質(zhì)點運動學(xué)典型例題1[原創(chuàng)][全套]課件

1、過山車駛過豎直圓軌道一列長為L的過山車由許多節(jié)車廂組成，以某一速度在水平軌道上行駛,然后進入半徑為R的在豎直平面內(nèi)的軌道。已知R比車廂的尺寸大很多，且。求：過山車在水平軌道上的速度應(yīng)滿足條件，才能使過山車安全的駛過豎直圓軌道。不計車與軌道間的摩擦。解：由于不考慮摩擦，則整車運動中機械能守恒。列車進入豎直面內(nèi)的圓軌道時，有部分車廂的位置升高，整車的重力勢能逐漸增加，則車的動能將隨之減少，車速也隨之減小。設(shè)列車單位長度的質(zhì)量為l，當整個圓軌道上都分布有列車車廂時，這部分車廂較在水平軌道上時增加的重力勢能為，此時列車的速度達到最小值，設(shè)其為V，則由機械能守恒定律，有 （1）列車的安全行駛應(yīng)不脫離豎直

2、圓軌道，在豎直圓軌道內(nèi)，列車最容易脫離軌道的是處于軌道最高點處的車廂。為研究列車在最高點處的運動情況，需分析處于最高點處列車的受力情況，位于最高點處的車廂與車廂之間有張力作用。為求這一張力，不妨如圖二假想將運行中的列車斷開，則斷開后右部的車廂受到左部車廂的拉力T。又設(shè)在此拉力T作用下，右部車廂發(fā)生了一極小的位移，則此過程中拉力T對右部車廂做功，以這一做功過程的前后兩狀態(tài)比較，相當于將整列車尾長的一段移至圓軌道的最高點處，其重力勢能增加了，而列車的速度不變，則其動能不變，可見上述重力勢能的增加是由于拉力T做功的結(jié)果，乃有即 （2）只要車廂與軌道處于接觸狀態(tài)，軌道對車廂就有反作用力。軌道最高點對車

3、的反作用力最小，在臨界狀態(tài)下，這一反作用力為零。此時處于這一位置的車廂僅受重力和兩側(cè)車廂拉力作用，而這幾個力的合力則提供車廂作圓周運動的向心力?，F(xiàn)就這一節(jié)車廂的運動情況來進行研究，設(shè)有一節(jié)長為L（則其質(zhì)量為）的車廂處于軌道最高點，如圖三，令其所對的軌道圓心角為a，則它兩端所受張力T分別與水平方向的夾角為，由于a很小，則此兩張力的合力應(yīng)為又由圖中可見應(yīng)有，故得到 （3）此時車廂在作圓周運動，由圓周運動向心力的公式，應(yīng)有，以代入上式，即得 （4）聯(lián)立（1）（2）（3）（4），可得即列車初速度應(yīng)不小于，才能保證其安全地通過圓軌道。求解三球系統(tǒng)的碰撞情況一例三個鋼球A、B、C由輕質(zhì)的長為L的硬質(zhì)桿連接

4、，豎立在水平面上，如圖一所示，已知三球質(zhì)量為距桿處有一面豎直墻。因受微小擾動，兩桿分別向兩邊滑動，使B球下降。致使C球與墻面發(fā)生碰撞。設(shè)C球與墻面碰撞前后其速度大小不變，且所有摩擦不計，各球的直徑都比L小很多，求：B球落地瞬間三球的速度大小。解：（1）求碰撞前三球的位置視ABC三者為一系統(tǒng)，則AC在水平面上滑動時，只要C不與墻面相碰，則此系統(tǒng)不受水平外力作用，此系統(tǒng)質(zhì)心的水平坐標不發(fā)生變化。以圖二表示C球剛好要碰撞前三球的位置。以a表示此時BC桿與水平面間的夾角，則AB桿與水平面間的夾角也為a，并令BA桿上的M點與系統(tǒng)的質(zhì)心的水平坐標相同，則應(yīng)有故得， （1）由上述知M點的水平坐標應(yīng)與原來三球

