基本初等函數(shù)圖像及性質(zhì)_第1頁(yè)
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1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)六大基本初等函數(shù)圖像及其性質(zhì)一、常值函數(shù)(也稱(chēng)常數(shù)函數(shù))y =C (其中 C 為常數(shù));常數(shù)函數(shù)( yC )C0yyCy0xO平行于 x 軸的直線定義域 R二、冪函數(shù) y x, x 是自變量,是常數(shù);y11. 冪函數(shù)的圖像 :y x2y x2y x1O2. 冪函數(shù)的性質(zhì) ;性質(zhì)yxyx2yx3函數(shù)定義域RRR值域R0,+ )R奇偶性奇偶奇單調(diào)性增0,+ )增增(- ,0減C0yOy 軸本身定義域 Ryxyx3xy1x 20,+ )0,+ )非奇非偶增xyx 1x|x 0y|y 0奇(0,+ )減(- ,0)減公共點(diǎn)(1,1 )文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)1)當(dāng)為正整數(shù)時(shí),函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間為x ( ,

2、) ,他們的圖形都經(jīng)過(guò)原點(diǎn),并當(dāng)>1 時(shí)在原點(diǎn)處與 x 軸相切。且為奇數(shù)時(shí),圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);為偶數(shù)時(shí)圖形關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng);2)當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí)。函數(shù)的定義域?yàn)槌=0 的所有實(shí)數(shù);3)當(dāng)為正有理數(shù)m 時(shí), n 為偶數(shù)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋?, + ), n 為奇數(shù)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋?-n ,+ ),函數(shù)的圖形均經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和(1,1 );4)如果 m>n圖形于 x 軸相切,如果m<n,圖形于 y 軸相切,且 m為偶數(shù)時(shí),還跟 y 軸對(duì)稱(chēng); m,n 均為奇數(shù)時(shí),跟原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);5)當(dāng)為負(fù)有理數(shù)時(shí),n 為偶數(shù)時(shí),函數(shù)的定義域?yàn)榇笥诹愕囊磺袑?shí)數(shù);n 為奇數(shù)時(shí),定義域?yàn)槿コ?x=0 以外的一切實(shí)數(shù)

3、。三、指數(shù)函數(shù) yax ( x 是自變量 , a 是常數(shù)且 a0 , a1 ) ,定義域是 R ; 無(wú)界函數(shù) 1. 指數(shù)函數(shù)的圖象 :ya xyyyax(a 1)(0 a1)(0,1)y 1(0,1)y 1OxOx2. 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) ;性質(zhì)y a x (a 1)y ax (0 a 1)函數(shù)定義域R值域(0 ,+)奇偶性非奇非偶公共點(diǎn)過(guò)點(diǎn) (0 ,1) ,即 x0 時(shí), y1單調(diào)性在(,)是增函數(shù)(,)在是減函數(shù)1 ) 當(dāng) a1時(shí) 函 數(shù) 為 單 調(diào) 增 , 當(dāng) 0 a1時(shí)函數(shù)為單調(diào)減;2 ) 不 論 x 為 何 值 ,y 總 是 正 的 , 圖 形 在 x 軸 上 方 ;3 ) 當(dāng) x0 時(shí)

4、 , y1,所以它的圖形通過(guò)(0,1) 點(diǎn)。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)3. (選,補(bǔ)充)指數(shù)函數(shù)值的大小比較a N *;yxx1a. 底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)f (x) af (x)af (x) ax1, f ( x)ax(0,1)的函數(shù)圖像關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng)。Oxh( x)3xyf (x) 2xb.1. 當(dāng) a 1時(shí), a 值越大, y ax(0,1)的圖像越靠近 y 軸;Oxg( x)yx131xq(x)2b.2. 當(dāng) 0a 1時(shí), a 值越大, y ax(0,1)的圖像越遠(yuǎn)離 y 軸。O4. 指數(shù)的運(yùn)算法則(公式);a. 整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)( a0, m, nb. 根式的性質(zhì);Q ) ;nn a當(dāng) n

5、 為奇數(shù)時(shí), n anaamanamn(1)a; (2)(1)當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí), na na(a0)(2)ama nam naa(a0)nc. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪;(3)amanmanma nn am(a0, m, n Z * , n1)(1)mnn nm11*aba b(4)(2)a nmnam(a 0, m, nZ, n 1)a n文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)四、對(duì)數(shù)函數(shù)ylog a x ( a 是常數(shù)且 a0, a1) ,定義域 x(0,) 無(wú)界 1. 對(duì)數(shù)的概念:如果 a(a 0, a 1) 的 b 次冪等于 N,就是abN ,那么數(shù) b 叫做以 a 為底 N 的對(duì)數(shù),記作 loga Nb , 其中 a 叫做

