上冊(cè)我們已經(jīng)介紹了分析學(xué)中的主要內(nèi)容極限理論

1、第八章 級(jí) 數(shù)上冊(cè)我們已經(jīng)介紹了分析學(xué)中的主要內(nèi)容：極限理論，微分學(xué)與積分學(xué)。而級(jí)數(shù)理論，它是研究分析學(xué)的一個(gè)重要工具，在實(shí)用科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用；在現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法中占有重要的地位。本章主要是介紹數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念及判斂法則，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性，冪級(jí)數(shù)的基本理論，函數(shù)的泰級(jí)數(shù)等等。第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念及性質(zhì)一、基本概念定義1 設(shè)數(shù)列，稱 ， (1)為無(wú)窮級(jí)數(shù)，或簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)，記作其中稱為級(jí)數(shù)的通項(xiàng)或一般項(xiàng)。由此看來(lái),級(jí)數(shù)就是把無(wú)窮多個(gè)數(shù)用“和”的符號(hào)連起來(lái)的形式。它們有沒(méi)有和，或如何計(jì)算它們的和呢？這就是我們要研究的問(wèn)題。定義2 令,稱為級(jí)數(shù)(1)的前項(xiàng)部分和,也稱為前項(xiàng)部分和序列。即

2、， , , , , 由數(shù)列也可以構(gòu)成一個(gè)級(jí)數(shù) 其中 =, ,定義3 若級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和序列收斂,設(shè),則稱級(jí)數(shù)收斂,并稱為級(jí)數(shù)的和。即= 若級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和序列發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散。由此可見(jiàn)，級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和數(shù)列的求極限問(wèn)題了。所以說(shuō)極限是研究級(jí)數(shù)的一個(gè)重要工具。因此，在討論級(jí)數(shù)的各項(xiàng)性質(zhì)時(shí)都必須借助于該級(jí)數(shù)的部分和的數(shù)列性質(zhì)；研究級(jí)數(shù)及其和只不過(guò)是研究與其相應(yīng)的一個(gè)數(shù)列極限的一種新的形式。下面我們用級(jí)數(shù)的定義來(lái)分析幾個(gè)常見(jiàn)且比較典型的級(jí)數(shù)。例1 判別級(jí)數(shù)的斂散性；若收斂，求其和。解 因?yàn)?= =1所以 故 級(jí)數(shù)收斂,且和為1例2 討論級(jí)數(shù)的斂散性,（，是常數(shù)）；若收斂，求其

3、和（此級(jí)數(shù)稱為幾何級(jí)數(shù)或等比級(jí)數(shù)）。解 1）當(dāng)時(shí)，（當(dāng)時(shí)）所以級(jí)數(shù)發(fā)散。 2）當(dāng)時(shí)，3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，幾何級(jí)數(shù)收斂，且和為，當(dāng)時(shí)，幾何級(jí)數(shù)發(fā)散。例3 討論級(jí)數(shù)的斂散性。解 因?yàn)?所以， 故級(jí)數(shù)發(fā)散。從以上幾個(gè)例題可以看出，判別一個(gè)級(jí)數(shù)斂散性的基本方法是看其部分和數(shù)列的極限是否存在？若收斂時(shí)，并可以求出其和。但是在求其前部分和時(shí)往往是很困難的，為此我們要給出判別其收斂的一般方法，首先給出它的基本性質(zhì)。二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)定理1（收斂的必要條件）若級(jí)數(shù)收斂，則證明 因級(jí)數(shù)收斂，所以設(shè)且 ，由極限性質(zhì)可得 故 注意：這是收斂的必要條件，不是充分條件，也就是說(shuō)，若級(jí)數(shù)的通項(xiàng)極限不為零

