遼寧石油化工大學化工自動化及儀表第3章 被控對象特性及數學模型

1、第第3 3章章 被控對象特性與數學模型被控對象特性與數學模型3.1 石油加工對象的特點及其描述方法3.2 對象數學模型的建立3.3 描述對象特性的參數3.1 石油加工對象的特點及其描述方法 在化工自動化中，常見的對象有各類換熱器、精餾塔、流體輸送設備和化學反應器等，此外，在一些輔助系統中，氣源、熱源及動力設備（如空壓機、輔助鍋爐、電動機等）也可能是需要控制的對象。本章著重研究連續(xù)生產過程中各種對象的特性，因此有時也稱研究過程的特性。 所謂研究對象的特性對象的特性，就是用數學的方法來描述出對象輸入量與輸出量之間的關系，這種對象特性的數學描述就稱為對象的數學模型數學模型。 在建立對象數學模型（建模

2、）時，一般將被控變量看作對象的輸出量，也叫輸出變量輸出變量，而將干擾作用和控制作用看作對象的輸入量，也叫輸入變量輸入變量。干擾作用和控制作用都是引起被控變量變化的因素，從控制的角度看，輸入變量就是操縱變量（控制變量）和擾動變量，輸出變量就是被控變量，如圖3-1所示。由對象的輸入變量至輸出變量的信號聯系稱為通道通道，控制作用至被控變量的信號聯系稱為控制通道控制通道；干擾作用至被控變量的信號聯系稱為干擾通道干擾通道。在研究對象特性時，應預先指明對象的輸入量是什么，輸出量是什么，因為對于同一個對象，不同通道的特性可能是不同的。 干擾變量控制變量被控變量圖3-1 對象的輸入輸出量示意圖 工業(yè)過程的數學

3、模型可分為動態(tài)數學模型和靜態(tài)數學模型。動態(tài)數學動態(tài)數學模型模型是表示輸出變量與輸入變量之間隨時間而變化的動態(tài)關系的數學描述。動態(tài)數學模型在對動態(tài)過程的分析和控制中起著舉足輕重的作用，可用于各類自動控制系統的設計和分析，以及工藝設計和操作條件的分析和確定。靜態(tài)數學模型靜態(tài)數學模型是描述輸出變量與輸入變量之間不隨時間而變化的數學關系。 數學模型的表達形式主要有兩大類：一類是非參量形式，稱為非參量模型；另一類是參量形式，稱為參量模型。 1. 非參量模型 當數學模型是采用曲線或數據表格等來表示時，稱為非非參量模型參量模型。 非參量模型可以通過記錄實驗結果來得到，有時也可以通過計算來得到，它的特點是形象

4、、清晰，比較容易看出其定性的特征。但是，由于它們缺乏數學方程的解析性質，要直接利用它們來進行系統的分析和設計往往比較困難，必要時，可以對它們進行一定的數學處理來得到參量模型的形式。 2. 參量模型 當數學模型是采用數學方程式來描述時，稱為參量模型參量模型。 對象的參量模型可以用描述對象輸入、輸出關系的微分方程式、偏微分方程式、狀態(tài)方程、差分方程等形式來表示。 )t ( x)t ( y 對于線性的集中參數對象，通?？捎贸Ｏ禂稻€性微分方程來描述，如果以 表示輸入量，特性可用下列微分方程式來描述 表示輸出量，則對象)t ( x)t ( ya)t (ya)t (ya)t (ya)n(n)n(n0111

5、（3-1） 一個對象如果可以用一個一階微分方程式來描述其特性（通常稱一階對象），則可表示為 )t ( x)t ( ya)t (ya01 （3-2） 或表示成 )t (Kx)t ( y)t (yT（3-3） 式中 01aaT 01aK ，稱為時間常數； ，稱為放大系數。 以上方程式中的系數以及T、K等都可以認為是相應的參量模型中的參量，他們與對象的特性有關，一般需要通過對象的內部機理分析或大量的實驗數據處理才能得到。 3.2 對象數學模型的建立 在工業(yè)控制過程中，建立被控對象的數學模型的目的主要有以下幾種。（1）進行工業(yè)過程優(yōu)化操作。（2）控制系統方案的設計和仿真研究。（3）控制系統的調試和控制