5、所在位置的水平坐標相同，故知此刻M點與右側(cè)墻面的距離即為a，即M點與C球的水平距離為a，由此有即由上式，得，故有 （2）（2）求碰墻前三球的速度由于碰墻前M點的坐標不變，則在AC沿水平面滑動的過程中的任意時刻，由于圖中的幾何約束，C點與M點的水平距離總等于A點與M點的水平距離的倍，可見任何時刻C點的水平速度大小總為A點水平速度大小的倍。以分別表示圖二中三球的速度，則有 （3）又設(shè)沿BC方向的分量為，則由于和分別為桿BC兩端的速度，則此兩速度沿桿方向的投影應(yīng)該相等，即再設(shè)沿BA方向的分量為，同理可得注意到BA和BC兩方向剛好互相垂直，故得的大小為以（2）（3）兩式代入上式，得 （4）由于系統(tǒng)由圖

6、一狀態(tài)到圖二狀態(tài)的機械能守恒，有將（1）（2）（3）（4）代入上式，解得 （5）（3）求C球剛碰墻后三球的速度如圖三所示，由于C球與墻碰撞，導(dǎo)致C球的速度反向而大小不變，由于桿BC對碰撞作用力的傳遞，使B球的速度也隨之變化，這一變化的結(jié)果是：B球速度沿BC方向的分量與C球速度沿CB方向的分量相等，即 （6）由于BC桿只傳遞沿其桿身方向的力，故B球沿垂直于桿身方向（即BA方向）的速度不因碰撞而發(fā)生變化，A球的速度也不因碰撞而發(fā)生變化，即其仍為。故得此時B球速度沿BA方向的分量滿足 （7）得，剛碰墻后B球速度的大小為 （8）（4）求B求落地時三球的速度大小碰后，三球速度都有水平向左的分量，可見此后

7、系統(tǒng)質(zhì)心速度在水平方向的分量應(yīng)該方向向左，且由于此后系統(tǒng)不受水平外力，則應(yīng)保持不變，由上解得的三球速度，可得應(yīng)該滿足以（3）（5）（6）（7）代入上式，解得 （9）當B球落地時，ABC三球均在同一水平線上，它們沿水平方向的速度相等，顯然，這一速度也就是系統(tǒng)質(zhì)心速度的水平分量.而B球剛要落地時，AC兩球的速度均沿水平方向（即只有水平分量），B球的速度則還有豎直分量，以表示此刻B球速度的大小。則由圖三所示的狀態(tài)到B球剛要落地時，系統(tǒng)的機械能守恒，由此有以（9）（8）（5）式代入上式，解得 （10）考慮小物體向右的傾倒如圖一，長度為L的輕桿上端連著一質(zhì)量為m的體積可忽略的小重物B。桿的下端被用鉸鏈固

8、接于水平面上的A點。同時，置于同一水平面上的立方體C恰與B接觸，立方體C的質(zhì)量為M。今作微小擾動，使桿向右傾倒，設(shè)B與C，C與水平地面間均無摩擦，而B與C剛脫離接觸的瞬間，桿與地面夾角恰為，求：B、C的質(zhì)量之比。解：B、C分離前，B對C有作用力，使C沿水平方向加速,且兩者相接觸時，兩者在水平方向上的速度總是相等。在水平方向上的加速度也總是相等。直至B、C分離瞬間，B與C在水平方向上的速度還相等，水平方向的加速度也相等，且其間應(yīng)剛好無相互作用力。由于其間無相互作用力，可見此刻C的加速度為零，則B的加速度的水平分量為零。則桿對B的作用力的水平分量必為零，由于桿為輕桿，它對B如有作用力則必沿桿身方向