4、，則級(jí)數(shù)一定不收斂；反之不成立（即若，并不能保證級(jí)數(shù)收斂）。這也是判別級(jí)數(shù)斂散性最基本的方法。例如：級(jí)數(shù) 因 所以發(fā)散。調(diào)和級(jí)數(shù) 雖然 ，但它也是發(fā)散的。定理2 （運(yùn)算性質(zhì)）若級(jí)數(shù)收斂，其和分別為；(為常數(shù)) 則 1）級(jí)數(shù)收斂，且= （常數(shù)可以提到級(jí)數(shù)符號(hào)外面）2）級(jí)數(shù)收斂,且 （和差級(jí)數(shù)等于級(jí)數(shù)的和差）注意：1、2）可以推廣到有限項(xiàng)也成立；2、若級(jí)數(shù)，都發(fā)散，其和差仍可能是收斂的；若一個(gè)收斂，一個(gè)發(fā)散，其和差一定發(fā)散。例如 都發(fā)散,而收斂。定理3 設(shè)級(jí)數(shù),若在此級(jí)數(shù)前去掉或增加有限項(xiàng)得到的新級(jí)數(shù),與原級(jí)數(shù)具有同樣的斂散性。值得注意的是,此性質(zhì)雖然不改變其斂散性,但若級(jí)數(shù)收斂時(shí),其和的值是會(huì)改

5、變的。定理4 設(shè)級(jí)數(shù)收斂，若對(duì)其項(xiàng)任意加括號(hào)后，所得級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和。注意：（1）若級(jí)數(shù)加括號(hào)后收斂，而原級(jí)數(shù)不一定收斂。如級(jí)數(shù)收斂，而原級(jí)數(shù)發(fā)散的。（2）若級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得的新級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)一定發(fā)散。例4 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性（1） （2）（3） （4）解 （1）因?yàn)?，所以原?jí)數(shù)發(fā)散。（2）因，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。（3）因都是等比級(jí)數(shù)，且公比，所以都收斂，由定理2可得，收斂。（4）因所以 但還不能判斷此級(jí)數(shù)是收斂的，又因所以 ，故級(jí)數(shù)發(fā)散。從以上幾個(gè)例題可以看出，前面所介紹的性質(zhì)在判定級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)比較有效，但在判定級(jí)數(shù)收斂時(shí)卻比較困難；下節(jié)專門介紹級(jí)數(shù)收斂的判定方法。第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)上節(jié)

6、中我們介紹了數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念，并給出了它的一些性質(zhì)；在這節(jié)中我們專門討論它的一般項(xiàng)為正的級(jí)數(shù)的收斂判定方法。定義1 設(shè)級(jí)數(shù)，若對(duì)有；則稱它為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)而言，因?yàn)?，所以它的前部分和?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；根據(jù)收斂準(zhǔn)則，若級(jí)數(shù)收斂，則數(shù)列有上界。所以得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件。定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂它的前項(xiàng)部分和數(shù)列有上界。根據(jù)級(jí)數(shù)的定義判別級(jí)數(shù)收斂要先求其部分和，一般說(shuō)來(lái)計(jì)算是比較困難的；而定理1只要判別其部分是否有界或無(wú)界就可以了。因?yàn)樗欢ㄊ菃握{(diào)遞增的，在應(yīng)用過(guò)程中我們可以適當(dāng)?shù)匕阉暮瓦M(jìn)行放大或縮小，從而給判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性帶來(lái)了方便。例1 證明級(jí)數(shù)收斂。證 因?yàn)閷?duì)，有 所以對(duì)，有 =