6、器參數的整定。（4）工業(yè)過程的故障檢測與診斷。（5）制訂大型設備啟動和停車操作方案。（6）設計工業(yè)過程操作人員的培訓系統。（7）作為模型預測控制等先進控制方法的數學模型。 3.2.1 機理分析法建模 機理建模機理建模是根據對象或生產過程的內部機理，列寫出各種有關的平衡方程，如物料平衡方程、能量平衡方程、動量平衡方程、相平衡方程以及某些物性方程、設備的特性方程、化學反應定律、電路基本定律等，從而獲取對象（或過程）的數學模型，這類模型通常稱為機理模型。機理法建模的具體步驟如下：（1）根據實際情況確定系統的輸入、輸出以及中間變量，搞清各變量之間的關系；（2）做出合乎實際的假設，以便忽略一些次要因素，

7、使問題簡化；（ 3）根據支配運動特性的基本規(guī)律，列出各部分的原始方程；（4）消去中間變量，寫出只有輸入變量和輸出變量的微分方程；（5）對微分方程進行標準化處理。 1. 一階對象的數學模型 下面通過一些簡單的例子來討論一階對象及積分對象機理建模的方法。 1）水槽對象 圖3-2是一個水槽，水經過閥門1不斷地流入水槽，水槽內的水又通過閥門2不斷流出。工藝上要求水槽的液位h保持一定數值。hA1Q2Q12圖3-2 水槽對象示意圖 水槽就是被控對象，液位h就是被控變量。如果閥門2的開度保持不變，而閥門1的開度變化是引起液位變化的干擾因素，那么，這里所指的對象特性，就是指當閥門1的開度變化時，液位h是如何變

8、化的。在這種情況下，對象的輸入量是流入水槽的流量Q1，對象的輸出量是液位h。下面推導表征h與Q1之間的關系的數學表達式。 1Q2Q以圖3-2的水槽對象為例，截面積為A的水槽，當流入等于流出水槽的流量狀態(tài),即靜態(tài)，這時液位h保持不變。 水槽的流量時，系統處于平衡、1Q2Q在用微分方程式來描述對象特性時，往往著眼于、h都代表他們偏離初始一些量的變化，而不注重這些量的初始值，所以下面在推導方程的過程中，假定平衡狀態(tài)的變化值。 1Q2Q 如果在很短一段時間dt內，由于不等于變化了dh，此時，流入和流出水槽的水量之差為 ，引起液位dtdhAQQ21（3-4） 2Q2R假定是允許的），可以近似認為阻力系數

9、成反比，用式子表示為 如果考慮變化量很微?。ㄓ捎谠谧詣涌刂葡到y中，各個變量都是在它們的額定值附近做微小的波動，因此做這樣的與h成正比，與出水閥的22RhQ (3-5) 將此關系式代入式（3-4），移項整理后可得 122QRhdtdhAR(3-6) 2ART 2RK 令，代入式（3-6），便有 1KQhdtdhT (3-7) 這就是用來描述簡單的水槽對象特性的微分方程式。它是一階常系數微分方程式，式中T稱時間常數，K稱放大系數。 2）直接蒸汽加熱器 圖3-3 直接蒸汽加熱器示意圖熱流體冷流體TC、GCTa蒸汽WTa圖3-3所示為直接蒸汽加熱器，它是cT的冷流體用 將溫度為蒸汽直接加熱，以獲得溫度

10、為 的熱流體的簡單換熱對象。 aTcG。W其中冷流體的流量為，蒸汽流量為確定輸出變量（被控變量）為 ;aT輸入變量為蒸汽流量 、W冷流體的流量 、cG冷流體溫度 、cT環(huán)境溫度等，它們的變化都會引起 aT的變化。 W、cG選擇變量，其余量如、環(huán)境溫度等作為操縱cT均作為干擾變量。 、cGcT 假設加熱器內溫度是均勻的；加熱器的散熱量很小，可忽略不計；蒸汽噴管和加熱器的熱容很小，忽略不計； 變化不大，近似為常數。 作為一個加熱過程，遵循能量守恒定律即單位時間內進入加熱器的能量=單位時間帶出加熱器的能量+ 單位時間加熱器內能量的變化量 可以分為如下兩種情況： （1）當加熱器內單位時間能量變化為零時

11、，即所謂靜態(tài)情況下， 這時 aT保持不變，有下式： 1QQQQasc (3-8) 式中 單位時間冷流體帶入的熱量； 單位時間蒸汽帶入的熱量； 單位時間熱流體帶出的熱量； 單位時間加熱器散失的熱量。 cQsQaQ1Q根據假設，可令 01Q，于是有： ascQQQ（3-9） 可以得到系統輸入輸出變量在穩(wěn)態(tài)時的關系式：aaacccTcGWHTcG式中 蒸汽熱焓，為常數； H液體比熱容，近似為常數，下面統一用、ccac c表示。 由于熱流體的流量 WGGca，一般所用 W較小，可近似為 caGG ，由此可得 WcGHTTaca （3-11） 該式描述了在靜態(tài)情況下被控對象加熱器的工藝參數 、aT、cT

