概率論與數(shù)理統(tǒng)計(經(jīng)管類)第七章課后習(xí)題答案word

1、習(xí)題7.11. 設(shè)總體X服從指數(shù)分布fx;=e-x, x0,>0;0, x<0. 試求的極大似然估計.若某電子元件的使用壽命服從該指數(shù)分布,現(xiàn)隨機抽取18個電子元件,測得壽命數(shù)據(jù)如下(單位:小時):16,19,50,68,100,130,140,270,280,340,410,450,520,620,190,210,800,1100.求的估計值.解:似然函數(shù)為L=i=1ne-xi=ne-i=1nxilnL=nln-i=1nxi令d lnLd=n-i=1nxi=0得=ni=1nxi=1x=1118(16+19+,1100)=13182. 設(shè)總體X的概率密度為fx=x-1, 0<

2、x<1;0, 其他. >0試求(1) 的矩估計1; 2的極大似然估計2.解:(1) EX=-+xfxdx=01xx-1dx=01xdx=+1EX=x=+1的矩估計1=x1-x(2)似然函數(shù)為L=i=1nxi-1=n(x1,x2,xn)-1lnL=nln+-1lnx1+lnx2,lnxn=nln+-1i=1nlnxi令d lnLd=n+i=1nxi=0解得2=-ni=1nxi3. 設(shè)總體X服從參數(shù)為>0的泊松分布,試求的矩估計1和極大似然估計2.(可參考例7-8)解: 由X服從參數(shù)為的泊松分布 E(X)=由矩法,應(yīng)有x=1=x似然函數(shù)為L=i=1nixie-=xix1!x2!x

3、n!e-nlnL=xiln-n-ln(x1!x2!xn!)d lnLd=xi-n=0解得的極大似然估計為2=1ni=1nxi=X習(xí)題7.21. 證明樣本均值x是總體均值的相合估計.證: Ex=,Dx=2n0(n)由定理7-1知x是的相合估計.2. 證明樣本的k階矩Ak=1ni=1nxik是總體k階矩Exk的相合估計量.證: EAk=E1ni=1nxik=Exk, DAk=D1ni=1nxik=1n2i=1nD(xik)0(n0)Ak=1ni=1nxik是Exk的相合估計.3. 設(shè)總體XN,1,-<<,x1,x2,x3為其樣品.試證下述三個估計量:(1) 1=15x1+310x2+1

4、2x3;(2) 2=13x1+14x2+512x3;(3) 3=13x1+16x2+12x3都是的無偏估計,并求出每一估計量的方差,問哪個方差最小?證: E1=15E(x1)+310Ex2+12Ex3=15+310+12=E2=13E(x1)+14Ex2+512Ex3=13+14+512=E3=13E(x1)+16Ex2+12Ex3=13+16+12=1,2,3都是的無偏估計.D1=125D(x1)+9100Dx2+14Dx3=125+9100+14=1950D2=19D(x1)+116Dx2+25144Dx3=19+116+25144=2572D3=19D(x1)+136Dx2+14Dx3=

5、19+136+14=718故2的方差最小.4. 設(shè)總體Xu,2,其中>0是未知參數(shù),又x1,x2,xn為取自該總體的樣品,x為樣品均值.(1) 證明=23x是參數(shù)的無偏估計和相合估計;(2) 求的極大似然估計.(1) 證: E=E23x=23Ex=23*32=23x是參數(shù)的無偏估計又D=D23x=49Dx=49*212n=227n0(n)=23x是參數(shù)的相合估計.(2) Xu,2故其分布密度為fx=1, 0x2 (>0)0, 其他 似然函數(shù)L=1n, 0xi2 (i=1,2,n)0, 其他 因?qū)λ衳i有0xi2 i=1,2,n0maxx1,x2,xn2習(xí)題7.31. 土木結(jié)構(gòu)實驗

6、室對一批建筑材料進行抗斷強度試驗.已知這批材料的抗斷強度XN,0.22.現(xiàn)從中抽取容量為6的樣本測得樣本觀測值并算的x=8.54,求的置信度0.9的置信區(qū)間.解:=1-0.9=0.1,u0.05=1.64置信度為0.9的置信區(qū)間是x-u2n,x+u2n=8.54-1.64*0.26,8.54+1.64*0.268.41,8.672. 設(shè)輪胎的壽命X服從正態(tài)分布,為估計某種輪胎的平均壽命,隨機地抽取12只輪胎試用,測得它們的壽命(單位:萬千米)如下:4.684.854.324.854.615.025.204.604.584.724.384.7試求平均壽命的0.95的置信區(qū)間.(例7-21, 未知