7、所以級(jí)數(shù)收斂。例2 判別級(jí)數(shù)的斂散性。解 因?yàn)閷?duì)，有成立。所以 對(duì)，有 ，故 < =所以級(jí)數(shù)收斂。定理2 （比較判別法）設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)；滿足： 則有下列結(jié)論： （1）若收斂，則收斂。（簡(jiǎn)稱大收則小收） （2）若發(fā)散，則發(fā)散。（簡(jiǎn)稱小散則大散）證明 （1）因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂,所以其前項(xiàng)部分和數(shù)列收斂,且 數(shù)列單調(diào)遞增有上界。又因?yàn)?所以數(shù)列也是單調(diào)遞增有上界的。故數(shù)列收斂,則級(jí)數(shù)收斂。 （2）用反證法可證，因級(jí)數(shù)發(fā)散，若假設(shè)收斂，用（1）可得收斂，與題設(shè)條件矛盾。注意：根據(jù)上節(jié)定理3，去掉前面有限項(xiàng)不改變級(jí)數(shù)的斂散性，所以此定理可改為：設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)；若，當(dāng)時(shí)，有，則上述結(jié)論同樣成立。推論1 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)

8、，若則級(jí)數(shù)具有相同的斂散性。定理3 （比值判別法）設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)若 則 (1) 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；(2) 當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散；(3) 當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散,要另行判定。定理4 （根值判別法，也稱柯西判別法）設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若有，則 （1）當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂， （2）當(dāng)（包括）時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散; （3）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散，要另行判定。以上性質(zhì)沒(méi)有給出證明，我們通過(guò)例題講解如何用這些性質(zhì)判定級(jí)數(shù)收斂的方法。例1 討論級(jí)數(shù)的斂散性解 （1）當(dāng)時(shí),，由必要條件可得，級(jí)數(shù)發(fā)散。（2）當(dāng)時(shí)，是調(diào)和級(jí)數(shù)，所以發(fā)散；（3）當(dāng)時(shí)，因, 而級(jí)數(shù)發(fā)散,由定理2可得級(jí)數(shù)發(fā)散。（4）當(dāng)時(shí)，對(duì)原級(jí)數(shù)依次按一項(xiàng)、二項(xiàng)

9、、四項(xiàng)、八項(xiàng)等規(guī)律加括號(hào)得新級(jí)數(shù)： 共二項(xiàng) 共四項(xiàng) 共八項(xiàng) 而 所以等比級(jí)數(shù)收斂；由定理2可得級(jí)數(shù)收斂；對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)而言，加括號(hào)不改變級(jí)數(shù)的斂散性，所以級(jí)數(shù)收斂。對(duì)（4）的證明還可以這樣考慮，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有， 而級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和=而，所以收斂，由定理2可得當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。綜上所述：級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)發(fā)散，當(dāng)時(shí)收斂。這是一個(gè)很重要的級(jí)數(shù)，此結(jié)論以后可以直接用。有時(shí)我們經(jīng)常用此級(jí)數(shù)的結(jié)論來(lái)判別其它級(jí)數(shù)的斂散性。例2 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性(1)(4) (6)解 (1) 因?yàn)?而級(jí)數(shù)是調(diào)和級(jí)數(shù),所以發(fā)散；由比較判別法得級(jí)數(shù)發(fā)散。 （2）此題要用到三角函數(shù)的性質(zhì)，因?yàn)?，所?（因?yàn)槌浞执笠院?，就比較小）由級(jí)數(shù)

10、結(jié)論可得級(jí)數(shù)收斂，由上節(jié)定理2可得級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法得收斂。 （3）因級(jí)數(shù)中含有參數(shù)，所以要分情況討論。）當(dāng)時(shí)，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可得發(fā)散。）當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)變?yōu)?，顯然發(fā)散。）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以幾何?jí)數(shù)收斂。由比較判別法可得收斂。綜上所述，級(jí)數(shù)=（4）因，所以級(jí)數(shù)收斂（5）觀察級(jí)數(shù)的形式，很難直接用比較判別法，但仔細(xì)一想，我們可以用它的推論。因?yàn)榧?jí)數(shù)是收斂的，而，所以級(jí)數(shù)收斂。（6）因， 而級(jí)數(shù)發(fā)散，由比較判別法可得級(jí)數(shù)發(fā)散（小散則大散）。由上幾個(gè)例題可以歸納使用定理2的基本思路：（1）熟悉常用的已知的基本級(jí)數(shù)的斂散性；（2）根據(jù)題目本身的特點(diǎn)找到與它相對(duì)應(yīng)的已知級(jí)數(shù)；（3）通常要采用放大性原