12、、WaG之間的關系，它是系統的靜態(tài)（穩(wěn)態(tài)）數學模型。 （2）一般從控制角度來說，靜態(tài)是相對的，我們更多的是要研究系統的動態(tài)數學模型，即加熱器內單位時間能量變化量不為零，有下式： 1ascQQQdtdU (3-12) 式中 加熱器中聚集的熱量， U；acTVU加熱器的有效容積； V流體的密度； 一常數，用C表示，即 cVdtdTCdtdTcVdtdUaa (3-13) 因為 ,ccccTGQ ,WHQsaaacTGQ ，代入式（3-12）有 aaccacTGWHcTGdtdTT（3-14） 令 ,1RcGc,RCT HRK ，則有 KWTTdtdTTcaa（3-15） 令 0cT，得控制通道的數

13、學模型； W=0，得調節(jié)通道的數學模型。 2. 積分對象的數學模型 當對象的輸出參數與輸入參數對時間的積分成比例關系時，稱為積分對象。 圖3-4所示的液體貯槽，就具有積分特性。因為貯槽中的液體由正位移泵抽出，因而從貯槽中流出的液體流量Q2將是常數，它的變化量為零。因此，液位h的變化就只與流入量的變化有關，如果以h、Q1分別表示液位和流入量的變化量，那么就有 A1Q2Qh圖3-4 積分對象示意圖1QdtdhA（3-16） 式中 A貯槽橫截面積。 對式（3-16）積分，可得 dtQAh11 (3-17) 這說明圖3-4所示貯槽具有積分特性。 3.2.2 實驗法建模 所謂對象特性的實驗測取法實驗測取

14、法，就是在所要研究的對象上，加上一個人為的輸入作用（輸入量），然后，用儀表測取并記錄表征對象特性的物理量（輸出量）隨時間變化的規(guī)律，得到一系列實驗數據（或曲線）。這些數據或曲線就可以用來表示對象的特性。這種應用對象的輸入輸出的實測數據來決定其模型的結構和參數，通常稱為系統辨識系統辨識。它的主要特點就把被研究的對象視為一個黑匣子，完全從外部特性上來測試和描述它的動態(tài)特性，因此不需要深入了解其內部機理，特別是對于一些復雜的對象，實驗建模比機理建模要簡單和省力。 對象特性的實驗測取法有很多種，這些方法往往是以所加輸入形式的不同來區(qū)分的 。1. 階躍響應曲線法 所謂測取對象的階躍響應曲線，就是用實驗的

15、方法測取對象在階躍輸入作用下，輸出量y隨時間的變化規(guī)律。 圖3-5 水槽的階躍響曲線舉例舉例簡單水槽的動態(tài)特性簡單水槽的動態(tài)特性優(yōu)點優(yōu)點簡單缺點缺點穩(wěn)定時間長測試精度受限2. 矩形脈沖法 當對象處于穩(wěn)定工況下，在時間t0突然加一階躍干擾，幅值為C，到t1時突然除去階躍干擾，這時測得的輸出量y隨時間的變化規(guī)律，稱為對象的矩形脈沖特性，而這種形式的干擾稱為矩形脈沖干擾。如圖3-6所示 圖3-6 矩形脈沖特性曲線0t0tttxCy1t 矩形脈沖波信號 正弦信號 機理建模與實驗建模各有其特點，目前一種比較實用的方法是將兩者結合起來，稱為混合建模（也稱半測試建模）。這種建模的途徑是先由機理分析的方法提供

16、數學模型的結構形式，然后對其中某些未知的或不確定的參數利用實測的方法給予確定。這種在已知模型結構的基礎上，通過實測數據來確定其中的某些參數，稱為參數估計。 3.2.3 混合法建模3.3描述對象特性的參數 當對象的輸入量變化后，輸出量究竟是如何變化的呢？這就是要研究的問題。顯然，對象輸出量的變化情況與輸入量的形式有關。為了使問題比較簡單起見，下面假定對象的輸入量是具有一定幅值的階躍作用。 前面已經講過，對象的特性可以通過其數學模型來描述，但是為了研究問題方便起見，在實際工作中，常用下面三個物理量來表示對象的特性。這些物理量，稱為對象的特性參數對象的特性參數。3.3.1放大系數K 對于如圖3-2所