7、時的置信區(qū)間)解: x=4.7092,S2=0.0615.=1-0.95=0.05,查t分布表知t0.02511=2.2010平均壽命的0.95的置信區(qū)間為:x-t2(n-1)sn,x+t2(n-1)sn=4.7092-2.2010*0.061512,4.7092+2.2010*0.061512=4.5516 , 4.86683. 兩臺車床生產(chǎn)同一種型號的滾珠,已知兩車床生產(chǎn)的滾珠直徑X,Y分別服從N1,12,N2,22,其中i2,i未知i=1,2.現(xiàn)由甲,乙兩車床的產(chǎn)品中分別抽出25個和15個,測得s12=6.38,s22=5.15.求兩總體方差比12/22的置信度0.90的置信區(qū)間.解:此

8、處n1=25, n2=15, s12=6.38, s22=5.15, =1-0.90=0.1,2=0.0512/22的置信度0.90的置信區(qū)間為:s12s221F2n1-1,n2-1,s12s221F1-2n1-1,n2-1=6.385.151F0.0524,14,6.385.151F0.95(24,14)=1.24*12.35,1.24*4. 某工廠生產(chǎn)滾珠,從某日生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取9個,測得直徑(單位:毫米)如下:14.614.715.114.914.815.015.115.214.8設(shè)滾珠直徑服從正態(tài)分布,若(1) 已知滾珠直徑的標準差=0.15毫米;(2) 未知標準差.求直徑均值的置

9、信度0.95的置信區(qū)間.解: (1) x=14.91,=1-0.95=0.05,u0.025=1.96直徑均值的置信度0.95的置信區(qū)間為:x-u2n,x+u2n=14.91-1.96*0.159,14.91+1.96*0.15914.812,15.008(2)x=14.91,S2=0.041,=1-0.95=0.05,t0.0258=2.306置信度0.95的置信區(qū)間為:x-t2(n-1)sn,x+t2(n-1)sn=14.91-2.306*0.0419,14.91+2.306*0.0419=14.754 , 15.0665. 設(shè)燈泡廠生產(chǎn)的一大批燈泡的壽命X服從正態(tài)分布N,2,其中,2未知

10、. 令隨機地抽取16個燈泡進行壽命試驗,測得壽命數(shù)據(jù)如下(單位:小時): 1502148014851511151415271603148015321508149014701520150514851540求該批燈泡平均壽命的置信度0.95的置信區(qū)間.解: x=1509.5,S2=1038.5,=1-0.95=0.05,t0.02515=2.1315置信度0.95的置信區(qū)間為:x-t2(n-1)sn,x+t2(n-1)sn=1509.5-2.1315*1038.516,1509.5+2.1315*1038.516=1492.328 , 1526.6726. 求上題燈泡壽命方差2的置信度0.95的置

11、信區(qū)間.解: S2=1038.5,=1-0.95=0.05,查表知0.025215=27.488,0.975215=6.262置信度0.95的置信區(qū)間為:n-1s222n-1,n-1s21-22n-1=15*1038.527.488,15*1038.56.262=566.702,2487.6247. 某廠生產(chǎn)一批金屬材料,其抗彎強度服從正態(tài)分布.現(xiàn)從這批金屬材料中隨機抽取11個試件,測得它們的抗彎強度為(單位:公斤):42.542.743.042.343.444.544.043.844.143.943.7注意這里是求的置信區(qū)間,結(jié)果要開方.求(1)平均抗彎強度的置信度0.95的置信區(qū)間.(2)

12、抗彎強度標準差的置信度0.90的置信區(qū)間.解: (1) x=43.4,S2=0.5207,=1-0.95=0.05,查表知t0.02510=2.2281置信度0.95的置信區(qū)間為:x-t2(n-1)sn,x+t2(n-1)sn=43.4-2.2281*0.520711,43.4+2.2281*0.520711=42.915,43.885(2) S2=0.5207,=1-0.90=0.1,查表知0.05210=18.307,0.95210=3.9402置信度0.90的置信區(qū)間為:n-1s222n-1,n-1s21-22n-1=10*0.520718.307,10*0.52073.940=0.28