11、理，然后進(jìn)行比較。例3 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性。解 （1）因所以 由定理3可得，此級(jí)數(shù)發(fā)散。 （2）因 所以 = 所以， 當(dāng) 時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂。 （3）因，所以 = =故原級(jí)數(shù)發(fā)散。 （4）因 所以 =所以原級(jí)數(shù)收斂。例4 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性解 （1）因 ,所以原級(jí)數(shù)收斂。 （2）因 所以, 當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； 當(dāng) 時(shí)，發(fā)散. （3）因 所以原級(jí)數(shù)收斂。注意：由例3、例4可以得出判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的一般方法。（1）首先觀察級(jí)數(shù)本身的特點(diǎn)；（2）如果一般項(xiàng)含有階乘常用比值判別法，如果一般項(xiàng)是n次冪，一般常用根值判別法；（3）對(duì)一般項(xiàng)含有常數(shù)時(shí)，通常要討論常數(shù)的取值情況；（4）若時(shí)，

12、無(wú)法判定其斂散性，要用其它方法進(jìn)行判定。第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)上節(jié)我們介紹了正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判定方法，但在實(shí)際問(wèn)題中我們常常會(huì)遇到的級(jí)數(shù)的項(xiàng)是可正、可負(fù)或零，這樣的級(jí)數(shù)我們稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。如何判定任意項(xiàng)的斂散性呢？通常沒(méi)有什么固定的方法，在此我們只介紹任意項(xiàng)級(jí)數(shù)中較為特殊的一種類型（即交錯(cuò)級(jí)數(shù)）的判別定法；并簡(jiǎn)單地介紹絕對(duì)收斂與條件收斂的概念。定義1 正負(fù)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。形如：；其中 。定理1 （萊布尼茲準(zhǔn)則）設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足如下條件；（1）；（2），則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，且其和其余項(xiàng)。注：滿足以上兩個(gè)條件的交錯(cuò)級(jí)數(shù)有時(shí)稱為萊布尼茲級(jí)數(shù)，萊布尼茲級(jí)數(shù)是收斂的。例1 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性（1）

13、 解 （1）因 又 由定理1可得，級(jí)數(shù)收斂。 （2）因=而級(jí)數(shù)發(fā)散，又因，所以級(jí)數(shù)收斂；故原級(jí)數(shù)發(fā)散。 （3）因，又，由定理1可得原級(jí)數(shù)收斂。 （4）因，又因，所以是萊布尼茲級(jí)數(shù)，故收斂。二、絕對(duì)收斂與條件收斂定義2 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若收斂，則稱級(jí)數(shù)為絕對(duì)收斂，若發(fā)散，而收斂，則稱級(jí)數(shù)條件收斂。顯然收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的。定理2 若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)一定收斂。其逆命題不一定成立。證明 由于且已知收斂，故收斂。又因，由級(jí)數(shù)的性質(zhì)可得，級(jí)數(shù)收斂。若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)不一定收斂。如交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，而級(jí)數(shù)是發(fā)散的。例2 判定下列級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂或條件收斂。（1） （2）（3） ， （4） （為常數(shù)）解 （1）