17、示的簡單水槽對象，當流入流量Q1有一定的階躍變化后，液位h也會有相應的變化，但最后會穩(wěn)定在某一數值上。如果我們將流量Q1的變化看作對象的輸入，而液位h的變化看作對象的輸出，那么在穩(wěn)定狀態(tài)時，對象一定的輸入就對應著一定的輸出，這種特性稱為對象的對象的靜態(tài)特性靜態(tài)特性。 假定Q1的變化量用Q1表示，h的變化量用h表示。在一定的Q1下，h的變化情況如圖3-7所示。在重新達到穩(wěn)定狀態(tài)后，一定的Q1對應著一定的h值。令K等于h與Q1之比，用數學關系式表示，即 1QhK (3-18) K在數值上等于對象重新穩(wěn)定后的輸出變化量與輸入變化量之比。它的意義也可以這樣來理解：如果有一定的輸入變化量Q1，通過對象就

18、被放大了K倍變?yōu)檩敵鲎兓縣，則稱K為對象的放大系數。 對象的放大系數K越大，就表示對象的輸入量有一定變化時，對輸出量的影響越大。 3.3.2 時間常數T 從大量的生產實踐中發(fā)現，有的對象受到干擾后，被控變量變化很快，較迅速的達到了穩(wěn)定值；有的對象在受到干擾后，慣性很大，被控變量要經過很長時間才能達到新的穩(wěn)態(tài)值。 hhtt 時間常數越大，表示對象受到干擾作用后，被控變量變化得越慢，到達新的穩(wěn)態(tài)值所需的時間越長。圖3-7 不同時間常數對象的階躍響應曲線 為了進一步理解放大系數K與時間常數T的物理意義，下面結合圖3-2所示的水槽例子，來進一步加以說明。水槽對象階躍響應曲線如圖3-8所示。 tt1Q

19、Ch)( h (a)(b)圖3-8 水槽對象階躍響應曲線舉例舉例簡單水槽為例 由前面的推導可知，簡單水槽的對象特性可由式（3-7）來表示，現重新寫出1KQhdtdhT 假定Q1為階躍作用，t0時Q1=0；t0時Q1=C，如圖3-8（a）所示，為了求得在Q1作用下h的變化規(guī)律，可以對上述微分方程式求解，得 )e(KC)t ( hT/t1 (3-19) 上式就是對象在受到階躍作用Q1=C后，被控變量h隨時間變化的規(guī)律，稱為被控變量過渡過程的函數表達式。根據式（3-19）可以畫出ht曲線，稱為階躍響應曲線，如圖3-8（b）所示。 (3-20)KC)(h 從圖3-8響應曲線可以看出，對象受到階躍作用后

20、，被控變量就發(fā)生變化，當t時，被控變量不再變化而達到了新的穩(wěn)態(tài)值h（），這時由式（3-19）可得 這就是說，K是對象受到階躍輸入作用后，被控變量新的穩(wěn)定值與所加的輸入量之比，故是對象的放大系數，它表示對象受到輸入作用后，重新達到平衡狀態(tài)時的性能，是不隨時間而變的，所以表示對象的靜態(tài)性能。 下面再來討論時間常數T的物理意義。將t=T代入式（3-19），就可以求得KC.)T(h6320 (3-21) 將式（3-20）代入式（3-21）得 )(h.)T(h6320 (3-22) 這就是說，當對象受到階躍輸入作用后，被控變量達到新的穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需的時間，就是時間常數T。 在輸入作用加入的瞬間，

21、液位h的變化速度是多大呢？將式（3-19） 對時間t求導得 T/teTKCdtdh (3-23) 由上式可以看出，在過渡過程中，被控變量變化速度是越來越慢的，當t=0時，有 T)(hTKCdtdht0（3-24） )e(KC)t ( hT/t1當t時，由式（3-23）可得0tdtdh（3-25） 式（3-24）所表示的是t=0時液位變化的初始速度。從圖3-9所示的反應曲線來看， 0tdtdh就等于曲線在起始點時切線的斜率。 由于切線的斜率為 ( )/hT，從圖3-9可以看出， 。T這條切線在新的穩(wěn)定值h（）上截得一段時間正好等于 圖3-9時間常數T的求法 因此，時間常數T的物理意義可以這樣來理解：當對象受到階躍輸入作用后，被控變量如果保持初始速度變化，達到新的穩(wěn)態(tài)值所需的時間就是時間常數。 當 t=3T時，代入式（3-19）得 hKAeKATh95. 095. 0133加入輸入作用后，經過3T時間，液位已經變化了全部變化范圍的95，這時，可以近似地認為動態(tài)過程基本結束。所以，時間常數T是表示在輸入作用下，被控變量完成其變化過程所需要的時間的一個重要參數。3.3.3滯后時間 有的對象，在受到輸入作用后，被控變量卻不能立即而迅速的變化，這種現象稱為滯后現象滯后現象。根據滯后性質