJ=Suml/k-kji)l：clata=TabIesln|-n,50;LislPloildala-PlolStyie-PointSize0.02|: 則輸出(2)中級數(shù)部分和的的變化趨勢圖144.5/102030圖144050例1.2確出級數(shù)另(-1)1丄的部分和分布圖./1| 輸入命令Clearsn-g;sn=O;n=l;g= )un=3: Whilel l/n10-m.sn=sn+(-l)(n-l )/n: g=Appendg,Graphics)RGBCoIor|Abs

7、lSiiinl-0.1/nJ, Line (sn.OMsml ShowJg.PlolRange- -0.2,13),Axes-True|: 則輸出所給級數(shù)部分和的圖形從圖中可觀察到它收斂于0.693附近的一個數(shù).釦.3設(shè)縱求孕.10“n!輸入Clear|a|:aIn_l=iOn/(n!): vals=Tablelanl3nJ-25Jl： ListPlotlvaIs,PlolStyie-PointSizc0.0l211 則輸出心的散點圖從圖中可觀察心的變化趨勢.輸入Suman|.nJJnfinity)求幕級K的收斂域則輸岀所求級數(shù)的和.例1.4求3T的收斂域弓和函數(shù).輸入Clearlat： al

8、nj=4(2n*(x-3)n/(n+l): stepone=aln+ Il/anI/Simplify則輸岀I6(l + nX-3 + x)2 + n再輸入siqiwo=Limitsie ponenInfini(y則輸岀16(-3+ X)這里對an+l和an都沒有加絕對W此上式的絕對值小于1時.祁級數(shù)收斂：大于I 時發(fā)散.為了求出收斂區(qū)間的端點.輸入則輸出ydd=SoIvesteptwo= I .x zdd=Solvesiepluo=- Lx)49XT 16由此可A 時級數(shù)發(fā)散. 16 16 16 16為了判斷端點的斂散性.輸入Simplify anl/X(49/l 6則輸出右端點處幕級數(shù)的一股

9、項為n +149W此在端點X = 處級數(shù)發(fā)散.再輸入16Simplifyan/XX47/I6)l則輸出左端點處幕級數(shù)的一股項為n + IW此在端點A =處.級數(shù)收斂.16也可以在收斂域內(nèi)求斜這個級數(shù)的和函數(shù).輸入Suni4(2n)*(x-3)n/(n+1 )Jn.OJnfiiiityJ | 則輸岀Lcg|I-16(-3+ x)|16(-3+ x)求COSX的6階麥克勞林展開式.2數(shù)的級數(shù)11開 例1.5 輸入則輸出SeriesCosx)x06)|,X-汕 rI+ 0 Xf224720注:這是帶皮亞諾余項的麥克勞林展開式.例1.6輸入求12在x = l處的6階泰勒展開式.則輸出SeriesLcg

10、(xI，xJ.6)I例17輸入呼沖斗+字+。好 求arrtanx的5階泰勒展開式.serI=SeriesArcTaiiJx|,xA5)-P oIy=NormaIserIl 則輸岀arctaiiv的近似女項衣X3 xX+3 5通過作圖把airlanx和它的近似多項式進(jìn)行比較.輸入PlotlEvaIuate(ArcTanIxtPolyH4x,-3/2-3/21，P k)lSiyle(15ashingH00HGrayLevel0 Aspec【Raliol則輸出所作圖形圖中虛線為函數(shù)arvlanx,實線為它的近似多項式.實驗習(xí)題L求下列級數(shù)的和：* t瑤：A-1 Z2. 求幕級數(shù)2工的收斂域與和函數(shù).

11、3求函數(shù)(l+A)ln(l + x)的6階麥克勞林多項式.4. 求arcsiav的6階麥克勞林多項式.5. 設(shè)/（力=二求/（X）的5階和10階麥克勞林多項式把兩個近似多項式和函數(shù)的X +1圖形作在一個坐標(biāo)系內(nèi).實驗2微分方程（基礎(chǔ)實驗）實驗?zāi)康睦斫獬Ｎ⒎址匠探獾臉Ｄ钜约拌追智€和方向場的概念掌握利用 Matheniatica求微分方程及方程組解的常用命令和方法基本命令1.求微分方程的解的命令DSolve對于可以用積分方法求解的微分方程和微分方程組可用Dsolve命令來求其通解或特解. 例如求方程）+3y+2y-0的通解.輸入DSolvefy ”x+3y Tx+2yx0yx|x則輸出含有兩個任