6、對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù),式子log a N 叫做對(duì)數(shù)式。對(duì)數(shù)函數(shù) yloga x 與指數(shù)函數(shù) ya x 互為反函數(shù),所以ylog a x 的圖象與 ya x 的圖象關(guān)于直線 yx 對(duì)稱(chēng)。2. 常用對(duì)數(shù):log10 N 的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù),為了簡(jiǎn)便,N的常用對(duì)數(shù)記作lg N 。3. 自然對(duì)數(shù): 使用以無(wú)理數(shù)e2.7182 為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù),為了簡(jiǎn)便,N 的自然對(duì)數(shù) log e N 簡(jiǎn)記作 ln N 。4. 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象:yOx1yylog a x (a1)(1,0)xOx 1(1,0)x5. 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì) ;yloga x (0 a 1)性質(zhì)ylog a xyloga x函數(shù)(a 1)

7、(0a 1)定義域(0 ,+)值域R奇偶性非奇非偶公共點(diǎn)過(guò)點(diǎn) (1 , 0) ,即 x1時(shí), y0單調(diào)性在 (0,+ ) 上是增函數(shù)在 (0,+ ) 上是減函數(shù)1)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形為于y 軸的右方,并過(guò)點(diǎn)(1,0) ;2)當(dāng) a1 時(shí),在區(qū)間(0,1) , y 的值為負(fù),圖形位于 x 的下方;在區(qū)間 (1,+) ,y 值為正,圖形位于x 軸上方,在定義域是單調(diào)增函數(shù)。a 1 在實(shí)際中很少用到。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)6. (選,補(bǔ)充)對(duì)數(shù)函數(shù)值的大小比較a N *;yyloga xa. 底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)y log a x , y log 1 x(1,0)aOx的函數(shù)圖像關(guān)于x 軸對(duì)稱(chēng)。yf ( x

8、)log2xylog 1 xaf ( x)log3 xb.1. 當(dāng) a1時(shí), a 值越大, f (x) log a xx 軸;的圖像越靠近O(1,0)xyb.2. 當(dāng) (0a 1) 時(shí), a 值越大, f ( x) loga x(1,0)xO的圖像越遠(yuǎn)離x 軸。f ( x) log 1x37. 對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則(公式);a. 如果 a 0, a1, M 0, N 0,那么:loga MNloga Mlog a NMlog a Nlog a Mloga Nlog a M nn log a Mb. 對(duì)數(shù)恒等式:alog a NN (a0且a1,N0)f ( x)log 1 x2c. 換底公式:(1)

9、 log b Nlog a N0,a 1,一般常常( alog a b換為 e或 10 為底的對(duì)數(shù) , 即 logb Nln N或ln blog b Nlg N)lg b(2) 由公式和運(yùn)算性質(zhì)推倒的結(jié)論:nnloga m bloga bd. 對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(1)1 的對(duì)數(shù)是零,即log a 10 ;同理 ln 10或 lg 1 0(2) 底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1,即log aa 1;同理 ln e 1 或 lg 10 1文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)五、三角函數(shù)1. 正弦函數(shù) ysin x , 有界函數(shù),定義域x ( , ) ,值域 y 1, 1圖象:五點(diǎn)作圖法:0, 3, 2222. 余弦函數(shù) y cos x,有界函

10、數(shù),定義域x ( , ) ,值域 y 1, 1圖象:五點(diǎn)作圖法:0, 3, 2223. 正、余弦函數(shù)的性質(zhì);性質(zhì)y sin x ( k Z )ycos x (kZ )函數(shù)定義域R值域-1,1-1,1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)周期性T2T2對(duì)稱(chēng)中心( k,0)(k,0)2對(duì)稱(chēng)軸xk2(k,0)2在 x2k,2k2上是增函數(shù)在 x2k,2k 上是增函數(shù)2單調(diào)性在 x2k,2k3上是減函數(shù)在 x2k,2k上是減函數(shù)22x2k2時(shí), ymax1x2k 時(shí), ymax1最值x2k時(shí), ymin1x2k時(shí), ymin12文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)4. 正切函數(shù) ytan x ,無(wú)界函數(shù),定義域 x x k,( k Z) ,值域