9、，而其水平分量要為零。故可肯定此刻桿對B的作用力為零。現(xiàn)以B球為研究對象，如圖二，設(shè)此刻B球的速度大小為V，桿與水平面夾角以q表示（），則B此刻是僅僅受重力作用而繞A點作半徑為L的圓周運動，其向心力由重力沿桿方向的分力（mgsinq）提供，由向心力的公式，有所以，并且由圖二還可見此刻B的速度的水平分量為又由上述知此刻C的速度和相等，即有對于由BC組成的系統(tǒng)，在此過程中滿足機械能守恒定律的條件，故有將以及代入上式，可以解得求解復(fù)合振子的振動周期三個質(zhì)量均為m的小球，由兩根原長均為,勁度系數(shù)均為K的彈簧相連，置于光滑的水平面上，試求：此系統(tǒng)穩(wěn)定振動時的振動周期（只考慮三球在同一直線上運動的情況）。

10、解一：由于此系統(tǒng)在水平方向上不受外力作用，故振動中系統(tǒng)的質(zhì)心位置不變。另外，本題的三球相同，兩彈簧也相同，因而具有明顯的對稱性。由于有上述的兩個特點，圖一是一種顯而易見的滿足題述條件的情況，即圖中B球不動，AC兩球分別在B球兩側(cè)對稱的振動（此時系統(tǒng)的質(zhì)心在B球球心上）。這種情況下，C球（或A球）相當于被一個一端固定，勁度系數(shù)為K的彈簧連接，質(zhì)量為m的彈簧振子，則其振動周期為此系統(tǒng)的穩(wěn)定振動還有一種可能情況是ABC三球均參與振動（當然此時仍需保證系統(tǒng)的質(zhì)心位置不變）。由于對稱，可以假想將B球分為左、右兩個質(zhì)量各為的部分，其左邊部分與A一起組成一個振動系統(tǒng)，右邊部分。顯然這兩個振動系統(tǒng)有相同的結(jié)構(gòu)

11、，它們分別振動時，周期相同，也可以有相同的振幅。因此，當左右兩邊的兩個振動系統(tǒng)這樣配合起來振動時，實際上并不需要把B球拆開，這樣也形成了ABC三球同時參與整個系統(tǒng)的振動，其振動周期即為上述的左邊部分（或右邊部分）的振動周期。如圖二，對于左邊部分（既由半個B球和A球組成的系統(tǒng)），其質(zhì)心位置位于，平衡時，與A相距，振動中點不動，則對于A來說，相當于彈簧的點固定，點左側(cè)的彈簧連著A構(gòu)成一個彈簧振子，而點左側(cè)這段彈簧對應(yīng)的勁度系數(shù)，則則所求振動周期可能為和解二：對于三球均發(fā)生振動的情況，也可通過演繹的方法來求解，具體解法如下：如圖三，設(shè)ABC為三球各自的平衡位置，某時刻三球分別位于，對應(yīng)的位移分別為，

12、以圖中向右的方向為坐標正方向，則此刻ABC三球所受合外力分別為，若設(shè)，則上述三式分別變?yōu)椋捎谑欠€(wěn)定振動，則三球應(yīng)有相等的振動周期，由以上三式顯然應(yīng)該滿足即由可以解得，代入，得，所以故得此時A（BC）球振動的周期為大圓柱如何能翻過小圓柱如圖一，半徑分別為和的兩個均勻圓柱體置于同一水平面上，在大圓柱上繞有一根細繩，通過細繩對大圓柱施以水平拉力P。設(shè)所有接觸處的經(jīng)摩擦因數(shù)均為m.為使在力P的作用下，大圓柱能翻過小圓柱，問：應(yīng)滿足何條件? 解：（1）設(shè)大圓柱能翻過小圓柱，則在圖示的情況下，必是小圓柱在地面上即不滑動也不轉(zhuǎn)動，而大圓柱則在小圓柱上作無滑滾動（向上）。顯然，此時BC兩處都必定有摩擦力作用