12、意常數(shù)qi和C2|的通解：加嚴(yán)5+廠92注:在上述命令中一階導(dǎo)數(shù)符號 是通過鍵盤上的敢引號輸入的二階導(dǎo)數(shù)符號要 輸入兩個引號,而不能輸入一個雙引號又如求解微分方程的初值問題：+ 4$ + 3y = 0. 鳥=6. y 仁=10.輸入則輸出DsolveH/lxM / x|+3yxOyO6.刃0lOyW.x 嚴(yán)大粘號把方程和初始條件放在一起未）y1x- 嚴(yán)（-8 + 146計2.求微分方程的數(shù)值解的命令NDSoIve對于不可以用積分方法求解的微分方程初值問題可以用NDSolve命令來求其特解例如 要求方程y = +x ,|z =0-5 的近似解(0xInterpoIatingFunction 0

13、1 5 J, J）注:因為NDSoWe命令御到的輸出采解y = ytx的近似值.首丸在區(qū)間015）內(nèi)插入一系 列點“宀心訃算岀在這些點上函數(shù)的近M值FC 兒-再通過插值方法得到 y =石區(qū)間上的近似解.3. 階微分方程的方向場一股地我們可把一階微分方程寫為/ = /（A,y）的形式其中/（X,y）是已知函數(shù).上述微分方程表明:未知函數(shù)y在點X處的斜率等于函數(shù) /在點（&刃處（1|函數(shù)值|*|此可在0$平浙上的每一點作出過該點的以/（xy）為斜率 的一條很短的直線（即是未知函數(shù)y的切線）.這樣得到的一個圖形就是微分方程/ = f（x.y） 的方向場為f便于觀察.實際上只耍在Qp平ifii上取適出

14、多的點作岀在這些點的函數(shù)的 切線順著斜率的走向畫出符合初始條件的解就可以得到方程y = /Uy)的近似的枳分曲 線.例如血出學(xué)-2,(0)= 0的方向場.ax輸入GraphicTrue,ScaleFunction-0,l 6,HeadLength-0.01 .PkHPoims-X 20.25):則輸出方向場的圖形從圖中可以觀察到.十初始條件為= 時.這個微分方程的解介 于-I和1 Z間.且肖X趙向于YC或時.y(x)分別趨向于-I與1下面求解這個微分方程.并在同一坐標(biāo)系中畫出方程的解與方向場的圖解.輸入 soI=DSolveIl/(x=l-yIx2,yIO=0.yx|.x; g2=PloHso

15、l|l2Hx33PlolSiyle(Huc0；niickness0005: Showg2g 1 AxesNoneFramcTrue:則輸出微分方程的解y(x) =,以及解曲線與方向場的圖形.從中可以看到微分方程1+宀的解與方向場的箭頭方向相吻合.實驗內(nèi)容用Dsolve命令求解分方程例21求微分方程y + 2Ay = Ar的通解. 輸入Clearx,yl；DSolvely lx+2x*y|xl=x*Exp-x21，y(x,xlDSoIvelDlyxI.x+2x*y|xl=x*Exp-x2|-yIxl，xI 則輸出微分方程的通解：,yxT*e-x：x2 +嚴(yán)91.其中Cl|是任意常數(shù).例22求微分

16、方程與0在初始條件=2&下的特解.輸入Clcaxy):DSolveIx*y x|+yxl-Expxl=O.yl 1|=2 Eyx|x則輸出所求特解：例2.3求微分方程/-2y+5)，十“ cos2v的通解. 輸入DSolvety |x|-2y (x+5yx=ExpxI*Cosl2 xyx.x/Simplify 則輸岀所求通解：y|x-e(I+8c|2I)Cosf2xl + 2(x-4cfl|)Siiil2x|) *8例24求解微分方程/ =加+0”并作出其積分曲線 輸入gl=TablelPloiEx+x*3/3+IdemiiyclIO105)c2555)|:ShowlgLDispIayFunc

17、tion-$DispIayFunclion|:則輸岀積分曲線的圖形.+ a + 2v = t*例2.5求微分方程組駕丫 在初始條件M一LI- v|,= 0下的特解.方0輸入Clearfxyt;則輸岀所求特解:DSolveKx tl+xtl+2 yIl=Exptl. /(tj x(卜 yIt=O, x0J=Ly01=0)4x(|,y|ilJj|xlTCos(iLyiT心-Cos(l+Sinl)-例2.6求解微分方程務(wù)磊1嚴(yán)并作出枳分曲線.輸入Graphics PlotFieldDSoIvef/ |x|-2y|x/(x+l =(x+l r(5/2KyxAl則輸出所給積分方程的解為,yx-彳(l +

