尺規(guī)三大作圖問題

1、 尺規(guī)三大作圖問題尺規(guī)作圖是我們熟知的內(nèi)容。尺規(guī)作圖對作圖的工具直尺和圓規(guī)的作用有所限制。直尺和圓規(guī)所能的基本圖形只有：過兩點畫一條直線、作圓、作兩條直線的交點、圓點、作一條直線與一個圓的交點。公元前五世紀(jì)的希臘數(shù)學(xué)家，已經(jīng)習(xí)慣于用不帶刻度的直尺和圓規(guī)（以下簡稱尺規(guī)）來作圖了。在他們看來，直線和圓是可以信賴的最基本的圖形，而直尺和圓規(guī)是這兩種圖形的具體體現(xiàn)，因而只有用尺規(guī)作出的圖形才是可信的。于是他們熱衷于在尺規(guī)限制下探討幾何作圖問題。數(shù)學(xué)家們總是對用簡單的工具解決困難的問題備加贊賞，自然對用尺規(guī)去畫各種圖形饒有興趣。尺規(guī)作圖是對人類智慧的挑戰(zhàn)，是培養(yǎng)人的思維與操作能力的有效手段。所謂三大幾何

2、作圖難題就是在這種背景下產(chǎn)生的。傳說大約在公元前400年，古希臘的雅典流行疫病，為了消除災(zāi)難，人們向太陽神阿波羅求助，阿波羅提出要求，說必須將他神殿前的立方體祭壇的體積擴大1倍，否則疫病會繼續(xù)流行。起初，人們并沒有認(rèn)識到滿足這一要求會有多大困難，但經(jīng)過多次努力還不能辦到時，才感到事態(tài)的嚴(yán)重。人們百思不得其解，不得不求教于當(dāng)時最偉大的學(xué)者柏拉圖，柏拉圖經(jīng)過慎重的思考，也感到無能為力。這就是古希臘三大幾何問題之一的倍立方體問題。用數(shù)學(xué)語言表達就是：已知一個立方體，求作一個立方體，使它的體積是已知立方體的兩倍。任意給定一個角，僅用直尺和圓規(guī)作它的角平分線是很容易的，這就是說，二等分任意角是很容易做到

3、的。于是，人們自然想到，任意給定一個角，僅用直尺和圓規(guī)將它三等分，想必也不會有多大困難。但是，盡管費了很大的氣力，卻沒能把看來容易的事做成。于是，第二個尺規(guī)作圖難題三等分任意角問題產(chǎn)生了。正方形是一種美麗的直線形，圓是一種既簡單又優(yōu)美的曲線圖形，它們都有面積，能不能用直尺和圓規(guī)作一個正方形，使它的面積等于一個給定的圓的面積？這就是尺規(guī)作圖三大難題的第三個問題化圓為方問題。另類做法：總述：人們用尺規(guī)解幾何三大作圖題屢遭失敗之后，一方面是從反面懷疑它是否可作；另一方面就很自然地考慮，假如跳出尺規(guī)作圖的框框，也就是不限用尺規(guī)，而是借助于另外一些曲線，或者借助于尺規(guī)以外的一些工具，是不是可解決這些問題

4、呢？人們發(fā)現(xiàn)，一旦跳出了尺規(guī)作圖的框框，問題的解決將是輕而易舉的.這方面的工作已經(jīng)有許多人做過，而且取得了不少成就，下面的詞條內(nèi)容就擇要介紹一二.三等分任意角作法一三等分角問題尼科梅德斯(Nicomedes，公元前250年左右)方法對于已知銳角O，在角的一邊上取任意點B，作OB的垂線，交O的另一邊于點A.以O(shè)為定點，BA為定直線，2OA為定長，作出蚌線的右支C.從點A作BA的垂線，和蚌線C相交于點S，那么BOS=1/3BOA作法二帕斯卡(Pascal，B.16231662)的方法對于AOB，在其一邊上取任意長OA做半徑，以點O為圓心作一圓(圖12).延長AO，和圓O交于點C.以圓O為定圓，以C

5、為定點，以定圓O的半徑為定長，作一蚶線蚶線和角的另一邊OB相交于點E.連結(jié)CE，過點O作OSCE，那么BOS=1/3BOA作法三帕普斯(Pappus，約公元320年)方法對于AOB，在它的兩邊上截取OA=OB.連結(jié)AB并三等分，設(shè)兩分點分別為C和D.以點C為中心，點A、D分別為頂點，作離心率e=2的雙曲線.以點O為圓心，OB為半徑作弧，交雙曲線于點S.則BOS=1/3BOA作法四玫瑰線方法交AOB的兩邊于點A和B，分別以O(shè)和A為圓心，a為半徑畫弧，兩弧交于點S，則有BOS=1/3BOA立方倍積作法一倍立方問題倍立方問題柏拉圖(Plato，公元前427347年)的方法：作兩條互相垂直的直線，兩直