13、，且由于此兩處都不能發(fā)生滑動，則兩處的全反力與接觸面法線的夾角都必小于對應(yīng)的摩擦角。（2）由于A為大圓柱的最高點，C為兩圓的切點，B為小圓柱的最低點，有簡單的幾何關(guān)系可以證明：B、C兩點連線的延長線必過A點。即BCA三點共線。（3）作圖三，以表示兩圓柱的圓心，a表示，其余各位置標示如圖。則當大圓柱剛好能離開地面滾上小圓柱時，大圓柱受到自己的重力，繩的拉力P和小圓柱對它的全反力三個力的作用，其中與P的作用線交于A點，由三力平衡的條件知的作用線必過A點。則a就是C處接觸面法線（）與全反力的夾角，由摩擦角的概念知，要在C處能不發(fā)生滑動，則應(yīng)不大于該處的摩擦角f，即要求，而，故得應(yīng)有（4）對于小圓柱，

14、它受到自己的重力，大圓柱對它的全反力和地面對它的全反力三個力的作用。其中為前述的反作用力，其方向由C指向B，且與豎直方向的夾角為a。由小圓柱的受力平衡條件知表示和三力的矢量必組成一個封閉的三角形，如圖三。由圖可見，與的夾角（即B處全反力與接觸面法線間的夾角）小于a。前已有，則應(yīng)有，說明此時在接觸面B處不會發(fā)生滑動。又由于小圓柱所受諸力匯交于一點，其合力矩為零，則小圓柱也不會發(fā)生轉(zhuǎn)動。（5）綜合上述知時，在拉力P作用下大圓柱可翻過小圓柱。為求得與之間的關(guān)系，在圖三中，有故得，。所以，在拉力P的作用下，為使大圓柱能翻過小圓柱，靜摩擦系數(shù)m應(yīng)滿足的條件是。考慮五球碗平衡現(xiàn)象四個半徑均為R的光滑球，靜

15、止于一個水平放置的半球形碗內(nèi)，該四球球心恰在同一水平面上。現(xiàn)將一個相同的第五個球放在前述四球之上，而此系統(tǒng)仍能保持平衡，求：碗的半徑為多少？解：四球平衡時，過四球心的截面圖如圖一所示，由于對稱，四球心恰位于一邊長為2R的正方形的四個頂點上，兩相對球心的距離則為放上第五個球后，令其球心為C，過ABC三點做截面圖如圖二。由于故為等腰直角三角形。由于球是光滑的，故各球之間均只有彈力存在，顯然，這些彈力方向應(yīng)沿兩球連心線方向。由于對稱，下面四球?qū)球彈力的大小必定相等，以N表示這個彈力的大小。結(jié)合圖二可見，這幾個彈力的方向與豎直方向的夾角均為。以G表示每個球的重力，則由C球的平衡，有所以，設(shè)四球處于臨

16、界平衡狀態(tài)，即四球之間剛好無相互作用力，則此時A球僅受三個力的作用而平衡。此三力是：重力G，C球?qū)球的彈力和碗對A球的支持力。設(shè)碗面球心為D，則必沿AD連線方向，如圖三所示，用a表示圖中的，由于G，三力的合力為零，則表示此三力的矢量應(yīng)組成一個封閉三角形如圖四，由圖可得解，得由因圖四表示三力的矢量所組成的三角形應(yīng)與圖三中相似，有。以表示此時碗的半徑，顯然有，又由前已經(jīng)解得將其分別代入上式，則上式變?yōu)榻猓靡陨辖獾玫臑橄到y(tǒng)臨界平衡時對應(yīng)的碗面半徑，也可以理解為碗面半徑的諸多可能值中的一個臨界值，當碗面半徑較增大時，圖三中碗面對球A的支持力的作用點將自E點向右移至新的支持點，這樣，A球所受重力G和

17、彈力兩力的合力對點的力矩不為零，使A球?qū)⑾蜃髠?cè)轉(zhuǎn)動，由此，四球?qū)⒎珠_，原平衡將被破壞。反之，當碗面半徑較減小時，碗面對球A的支持力的作用將自E點向左移至新的支持點，這樣，A球所受重力G和彈力兩力的合力對點的力矩不為零，使A球?qū)⑾蛴覀?cè)轉(zhuǎn)動，由此，下面的四球之間將出現(xiàn)彈力而阻止上述轉(zhuǎn)動的發(fā)生，原來的平衡得以維持。顯然，碗口半徑太小時，其上是無法放上四球而平衡的，對應(yīng)于能使四球在碗口上面平衡的碗口半徑最小的情況，應(yīng)為碗口邊緣剛好能支于圖三中的E、F兩點，即此時EF兩點間的距離為碗口的直徑。以表示此時碗口的半徑，則由圖三可得而注意到此時代入前式便得故得即考慮使載有圓柱體的小車勻速運動的情況重為G的圓柱