18、 x)2+(i + x)2qi| 下面在同一坐標(biāo)系中作出這個微分方程的方向場和積分曲線(設(shè)(?-3l2lLO丄23).輸入t=TabIef2(l+x)(7/2)/3+(l+xr2c-c-i J J- gl=PlotEvaIualet|,(x,-lJ-PlotRaiige-lJ )-2,2)-P IolSlyIe-RGBCoIor I A01.DispIayFunclion-I(leiitityl：g2=PloiVecorFieldh-2y/(x+l)+(x+l)5/2)t|x-999J14y.True,ScaIeFunclion-( I & ) ScaIeFactor-OJ 6,HeadLen

19、gth-O.OL PlotPoints-20-25hDisplayFunclioii-Ideiiuiy|: Showg 1 ,g2. Axcs-Noiie,Frame-True,Dis playFimclion$DisplayFimclion: 則輸出積分曲線的圖形.用NDSohe命令求微積分方程的近似解例27求初值問題：(l + Ay)y + (I-.n9/=0,y|i2=l在區(qū)間124上的近似解并作圖. 輸入fl=NDSoIvelInterpolatiiigFunclionI 124 J 用PUM命令可以把它的圖形畫出來不過還需要先使用強制求值命令Evalu-ate,輸入P lotEvaI

20、uateyfxIAfll4xJ.2,4J則輸岀近似解的圖形.如果要求區(qū)間124內(nèi)某一點的函數(shù)的近似值.例如v|g,8 只要輸入yU8/fl則輸岀所求結(jié)果3.8341例2.8求范徳波爾(Van der Pel)方程F+(y-1)/+y=0, M z = a y|= -0,5 在區(qū)間0.201上的近似解.輸入Clear x.yl：NDSolve|y”x+(yxF2l 嚴(yán) yTx+y(x0y(00y|005y(x020: PlolEvaluaieyxI/.%j3xA20)可以觀察到近似解的圖形.例29求出初值問題y + sin X + y = cos x y(0) = L/(0) = 0的數(shù)值解.并

21、作出數(shù)值解的圖形.輸入NDSo!veHy”x+Sin|xF2呼x)+yx=CosxF2 y(01=iy01=0),yxI_x_OJOJlP lotEvaIuale|y|xIA%l.xA10jl：則輸岀所求微分方程的數(shù)(rt解及數(shù)值解的圖形例240洛倫茲(Lorenz)方程組趙由三個一階微分方程組成的方程組這三個方程看似簡 也沒有包含復(fù)雜的函數(shù)-但它的解卻很有趣和耐人尋味.試求解洛倫茲方程組xr) = 16y(0-16x(0y(O = -x(z)z(f) + 45A(z)-y(Oz7O = A(/)yU)-4z(/)x(0) = I2,y(0) = 4.2(0) = 0并畫出解曲線的圖形.輸入C

22、lcaeqXyzeq=Sequencelx7l|=I6*y|-16*xt,yWx屮 ziyi+45xUzUxbyiHzU|：soll=NDSolveleq,x0J=12,y|0 =4.z|01=0J.xtl-yll.ztl 4t.OJ6-MaxSleps-10000: gl=ParanietricPlot3DEvaIuate(x(ll-yll.zdl/-soIlb(L0J6,P IotPoints- 14400,Boxed-False.Axes-None |:則輸岀所求數(shù)值解的圖形.從圖巾可以看出洛倫茲微分方程組具有一個奇界吸引子.這個吸 引子緊緊地把解的圖形“吸”在一起.有趣的是.無論把解的

23、曲線M御多長.這些曲線也不 相交.改變初值為aW) = 6y(0) = -10,2(0) = 10,輸入 sol2=NDSolveeqA0l=6.y|0|=-10.zl01=10J,(xlI，yt|.z(l|)4lA24),MaxSteps-l0000I： g2=ParajnelricPlot3DIEvalualel(xlI.)itI-zl|/.sol214t.0.24),P IotPoiiits-14400,Boxed-FaIse-Axes-Nonel：Shou|GraphicsArrayglg2:則輸出所求數(shù)值解的圖形.從圖中可以看出奇界吸引子又出現(xiàn)了.它把解吸”在某個區(qū)域 內(nèi)使得所有的解

24、好欽是有規(guī)則地依某種模式纏繞.實驗習(xí)題1.求下列微分方程的通解:(I)(4)_v* + 6，+13_v = 0: y2)+ 2y + y0: y* -2y + 5_v =e sin2x： y*- 6 / + 9y = (x +1 0 2求下列微分方程的特解： /+4y + 29y = 0,|z =0/|z =15; y- + y + sin 2x = 0,|= ky*|、+ = 1.3求微分方程(x-l)/ + 2xy-oosx = 0在初始條件y|, = l下的持解份別求精確解 和數(shù)值解(0xl)并作圖.+ 5x+ v = e*4.求微分方程組中的通解.df字+3x-y =0x|z =l5.