6、線交于點O，在一條直線上截取OA=a，在另一條直線上截取OB=2a，這里a為已知立方體的棱長.在這兩條直線上分別取點C、D，使ACD=BDC=90°(這只要移動兩根直角尺，使一個角尺的邊緣通過點A，另一個角尺的邊緣通過點B，并使兩直角尺的另一邊重合，直角頂點分別在兩直線上，這時兩直角尺的直角頂點即為點C、D).線段OC之長即為所求立方體的一邊。作法二門納馬斯(Menaechmus，約公元前375325年)方法：從ax=xy=y2a可得y2=2ax，x2=ay.所以，在直角坐標(biāo)平面上畫出上述兩個二次方程所對應(yīng)的兩條拋物線(圖16).這兩條拋物線交于O、A兩點，那么點A在x軸上的投影到原

7、點的距離，就是所求的立方體的棱長。作法三阿波羅尼(Apollonius de Perge，約公元前260200年)方法：作一矩形ABCD，這里AB=a、AD=2a.以此矩形對角線交點G為圓心，以適當(dāng)長度為半徑作圓，與AB、AD之延長線分別交于E、F，使E、C、F三點共線，則ABDF=DFBE=BEAD，線段DF之長即為所求立方體的棱長?；瘓A為方問題作法：對于已知圓O，化圓為方問題化圓為方問題作出它在第一象限的圓積線l.連結(jié)這一圓積線的兩個端點B、F，過點B引BF的垂線BG，交x軸于G.在OA上取一點H，使HA=1/2GO.以H為圓心，HG為半徑畫弧，交y軸于點K.則以O(shè)K為一邊的正方形，即為所

8、求作的與圓O等積的正方形。例題：三等分任意角是三大幾何作圖不能問題之一，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德就設(shè)計出了一個巧妙的三等分角的方法：在直尺邊緣上添加一點P，命尺端為O（如圖）；設(shè)所要三等分的角是MCN，以C為圓心，OP為半徑作半圓交給定角的兩邊CM、CN于A、B兩點；移動直尺，使直尺上的O點在AC的延長線上移動，P點在圓周上移動，當(dāng)直尺正好通過B點時，連OPB，則有AOB=MCN這種方法由于在直尺上作了一個記號，不符合尺規(guī)作圖中直尺只能用來連線的規(guī)定，因此還不能算是嚴(yán)格意義上的尺規(guī)作圖（1）動手實踐操作，用以上方法三等分MCN，在圖中畫出圖形并標(biāo)明相應(yīng)字母；（2）請你就阿基米德的作圖方法給出證明問

9、題的解決：用直尺和圓規(guī)能不能解決三大問題呢？答案是否定的，三大問題都是幾何作圖不能解決的.證明三大問題不可解決的工具本質(zhì)上不是幾何的而是代數(shù)的，再帶舒緩沒有發(fā)展到一定水平時是不能解決這些問題的.1637年迪卡兒創(chuàng)解析幾何，溝通了幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)這兩大數(shù)學(xué)分支，從而為解決尺規(guī)作圖問題奠定了基礎(chǔ).1837年法國數(shù)學(xué)家旺策（PierreL.W Antzel）證明了，三等分任意角和立方倍積問題都是幾何作圖不能解決的問題，化圓為方問題相當(dāng)于用尺規(guī)作出的值.1882年法國數(shù)學(xué)家林得曼證明了是超越數(shù)，不是任何整系數(shù)代數(shù)方程的根，從而證明了化圓為方的不可能性. 但是，正是在研究這些問題的過程中促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展.