18、位于可動的水平平面與固定的傾角為的斜面之間，如圖一所示，圓柱體與水平面間的動摩擦因數(shù)和靜摩擦因數(shù)均為，圓柱體與斜面間的動摩擦因數(shù)和靜摩擦因數(shù)均為.為使水平面能向左勻速運動，至少要對它施以多大的力？不考慮圓柱以外的物體施于水平面的阻力。解：如圖二，由于水平面向左勻速運動，圓柱有隨之運動的趨勢，由于受到斜面的限制，圓柱不能隨水平板一起向左運動，由此圓柱受到水平板的方向向左的摩擦力的作用。在圖二所示的位置時，圓柱的運動狀態(tài)只可能是以下三中形式中的一種，即：（1）圓柱與水平面的接觸點B處不發(fā)生滑動，即圓柱沿順時針方向繞B點作無滑滾動，由于水平板的運動是勻速的，則此時圓柱體的轉(zhuǎn)動也是勻速的；（2）圓柱與

19、斜面的接觸點C處不發(fā)生滑動，而圓柱與水平面的接觸點B處發(fā)生滑動，此時圓柱處于靜止狀態(tài)（當然圓柱也沒有轉(zhuǎn)動）；（3）圓柱在B點和C點處均不發(fā)生滑動，這時圓柱也是處于靜止狀態(tài)，且圓柱下的水平面也被“卡死”而不能發(fā)生運動。以上三種情況下，圓柱均處于平衡狀態(tài)（靜止或勻速轉(zhuǎn)動），均可根據(jù)圓柱所受合力矩為零的條件定出斜面對圓柱體的摩擦力方向應(yīng)沿斜面向下。故得這三種情況下圓柱體的受力如圖二所示:其中G為圓柱體的重力，和為水平面對圓柱體的彈力和摩擦力，和為斜面對圓柱體的彈力和摩擦力。對于圓柱體，以O(shè)點為轉(zhuǎn)軸時其轉(zhuǎn)動平衡方程為，式中R表示圓柱的半徑?？梢娕c大小相等，以f表示之，則有 (1)對圓柱體以A點為轉(zhuǎn)軸列

20、轉(zhuǎn)動平衡方程，為由于AB=AC，則上式變?yōu)閷A柱體列其水平方向受力平衡的方程，為故得， （3）(1) 現(xiàn)就B處無相對滑動而C處有相對滑動的情況入手進行討論，此時相當于圓柱在水平板上作沿順時針方向的無滑滾動。以B點為轉(zhuǎn)軸，圓柱能發(fā)生順時針方向轉(zhuǎn)動的條件是和對B點的合力矩應(yīng)沿順時針方向，即對B點的力矩值應(yīng)大于對B點的力矩值，為即 （4）而，可見即當時，任意大小的和都可以保證（4）式的成立，這時，不管為多大，也不管對水平板施加多大的外力F，均可使圓柱在水平板上作無滑滾動。顯然，為使水平板維持勻速運動的最小外力是F=0.若，則由和作用于圓柱的力矩將要求圓柱繞B點沿順時針方向轉(zhuǎn)動，顯然，這是不可能的。即

21、在這種情況下，在C點處圓柱與斜面之間不可能再發(fā)生相對運動了。（2）在時，設(shè)在B點發(fā)生相對滑動，則有 （5）由（2）（3）（5）式，有，所以，令，則上式可以寫為 （6）若，則為某一正值，表明上述假設(shè)在B點發(fā)生相對滑動（此時在C點處無相對滑動）是成立的。此時拉水平板勻速前進的力F與大小相等，由（3）式和（6）式，有，所以，若，由（6）式可見無意義或為負值，結(jié)合本題實際表示的是在B點不可能發(fā)生相對滑動，由前述這時在C點也不能發(fā)生相對滑動。即此時水平板已被“卡死”，不管用多大的水平力都不可能使它沿水平方向向左作勻速運動了。（3）綜合上述，本題的答案為：若，則不管為何值，均有F=0;若，且，則；若，且，