25、求微分方程組f的特解.芋0也=46求歐拉方程組7 求方程x_v +寸-4y = /的通解.= 0$|z =5在區(qū)間0.4上的近似解.實驗3拋射體的運動（綜合實驗）實驗?zāi)康?通過微分方程建模和Malhenialica軟件在項目一實驗5的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研 處在考慮空氣阻力的情況下拋射休的運動.問題根據(jù)偵察發(fā)現(xiàn)離我軍大炮陣地水平距離lOkm的前方有一敵軍的坦克群正以每小 時50km向我軍陣地駛來現(xiàn)欲發(fā)射炮彈摧毀敵軍坦克群.為在最短時間內(nèi)有效推毀敵軍坦 克嬰求每門大炮都能進(jìn)行精射擊這樣問題就可簡化為nv】大炮對移動坦克的精確射擊 問題.假設(shè)炮彈發(fā)射速度可控制在02km/s至0,5knVs之間問應(yīng)選擇怎

26、樣的炮彈發(fā)射速度和 怎樣的發(fā)舫角度可以最有效摧毀敵軍坦克.說明本節(jié)我們研處受到重力和空氣阻力約來的拋射休的射程.用記拋射休 的位a.其中X軸是運動的水平方向軸是垂直方向.通過在y0的約束下最大化兒可以 訃算出使拋射休的射程最大的發(fā)射角.假設(shè)f0時拋射體炮孫）在原點（0.0）以與水平線夾角 為初始速度為心發(fā)射出去.它受到的空氣阻力為(3.1)/;=_心=_彳竺.空dt dr重力為Fr =（3.2）在推導(dǎo)鼠0和yo）所滿足的微分方程之前補充一點說明:雖然我們將位置變aE）. W）僅寫作函數(shù)但實際上位a變fi還依賴于幾個其它的變a或參數(shù).特別是和）, 也依賴于發(fā)射角a、陰力系數(shù)虹質(zhì)址以及重力加速度g

27、等.為了推尋X和y的方程.按照牛頓定律Fig并結(jié)合垂力的公式(32)和空氣阻力的公 式31)得到微分方程zav*(/)+fcf(/)=0 myt)+kyt) + mf； =0 根據(jù)前面所述假設(shè)知.刑W)禍足下卻初始條件以0) = 0訊0 = 0 ,/(0) = Vq cos a. y (0) = v。sin a. 先求解Mf) 由方程(3.3令v=A可將其化為一階微分方程 wv + kr = 0,(33(34)(3.5)易求出其通解v(0 = Ce -.由 1 = aXO) = cos a.御 C = cos a 所以亠 WO = % cos 改從V = A通過積分得到兒即x(/) = H V

28、q cos ceeI*丿由aW) = 0_得D = -心8sa.所以V A丿niX(/)= V(|C0StZ(I-f 枇(16)k)類似地可從方程(3.4)解出y令v = y方程化為一階微分方程.兩端除以九得V + v = -g.mk再在上述方程兩端乘以積分W子pF.御k, kkr 女r嚴(yán)$ + 嚴(yán)y = -g嚴(yán) m兩端積分得d / / 丁 (比執(zhí)) = -gg執(zhí). atkk応一竺啟+ck竺+cEk利用初始條件y(O) = v(O)iosina確定其中的常數(shù)C后，積分v得到八再次利用初始條 件y+(ni/k)*v*Sina Pi/180)*( I -Exp-(k/m)*ll)g=9-8jn=5

29、.0;k=0,0l;炮彈飛行的時間由炮彈落地時的條件y = 0所確定.輸入FiiidRooty350,55.il=04t.50H則輸出炮彈飛行的時間(-57.4124發(fā)射角a = 65時.輸入X35O55574I24/N則輸岀炮彈的報大射程為10888 5現(xiàn)在我們可以0出炮彈運行的典型軌跡了輸入P arametricPlotHx(350,55j|-y(350,55Jlh則輸岀圖31(L0.57.4l24,PiotRange-(0J1000I，AxesLabel-x-yl實驗報吿在上述假設(shè)下進(jìn)一步研處下列問題：(1) 選擇一個初始速度和發(fā)射角利用Mathematica畫出炮彈運行的典型軌跡.(2