14、因, 而級(jí)數(shù)收斂,所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. (2) 因 , 而級(jí)數(shù)收斂,所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。 （3）因 ，而，所以級(jí)數(shù)發(fā)散。而，且，所以交錯(cuò)級(jí)數(shù)是屬于萊布尼茲級(jí)數(shù)，故收斂，所以原級(jí)數(shù)條件收斂。 （4）因 ，對(duì)常數(shù)要分情況加以討論。 當(dāng)時(shí)，（可以用洛必達(dá)法則的推論）所以級(jí)數(shù)發(fā)散。 當(dāng)時(shí)，則=是調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散。 當(dāng)時(shí)，則=是屬于萊布尼茲級(jí)數(shù)，故收斂；是條件收斂。 當(dāng)時(shí)，對(duì)級(jí)數(shù)而言，用比值判別法可得，所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。關(guān)于絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)有兩個(gè)基本的性質(zhì)，在這時(shí)介紹一下；不作證明。定理3 若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，其和為，則任意交換級(jí)數(shù)各項(xiàng)的位置后，所得的新級(jí)數(shù)仍然絕對(duì)收斂，且其和不變。定理4 若級(jí)數(shù)，都絕對(duì)收斂，

15、且其和分別為；則它們的柯西乘積所得的新級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂；而柯西乘積之和為。第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義1 設(shè)函數(shù)列在某個(gè)區(qū)間I上有定義,則 （1）稱為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。 若對(duì)區(qū)間I上的每取定一個(gè)點(diǎn)，級(jí)數(shù)（1）就變成了常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) （2）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（2）可能收斂，也可能發(fā)散。若級(jí)數(shù)（2）收斂時(shí)，就稱是級(jí)數(shù)（1）的收斂點(diǎn)；若級(jí)數(shù)（2）發(fā)散時(shí)，就稱是級(jí)數(shù)（1）的發(fā)散點(diǎn)。定義2 級(jí)數(shù)（1）收斂點(diǎn)的全體稱之為它的收斂域，級(jí)數(shù)（1）所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱之為它的發(fā)散域。例1 求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域。解 此級(jí)數(shù)的定義域是，它是幾何級(jí)數(shù)。所以當(dāng)時(shí)收斂，并且收斂于和；當(dāng)時(shí)發(fā)散。故函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域是發(fā)

16、散域是。級(jí)數(shù)（1）在收斂域內(nèi)對(duì)任意的都對(duì)應(yīng)于一個(gè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，并且有確定的和，記為，即：則稱為級(jí)數(shù)（1）在收斂域上的和函數(shù)。對(duì)級(jí)數(shù)（1），記為它的前項(xiàng)部分和，在其收斂域內(nèi)有成立。記為級(jí)數(shù)（1）的項(xiàng)余和，且有例2 設(shè)函數(shù)列 討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上的斂散性。解 的部分和數(shù)列為： 所以,當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí),所以故級(jí)數(shù)在區(qū)間上收斂,且和函數(shù)為 ,由此例題我們還可以看到這樣的結(jié)果：因?yàn)樵趨^(qū)間上是連續(xù)的，但它們的和函數(shù)在區(qū)間不連續(xù)，這與連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的和還是連續(xù)函數(shù)的分析性質(zhì)不同。也就是說(shuō)對(duì)無(wú)窮多個(gè)而言不具有這種性質(zhì)。在什么樣的情況下函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)具有分析性質(zhì)呢？為此我們簡(jiǎn)單地介紹級(jí)數(shù)的一致收斂的概

17、念及性質(zhì)。二、函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂（均勻收斂）及性質(zhì)在前面我們介紹了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收斂的概念，其實(shí)它是點(diǎn)點(diǎn)收斂；現(xiàn)在我們介紹函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)一致收斂的概念。定義3 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某區(qū)間I上收斂于，若對(duì)，對(duì)I，有 成立則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間I上一致收斂。定義 設(shè)函數(shù)列在區(qū)間I上收斂于函數(shù)，若對(duì)，對(duì)I，使得當(dāng)時(shí)，有不等式 成立則稱函數(shù)列在區(qū)間I一致收斂。例如在前面例2中，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上有 此函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)非一致收斂，在上一致收斂。例3 證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 在區(qū)間上一致收斂。證 級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和數(shù)列，因此級(jí)數(shù)和函數(shù)，于是余項(xiàng)的絕對(duì)值 對(duì) 取自然數(shù)，則當(dāng)時(shí)，對(duì)都有 成立。所以此函數(shù)