13、4,1.322故的置信度0.90的置信區(qū)間為0.53,1.158. 設(shè)兩個正態(tài)總體N1,2,N2,2中分別取容量為10和12的樣本,兩樣本互相獨立.經(jīng)算得x=20, y=24,又兩樣本的樣本標準差s1=5,s2=6.求1-2的置信度0.95的置信區(qū)間.解:Sw=n1-1s12+n2-1s22n1+n2-2=9*25+11*3610+12-2=5.572=1-0.95=0.05,查表知t0.02520=2.086故1-2的置信度0.95的置信區(qū)間為:x-y-t2n1+n2-21n1+1n1Sw,x-y+t2n1+n2-21n1+1n1Sw=20-24-2.086*110+112*5.572, 2

14、0-24+2.086*110+112*5.572=-8.975,0.9759. 為了估計磷肥對農(nóng)作物增產(chǎn)的作用,現(xiàn)選20塊條件大致相同的土地.10塊不施磷肥,另外10塊施磷肥,得畝產(chǎn)量(單位:公斤)如下:不施磷肥的560590560570580570600550570550施磷肥的620570650600630580570600600580設(shè)不施磷肥畝產(chǎn)和施磷肥畝產(chǎn)均服從正態(tài)分布,其方差相同.試對施磷肥平均畝產(chǎn)與不施磷肥平均畝產(chǎn)之差作區(qū)間估計(=0.05).解: x=570,y=600,Sx2=64009, Sy2=24009=0.05,查表知t0.02518=2.1009Sw=n1-1s12

15、+n2-1s22n1+n2-2=44009=22.11x-y-t2n1+n2-21n1+1n1Sw,x-y+t2n1+n2-21n1+1n1Sw=600-570-2.1009*110+110*22.11,600-570+2.1009*110+110*22.11=9.23,50.7710. 有兩位化驗員A,B獨立地對某種聚合的含氮量用同樣的方法分別進行10次和11次測定,測定的方差分別為s12=0.5419,s22=0.6065.設(shè)A,B兩位化驗員測定值服從正態(tài)分布,其總體方差分別為12,22.求方差比12/22的置信度0.9的置信區(qū)間.解:=1-0.9=0.1,查表知F0.059,10=3.0

16、2, F0.959,10=1F0.0510,9=13.14=0.318故12/22的置信度0.9的置信區(qū)間為:s12s22F2n1-1,n2-1,s12s22F1-2n1-1,n2-1=0.54190.60653.02,0.54190.60650.318=0.295,2.81自測題7一、 填空題設(shè)總體XN,2x1,x2,x3是來自X的樣本,則當(dāng)常數(shù)a=12時,=13x1+ax2+ 16x3是未知參數(shù)的無偏估計.解: =13x1+ax2+ 16x3是未知參數(shù)的無偏估計則E=13Ex1+aEx2+ 16Ex3=13+a+ 16a=12二、 一臺自動車床加工零件長度X(單位:厘米)服從正態(tài)分布N,2

17、.從該車床加工的零件中隨機抽取4個,測得長度分別為:12.6,13.4,12.8,13.2.試求: (1)樣本方差S2;(2)總體方差2的置信度為95%的置信區(qū)間.(附:u0.025=1.96, u0.05=1.645,0.02523=9.348,0.97523=0.216,0.02524=11.143,0.97524=0.484)解: (1) x=12.6+13.4+12.8+13.24=13S2=1n-1i=1nxi-x2=0.43(2)2置信度0.90的置信區(qū)間為:n-1s222n-1,n-1s21-22n-1=3*0.439.348,3*0.430.216=0.04,1.85三、 設(shè)總

18、體XN,2,抽取樣本x1,x2xn,x=1ni=1nxi為樣本均值.(1) 已知=4,x=12,n=144,求的置信度為0.95的置信區(qū)間;(2) 已知=10,問:要使的置信度為0.95的置信區(qū)間長度不超過5,樣本容量n至少應(yīng)取多大?(附u0.025=1.96, u0.05=1.645)解: (1) 的置信度為0.95的置信區(qū)間為:x-u2n,x+u2n=12-1.96*4144,12+1.96*4144=11.347,12.653(2) 的置信度為0.95的置信區(qū)間為x-u2n,x+u2n,故區(qū)間長度為2u2n2u2n5, 解得n61.562四、 某大學(xué)從來自A,B兩市的新生中分別隨機抽取5名與6名新生,測其身高(單位:厘米)后,算的x=175.9,y=172.0;S12=11.3,S22=9.1.假設(shè)兩市新生