22、則無論用多大的水平力均不可能使水平板向左作勻速運動。求解擋板給圓柱的最大外力 如圖一，質(zhì)量為m的n（n3）個均勻圓柱體，依次擱置在傾角為的斜面上，并以鉛垂設(shè)置的擋板擋住，擋板長L，其下端以鉸鏈固定，擋板可繞其下端自由轉(zhuǎn)動。圓柱體的半徑為R，各圓柱體與斜面間的靜摩擦因數(shù)均為而各圓柱體之間的摩擦則可忽略不計。今以水平力P作用于擋板的上端而維持此系統(tǒng)的平衡，試求：P的最大值為多少? 解：此系統(tǒng)平衡時，有兩種可能的狀態(tài)是：當P值較小時，擋板有逆時針轉(zhuǎn)動的趨勢，則圓柱1相對于擋板和斜面都有向下運動的趨勢，于是擋板對圓柱有沿板面向上方向的靜摩擦力作用，斜面對圓柱有沿斜面向上方向的靜摩擦力作用。當P值較大時

23、，擋板有順時針轉(zhuǎn)動的趨勢，則圓柱1相對于擋板和斜面都有向上運動的趨勢，此時擋板對圓柱有沿板面向下方向的靜摩擦力作用，斜面對圓柱有沿斜面向下方向的靜摩擦力作用。在后一種可能情況中，當達到臨界情況（即上述的兩個靜摩擦力中有一個達到最大靜摩擦力或者是兩個同時都達到最大靜摩擦力）時，對應(yīng)的P值即為維持系統(tǒng)平衡的P的最大值。設(shè)系統(tǒng)已處于上述的臨界狀態(tài)，現(xiàn)取第1圓柱為研究對象來研究：自己的重力G，擋板對它的摩擦力，彈力；斜面對它的摩擦力，彈力；第二圓柱對第1圓柱的彈力F，F(xiàn)的方向平行于斜面向下。其余各力的方向均如圖所示。由于第一圓柱處于平衡，則它所受各力對任一轉(zhuǎn)軸的合力矩都應(yīng)為零，現(xiàn)取此圓柱的中心軸線（過

24、圖中O點）為轉(zhuǎn)軸，列出力矩平衡方程，即. （1）又假設(shè)轉(zhuǎn)軸過圖中的點，則第1圓柱對于此轉(zhuǎn)軸的力矩平衡方程為即 （2由于N3,而 （3）故得，代入前式，可見有 （4）由于A、B兩處的靜摩擦因數(shù)都為m，比較（1）（4）兩式可見，B處的摩擦力將達到最大靜摩擦力，即有 （5）又設(shè)轉(zhuǎn)軸過圖中的A點，則第1圓柱對此轉(zhuǎn)軸的力矩平衡方程為即，所以， （6）（6）代入（2），得再以擋板為對象，其繞點轉(zhuǎn)動的平衡方程是，故得，這就是維持系統(tǒng)平衡的水平力的最大值。注意：求最小力，如何？用頻閃光照射有黑色扇形圓盤的情況 一圓盤上有一黑色的扇形，圓心角為，圓盤繞通過圓心而與平面垂直的軸轉(zhuǎn)動，如圖一，轉(zhuǎn)數(shù)n=1500r/min.若在暗室中以每秒閃100次光照射，而每次閃光延續(xù)的時間為0.003S.問：在圓盤上將可看見什么現(xiàn)象？如圓盤的轉(zhuǎn)速為則結(jié)果如何？解：n=1200r/min=25r/S,即圓盤轉(zhuǎn)動一周需時間。由題意，圓盤每轉(zhuǎn)一周經(jīng)歷4次閃光，故在圓盤