18、級(jí)數(shù)在在區(qū)間上一致收斂于和函數(shù)。例4設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和數(shù)列為 ，討論它在區(qū)間上的一致收斂性。解 對(duì)，有又因?yàn)?，?=所以，對(duì)，對(duì)任意給定的不管取多大的，當(dāng)時(shí)，都不可能使得 成立。故此級(jí)數(shù)在區(qū)間上非一致收斂。 根據(jù)定義判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂往往比較麻煩和困難，下面我們介紹一個(gè)判別函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂的簡(jiǎn)單的判定性質(zhì)。定理1 維爾斯特拉斯判別法（Weierstrass）設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間I上滿足下列條件：（1）（2）級(jí)數(shù)收斂。則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間I上一致收斂。證明從略。例5 證明級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)一致收斂。證 因?yàn)閷?duì)，有，而是收斂的，由定理1可得：級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)一致收斂。例6 證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致

19、收斂。證 因?yàn)?所以 ，故對(duì)和自然數(shù)，有 ，而級(jí)數(shù)收斂，由定理1可得，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂。讀者可以自行證明下結(jié)論，若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 在區(qū)間上一致收斂。下面給出一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)，我們不加證明，希望大家會(huì)用就行。定理2 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足下列條件：（1）每一項(xiàng)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)；（2）級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)一致收斂于；則和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)。定理3 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足下列條件：（1）每一項(xiàng)在區(qū)間上連續(xù)；（2）且在區(qū)間上一致收斂于；則其和函數(shù)在區(qū)間上可積，且，上式右端在區(qū)間也一致收斂。定理4設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足下列條件:（1）在區(qū)間內(nèi)收斂于;（2）每一項(xiàng)在區(qū)間內(nèi)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)；(3)在內(nèi)一致

20、收斂;則級(jí)數(shù)在內(nèi)一致收斂,其和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)也存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，有三、冪級(jí)數(shù) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中形式最簡(jiǎn)單、應(yīng)用最廣泛的一類級(jí)數(shù)就是所謂以下要講的冪級(jí)數(shù)，在這里只介紹冪級(jí)數(shù)的最基本的概念、最基本的性質(zhì)及應(yīng)用。定義4 形如： （3）的級(jí)數(shù)，稱為冪級(jí)數(shù)。 當(dāng)時(shí)，（3）式成為 （4）冪級(jí)數(shù)其實(shí)是可以看作多項(xiàng)式函數(shù)的一個(gè)推廣，它的重要性在于：一個(gè)收斂的冪級(jí)數(shù),其和函數(shù)可能很復(fù)雜,但其部分和函數(shù)是的多項(xiàng)式,所以我們就可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)-多項(xiàng)式來(lái)逼近一個(gè)復(fù)印的函數(shù),且可以逼近到任意精確的程度。定理5 (Abel定理) 設(shè)冪級(jí)數(shù),(1)若在處,級(jí)數(shù)收斂，則它在區(qū)間內(nèi)絕對(duì)收斂； （2）若在處,級(jí)數(shù)發(fā)散，則它在滿足不