30、) 假宦坦丸在大炮前方10km處祁止不動炮彈發(fā)射的初速度為O32km/s應(yīng)選擇什么樣 的發(fā)射角才能擊中坦克?畫出炮彈運行的幾個軌跡圖通過實驗數(shù)據(jù)和圖形來說明你的結(jié)論 的合理性.(3) 假定坦克在大炮前方lOkm處靜止不動探索降低或調(diào)商炮彈發(fā)射的初速度的情況 下應(yīng)如何選擇炮彈的發(fā)射角?從上述討論中總結(jié)出報合理有效的發(fā)射速度和發(fā)射角.(4) 在上題結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)探索假定坦克在大炮前方lOkm處以毎小時50km向大炮 方向前進(jìn)此時應(yīng)如何制定迅速摧毀敵軍坦克的方案？注:在研處過程中.還要包扌忑適半改變阻力系數(shù)k與炮彈的質(zhì)a洌所帶來的變化.實驗4蹦極跳運動(綜合實驗)實驗?zāi)康睦肕athematica

31、軟件通過微分方程建模研尤蹦極跳運動.問題在不考慮空氣力和考渥空氣阻力等多種情況下，研尤蹦極跳運動中蹦極者與蹦 極繩設(shè)計之間的備種關(guān)系.說明蹦極繩相:“I于一根粗橡皮筋或有彈性的縄子.半受到張力使之趙過其自然長度繩 子會產(chǎn)生一個線性回復(fù)力.即繩子會產(chǎn)生一個力使它恢復(fù)到自熱長度，而這個力的大小與它 被拉伸的長度成正比.在一次完黃的蹦極跳過程中.蹦極者爬上一座商橋或商的建筑物.把 縄的一頭系在自己身上，另一頭系在一個固定物體如橋欄桿上出他跳離橋時.激動人心的 時刻就到來了這里要分析的是蹦極者從跳出那一瞬間起他的運動規(guī)律.首先要建立坐標(biāo)系.假設(shè)蹦極者的運動軌跡是垂直的因此我們只要用一個坐標(biāo)來確 定他在

32、時刻f的位a.設(shè)y是垂直坐標(biāo)軸-爪位為英尺，正向朝下.選擇y = 0為橋平面.時間 f的笊位為秒.蹦極者跳出的瞬間為/a則y)表示f時刻蹦極者的位g.下面我們要求出 yO)的表達(dá)式由牛頓第一定律.物體的質(zhì)S集以加速度等于物體所受的力.我們假設(shè)蹦極者所受的力 只有重力、空氣阻力和蹦極繩產(chǎn)生的回復(fù)力.嚴(yán)I然.宜到蹦極者降落的距離大于蹦極繩的自 然長度時.蹦極縄才會產(chǎn)生回復(fù)力.為簡笊起見.假設(shè)空氣阻力的大小與速度成正比，比例 系數(shù)為1.蹦極繩回復(fù)力的比例系數(shù)為04這些假設(shè)是合理的.所御到的數(shù)學(xué)結(jié)果與研允所 做的蹦極實驗非常吻合.重力加速度g = 32$2現(xiàn)在我們來考慮一次具休的蹦極跳.假設(shè)繩的自然長

33、度為L = 200A 蹦極者的體重為 1601b他的質(zhì)a為w = 16ty32=5斯巴在他到達(dá)縄的自然長度即y-L = _200)前.蹦 極者的墜落滿足下列初值問題：=-5-K v(0) = 0.atm利用Mathematica求解上述問題.輸入g=32; m=5; L=200:則輸出H60e(-l+e)Ll60e(5-5e+el) 蹦極者墜落L英尺所用的時間為l=l/,FindRooiIi(t=-L-t2H4.00609現(xiàn)在我們需要找到W|蹦極繩產(chǎn)生回復(fù)力后的運動初始條件.為fH時.蹦極者的墜落 滿足方程Uvl(Lbyli_HHv|tby(tA DSolve|vjil=-g-vil/myitl=vIt,v(0=0,y01=04v,y,tl(tv104 門,V(L+y)dfmm初始條件為y(/I) = -.v(/l) = v!(/I).解初值問題： nv2LKy2tJ=v(tby(