10、兩千多年來.三大幾何難題起了許多數(shù)學(xué)家的興趣，對它們的深入研究不但給予希臘幾何學(xué)以巨大影響，而且引出了大量的新發(fā)現(xiàn).例如，許多二次曲線、三次曲線以及幾種超越曲線的發(fā)現(xiàn)，后來又有關(guān)于有理數(shù)域、代數(shù)數(shù)與超越數(shù)、群論等的發(fā)展在化圓為方的研究中幾乎從一開始就促進了窮竭法的發(fā)展，二窮竭法正是微積分的先導(dǎo)。用圓規(guī)直尺可以做什么圖：用歐幾里得的直尺圓規(guī)可以完成哪些作圖呢？下面的5種基本作圖是可以勝任的（圖15-4）：（1）用一條直線連接兩點. （2）求兩條直線的交點. （3）以一點為心，定長為半徑作一圓（4）求一個圓與一條直線的交點，或切點. （5）求兩個圓的交點，或切點. 還有，用直尺圓規(guī)作圖必須在有限次

11、內(nèi)完成，不允許無限次地作下去.換言之，不允許采取極限手段完成作圖根據(jù)直尺的基本功能，我們有下面的重要結(jié)論：一個作圖題可否用直尺完成，決定于是否能反復(fù)使用上面5種基本作圖經(jīng)有限次而完成. 這就是用直尺圓規(guī)可能與不可能的基本依據(jù). 最終發(fā)現(xiàn)是不能的原因：高斯的發(fā)現(xiàn)：歷史的車輪轉(zhuǎn)到了17世紀(jì)。法國數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立解析幾何，為判斷尺規(guī)作圖可能性提供了從代上進行研究的手段，解決三大難題有了新的轉(zhuǎn)機。最先突破的是德國數(shù)學(xué)家高斯。他于1777年4月30日出生于不倫瑞克一個貧苦的家庭。他的祖父是農(nóng)民，父親是打短工的，母親是泥瓦匠的女兒，都沒受過學(xué)校教育。由于家境貧寒，冬天傍晚，為節(jié)約燃料和燈油，父親總是吃過晚

12、飯就要孩子睡覺。高斯爬上小閣樓偷偷點亮自制的蕪菁小油燈，在微弱的燈光下讀書。他幼年的聰慧博得一位公爵的喜愛，15歲時被公爵送進卡羅琳學(xué)院，1795年又來到哥庭根大學(xué)學(xué)習(xí)。由于高斯的勤奮，入學(xué)后第二年，他就按尺規(guī)作圖法作出了正17邊形。緊接著高斯又證明了一個尺規(guī)作圖的重大定理：如果一個奇素數(shù)P是費爾馬數(shù)，那么正P邊形就可以用尺規(guī)作圖法作出，否則不能出。由此可以斷定，正3邊、5邊、17邊形都能作出，而正7邊、11邊、13邊形等都不能作出。高斯一生不僅在數(shù)學(xué)方面做出了許多杰出的成績，而且在物理學(xué)、天文學(xué)等方面也有重要貢獻。他被人們贊譽為“數(shù)學(xué)王子。高斯死后，按照他的遺愿，人們在他的墓碑上刻上一個正1

13、7邊形，以紀(jì)念他少年時代杰出的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。最后的勝利：解析幾何誕生之后，人們知道直線和圓，分別是一次方程和二次方程的軌跡。而求直線與直線、直線與圓、圓與圓的交點問題，從代數(shù)上看來不過是解一次方程或二次方程組的問題，最后的解是可以從方程的系數(shù)（已量）經(jīng)過有限次的加、減、乘、除和開平方求得。因此，一個幾何量能否用直尺圓規(guī)作出的問題，等價于它能否由已知量經(jīng)過加、減、乘、除、開方運算求得。這樣一來，在解析幾何和高斯等人已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，人們對尺規(guī)作圖可能性問題，有了更深入的認(rèn)識，從而得出結(jié)論：尺規(guī)作圖法所能作出的線段或者點，只能是經(jīng)過有限次加、減、乘、除及開平方（指正數(shù)開平方，并且取正值）所能作出的線段

14、或者點。1837年，23歲的萬芝爾以他的睿智和毅力實現(xiàn)了自己的夢想，證明了立方倍積與三等分任意角不可能用尺規(guī)作圖法解決。實際上萬芝爾還證明了一個被稱為高斯萬芝爾定理：如果邊數(shù)N可以寫成如下形式N2t·P1·P2Pn，其中P1、P2、Pn都是各不相同的形如22k1的素數(shù)，則可用尺規(guī)等分圓周N份，且只有當(dāng)N可以表成這種形式時，才可用尺規(guī)等分圓周N份。根據(jù)這一定理，任意角的三等分就不可能了。1882年，林德曼證明了是無理數(shù)，化圓為方問題不可能用尺規(guī)作圖解決，這才結(jié)束了歷時兩千年的數(shù)學(xué)難題公案. ，宣布了多年來，人類征服幾何三大難題取得了重大勝利。正十七邊形：步驟一：給一圓O，作兩垂直的半徑OA