21、等式的任意一點(diǎn)處，級(jí)數(shù)發(fā)散。證明 (1)因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂,所以,則使得 ,當(dāng)時(shí),有 而,所以等比級(jí)數(shù)收斂,故級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)絕對(duì)收斂。（2）用反證法可以證明。必須注意的是：（1）冪級(jí)數(shù)（4）在點(diǎn)收斂（或發(fā)散），不一定保證在處收斂（或發(fā)散）。（2）冪冪級(jí)數(shù)（4）在點(diǎn)總是收斂的，在其它點(diǎn)可能收斂，也可能發(fā)散，但根據(jù)定理6，冪冪級(jí)數(shù)（4）的收斂域有且僅有下列三種情況：、僅在點(diǎn)收斂，在任何非零點(diǎn)都發(fā)散。例6 級(jí)數(shù)解 當(dāng)時(shí)，只要，即時(shí)，便有，當(dāng)時(shí)，有，故級(jí)數(shù)發(fā)散。 、在區(qū)間內(nèi)均收斂。例7 級(jí)數(shù)解 當(dāng)時(shí)，顯然收斂， 當(dāng)時(shí)，因所以，級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)均收斂。、存在一個(gè)正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)，發(fā)散；當(dāng)時(shí)，可能收斂

22、也可能發(fā)散。例8 級(jí)數(shù)解 當(dāng)時(shí)，是萊布尼茲級(jí)數(shù)，所以收斂，由定理5可得，級(jí)數(shù)在內(nèi)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)變?yōu)槭钦{(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散。故級(jí)數(shù)的收斂域是。由此可以得到冪級(jí)數(shù)（4）的收斂域是以原點(diǎn)為中心的一個(gè)對(duì)稱區(qū)間（區(qū)間的端點(diǎn)可能在內(nèi)，也可能不在內(nèi)），收斂點(diǎn)和發(fā)散點(diǎn)不可能交錯(cuò)地落在同一區(qū)間內(nèi)，因此收斂區(qū)間與發(fā)散區(qū)間的分界點(diǎn)總是存在的，稱R為冪級(jí)數(shù)的收斂半經(jīng)。于是得到如下兩個(gè)定理。定理6 對(duì)任意一個(gè)冪級(jí)數(shù)（4），除去只有在處收斂與在任一點(diǎn)收斂外，都有一個(gè)收斂半經(jīng)，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)（4）發(fā)散；當(dāng)時(shí)，可能收斂也可能發(fā)散。定理7 設(shè)級(jí)數(shù)，且則（1）若 收斂半經(jīng) （2）若 收斂半經(jīng) （3）若 收斂半經(jīng)

23、證明從略。例7 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半經(jīng)及收斂域。（1） （2）（3） （4）解 （1）因所以收斂半經(jīng)為，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為是萊布尼茲級(jí)數(shù)，所以收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為是發(fā)散的。故 原級(jí)數(shù)的收斂域是 （2）因所以，收斂半經(jīng)為；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為是萊布尼茲級(jí)數(shù)，所以收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為發(fā)散；故 級(jí)數(shù)的收斂域是 （3）因所以，收斂半經(jīng)，級(jí)數(shù)只在點(diǎn)收斂。 （4）因級(jí)數(shù)不是標(biāo)準(zhǔn)形式，所以我們可以把它先轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)形式（4）令，則 原級(jí)數(shù)就變?yōu)?；先求的收斂半?jīng)及收斂域。又因，所以，收斂半經(jīng)為，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為，是收斂的，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為是萊布尼茲級(jí)數(shù)，收斂。所以級(jí)數(shù)的收斂域是，因?yàn)?，所?dāng)時(shí)，有，可得，故 原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)樗?/p>

24、、冪級(jí)數(shù)的一些性質(zhì)（一）、一致收斂性設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半經(jīng)為，則它在內(nèi)一定絕對(duì)收斂，但不一定一致收斂。如幾何級(jí)數(shù)，在內(nèi)絕對(duì)收斂，但級(jí)數(shù)的余和為對(duì)于不論多么大的，當(dāng)時(shí)，總有，因此這個(gè)幾何級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)不一定一致收斂。關(guān)于冪級(jí)數(shù)的一致收斂有以下結(jié)論。定理8 （Abel第二定理）冪級(jí)數(shù)（4）在它的收斂區(qū)間以內(nèi)的任何一個(gè)閉區(qū)間上一致收斂；若冪級(jí)數(shù)（4）在處收斂，則它在上一致收斂。（二）冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)定理9 設(shè)兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半經(jīng)分別為,且,那么兩個(gè)級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)均絕對(duì)收斂；則兩個(gè)級(jí)數(shù)滿足如下四則運(yùn)算：（1），在內(nèi)絕對(duì)收斂。（2）= = +上式稱為冪級(jí)數(shù)的柯西乘積，在區(qū)間內(nèi)絕對(duì)收斂。（3）這時(shí)設(shè)，商級(jí)數(shù)的收斂