11、 y ( , )y2x523O325222222ytan x 的圖像5. 余切函數(shù)ycot x ,無(wú)界函數(shù),定義域x xk , kZ , y(,)yx3523O3253222222ycot x 的圖像6. 正、余切函數(shù)的性質(zhì);性質(zhì)ytan x ( k Z )ycot x (k Z )函數(shù)定義域x k2xk值域RR奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)周期性TT單調(diào)性在 (k ,k) 上都是增函數(shù)在 (k ,( k1) 上都是減函數(shù)22對(duì)稱(chēng)中心( k,0)( k,0)22零點(diǎn)(k,0)(k,0)2文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)7. 正割函數(shù) ysecx ,無(wú)界函數(shù),定義域 x x k, (k Z ) ,值域 secx 1y21223

12、53O35x222-1222ysecx 的圖像8. 余割函數(shù) y cscx1x x k , (k Z ) ,值域 cscx 1,無(wú)界函數(shù),定義域sin xy513222323O25x2-122ycsc x 的圖像9. 正、余割函數(shù)的性質(zhì);性質(zhì)ysec x (kZ )ycsc x ( kZ )函數(shù)定義域x xkx xk2值域(, 1 1,)(, 11,)奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)周期性T2T2(2k,2k)(2k,2k3 )(2k ,2k)(2k3,2k2 ) 減22223單調(diào)性減(2k,2k)( 2k,2k)(2k,2k)( 2k,2k) 增22增22文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)續(xù)表:性質(zhì)ysec x (k Z )y

13、 csc x (k Z )函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心(k,0)(k,0)2對(duì)稱(chēng)軸xkxk2漸近線xkxk2六、反三角函數(shù)1. 反正弦函數(shù)yarcsin x ,無(wú)界函數(shù),定義域-1,1,值域 0,A. 反正弦函數(shù)的概念:正弦函數(shù)ysin x 在區(qū)間,上的反函數(shù)稱(chēng)為反正弦函數(shù),記為22yarcsin x2. 反余弦弦函數(shù) yarccos x ,無(wú)界函數(shù),定義域 -1,1,值域 0, B. 反余弦函數(shù)的概念:余弦函數(shù)ycos x 在區(qū)間0,上的反函數(shù)稱(chēng)為反余弦函數(shù),記為yarccos xyy2-12O1x2O1x-1y arcsin x 的圖像y arccos x 的圖像3. 反正、余弦函數(shù)的性質(zhì);性質(zhì)函數(shù)yar

14、csin xyarccos x定義域-1,1-1,1值域0, 0, 奇偶性奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)4. 反正切函數(shù)yarctan x ,有界函數(shù),定義域x(,) , 值域,22C. 反正切函數(shù)的概念:正切函數(shù)ytan x 在區(qū)間,上的反函數(shù)稱(chēng)為反正切函數(shù),記為22yarctan x5. 反余切函數(shù)yarc cot x ,有界函數(shù),定義域x(,) , 值域0,D. 反余切函數(shù)的概念:余切函數(shù)ycot x 在區(qū)間0,上的反函數(shù)稱(chēng)為反余切函數(shù),記為yarc cot xyy2Ox22Oxy arctan x 的圖像y arc cot x 的圖像6. 反正、余弦函數(shù)的性質(zhì);函數(shù)性

15、質(zhì)yarctan xyarc cot x定義域R值域,0,22奇偶性奇函數(shù)非奇非偶單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)三角函數(shù)公式匯總一、任意角的三角函數(shù)在角正弦:正切:正割:的終邊上任取 一點(diǎn) P( x, y) ,記: rx2y2 。yxsin余弦: cosrryxtan余切: cotxyrrsec余割: cscxy二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系: sincsc1 , cossec1, tancot1商數(shù)關(guān)系: tansincoscos, cotsin平方關(guān)系: sin 2cos21, 1 tan2sec2, 1 cot2csc2三、誘導(dǎo)公式x 軸上的角,口訣:函數(shù)名不變,符號(hào)看象限;y 軸

16、上的角,口訣:函數(shù)名改變,符號(hào)看象限。四、和角公式和差角公式sin()sincoscossin)tantantan(tantansin()sincoscossin1cos()coscossinsin)tantantan(cos()coscossinsin1tantan五、二倍角公式sin 22sin costan 22 tan1tan2cos2cos2sin 22cos211 2sin2二倍角的余弦公式常用變形:(規(guī)律:降冪擴(kuò)角,升冪縮角)1cos22 cos21cos22sin 21sin 2(sincos)21sin 2(sincos )2文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)cos21 cos2, sin 21sin 2, tan1cos21sin 222sin 2cos 2六、三倍角公式sin 33sin4 sin34 sinsin()sin()33cos34 cos3 3 cos4 coscos(3) cos()tan33tan 33 tantantan() tan()13 tan233七、和差化積公式sinsin2sincoscoscos2coscos2222sinsin2 cossincoscos2sinsin2222八、輔助角公式a sin x b cos xa 2b 2 sin( x)其中:角的終邊所在的象限與

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