25、半經(jīng)比原來(lái)兩個(gè)級(jí)數(shù)的公共收斂半經(jīng)要小得多。以下給出冪級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)：定理10 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)處都是連續(xù)的；并且若冪級(jí)數(shù)在端點(diǎn)（或）處也收斂，則和函數(shù)在處左連續(xù)（或處右連續(xù)）。定理11 設(shè)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收斂于和函數(shù),則在內(nèi)任意一點(diǎn)可導(dǎo),并且項(xiàng)可微，即：且求導(dǎo)后所得的級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相同的收斂半經(jīng)。定理12 若級(jí)數(shù)的收斂半經(jīng)為，則其和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)處具有任意階導(dǎo)數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)就是級(jí)數(shù)項(xiàng)微分次后所得的級(jí)數(shù)的和，即： 而且對(duì)于任何，其收斂半經(jīng)為。定理13 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)是可積的，并且項(xiàng)可積；即： 其中，積分所得的級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)具有相同的收斂半經(jīng)。注意：（1）對(duì)

26、于冪級(jí)數(shù)，若收斂半經(jīng)為，那么它在收斂區(qū)間內(nèi)具有冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的上述一切性質(zhì)。 （2）冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)項(xiàng)求導(dǎo)和項(xiàng)積分所得的新級(jí)數(shù)，雖然收斂半經(jīng)沒(méi)變，但在區(qū)間端點(diǎn)的斂散性需要另須討論。第五節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)一、泰勒級(jí)數(shù) 上節(jié)我們知道冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)具有分析性質(zhì)，冪級(jí)數(shù)作為研究函數(shù)的一個(gè)有效工具，它表現(xiàn)在兩個(gè)方面：（1）一個(gè)冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)可以表達(dá)一個(gè)函數(shù)；（2）對(duì)于任意一個(gè)給定的函數(shù)，能否用一個(gè)冪級(jí)數(shù)來(lái)表示它呢？也即是說(shuō)，能不能找到一個(gè)冪級(jí)數(shù)，它在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂，其和函數(shù)正好就是所給的。如果能這樣的話，這給我們研究函數(shù)的性態(tài)帶來(lái)了方便。首先假定函數(shù)能表示成冪級(jí)數(shù)，討論必須具備什么樣的條件以及冪級(jí)數(shù)的系數(shù)與應(yīng)具有什么樣的關(guān)系？定理1 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)能展開(kāi)冪級(jí)數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在任意階導(dǎo)數(shù)，且 證 由上節(jié)定理12可得： ，令可得： ，即 ，當(dāng)時(shí)，有注意：（1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)能展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，則其冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是唯一的，即若與則一定有：（2）若函數(shù)在點(diǎn)處具有任意階導(dǎo)數(shù)，那么不論是否能在的某個(gè)鄰域內(nèi)表示成的冪級(jí)數(shù)，總可以作出形為 （*）的冪級(jí)數(shù)的形式。定義1 若函數(shù)在點(diǎn)處具有任意階導(dǎo)數(shù)，則級(jí)數(shù)稱為在的泰勒（Taylor）級(jí)數(shù)，記作其系數(shù)稱為泰勒系數(shù)。當(dāng)時(shí)，（*）式就成為 （*）稱（*）為函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)。即 在定義1中采用了記號(hào)“”，是說(shuō)明函數(shù)雖然在點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù)，我們可以