圓錐曲線與其他知識(shí)點(diǎn).jsp__圖文

1、圓錐曲線與其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合一、解答題1. 如 圖 , 已 知 三 角 形 頂 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 為 (-3, 0 , 在 在 軸 上 , 點(diǎn) 在 軸 正 半 軸 上 , (1 當(dāng)點(diǎn) 在 軸上移動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡 的方程; (2 設(shè)直線 與軌跡 交于 兩點(diǎn),點(diǎn) 若 為鈍角,求 的取 值范圍. 解答 :(1 設(shè), 則又 所以 因?yàn)?所以 將其代入 中,得即動(dòng)點(diǎn) 的軌跡 的方程為(2 設(shè)所以 因?yàn)?所以 所以 所以所以 即 . 聯(lián)立方程組 消去 得因?yàn)橹本€ 與軌跡 有兩個(gè)交點(diǎn) , 所以 由韋達(dá)定理得 . 又 兩點(diǎn)在直線 上,所以 所以 . 將,代入中,整理得 即經(jīng)驗(yàn)證此時(shí) . 又所以 的取值范圍為.

2、二、解答題2. 如圖,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn) 在直線上運(yùn)動(dòng),過 作拋物線的兩 條切線 、 ,且與拋物線 分別相切于 、 兩點(diǎn) .(1 求 的重心 的軌跡方程; (2 證明: 解答 :(1 拋 物 線 的 焦 點(diǎn) 是設(shè) 點(diǎn) 于 是 有即 同 理 有 即是關(guān)于 的方程的兩個(gè)根,所以 設(shè) 是 所 求 重 心 軌 跡 上 的 任 意 一 點(diǎn) , 則 于 是 所 以 , 點(diǎn) 的 軌 跡 方 程 是三、解答題 3.如圖,已知橢圓 焦點(diǎn)為 雙曲線 的頂 點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè) 是雙曲線 上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線 與橢圓的交點(diǎn)分別為 和 已知三角形 的周長(zhǎng)等于 橢圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的面積為 (1 求橢圓 與雙曲

3、線 的方程; (2 設(shè)直線 的斜率分別為 和 探求 和 的關(guān)系; (3 是 否 存 在 常 數(shù) 使 得 恒 成 立 ? 若 存 在 , 試 求 出 的 值 ; 若 不 存在,請(qǐng)說明理由. 解答 :(1 由題意知,橢圓中 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 又頂點(diǎn)與焦點(diǎn)重合,所以 所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (2 設(shè)點(diǎn) 在雙曲線上,所以 所以2011青浦區(qū)高三期末 23題 四、解答題4. 設(shè)橢圓方程為 過點(diǎn) 的直線 交橢圓于點(diǎn)兩點(diǎn), 點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn) 滿足點(diǎn) 的坐標(biāo)為,當(dāng) 繞點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)時(shí),求:(1 動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程; (2 的最小值與最大值.解答 :(1 解法 1 直線 過點(diǎn)設(shè)其斜率為 ,則 的方程為記 , 由

4、題 設(shè) 可 得 點(diǎn) 的 坐 標(biāo)是 方 程 組 的解 .將代入并化簡(jiǎn)得 所以于是 . 設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ,則消去參數(shù) ,得,當(dāng) 不存在時(shí),中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) (0, 0 ,也滿足方程,所以點(diǎn) 的軌跡方程為 解法 2 設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ,因?yàn)?在橢圓上, 所以 , . -得 所以 當(dāng)時(shí),有, 并且 .將代入并整理得 .當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (0, 2 , (0, -2 ,這時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 (0,0 也滿足, 所以點(diǎn) 的軌跡方程為(2 由點(diǎn) 的軌跡方程知 即 所以 . 故當(dāng) 時(shí), 取得最小值,最小值為 ; 當(dāng)時(shí),取得最大值,最大值為 五、解答題5. 如圖 1,在直角梯形中,橢圓以 為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn) , (1

5、建立適當(dāng)坐標(biāo)系,求橢圓 的方程 . (2 問是否存在直線 與橢圓 交于 兩點(diǎn),且線段 的中點(diǎn)為 . 若存在,求 與直 線 的夾角;若不存在,說明理由 . (3 若點(diǎn) 滿足,問是否存在不平行 的直線 與橢圓交于兩點(diǎn),且 . 若存在,求出直線與夾角的范圍;若不存在,說明理由. 解答 : (1 如 圖 2, 以 所 在 直 線 為 軸 , 以中 垂 線 為 軸 , 建 立 直 角 坐 標(biāo) 系 , 設(shè)橢圓方程為 令 所以 所以 所以橢圓的方程是 (2 因?yàn)?時(shí)不符合題意, 所以 設(shè) 所以 所以 因?yàn)樗?即 , 所以即經(jīng)驗(yàn)證, 與橢圓相交,所以存在 ,其與 的夾角是.(3 時(shí)不符 , 所以設(shè) 由 不存

6、在設(shè) 的中點(diǎn) , 所以 所以 所以 所以,所以,且 所以 與的夾角的范圍是.六、解答題6. 已知平面上的線段 及點(diǎn) 任取 上一點(diǎn) 線段 長(zhǎng)度的最小值稱為點(diǎn) 到線段 的距離, 記作 ( 求點(diǎn) 到線段 的距離 ( 設(shè) 是長(zhǎng)為 2的線段,求點(diǎn)的集合 所表示的圖形面積; ( 寫 出 到 兩 條 線 段 距 離 相 等 的 點(diǎn) 的 集 合 其 中是下列三組點(diǎn)中的一組 . 對(duì)于下列三種情形,只需選做一種,滿分分別是 2分, 6分, 8分;若選擇了多于一 種情形,則按照序號(hào)較小的解答計(jì)分 . 解答 :2011上海(理 23 七、解答題7. 如圖,已知點(diǎn) ,直線 為平面上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn) 作 的垂線,垂足為點(diǎn) ,

7、且. ( 求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡 的方程; ( 過點(diǎn) 的直線交軌跡 于 兩點(diǎn),交直線 于點(diǎn) .(1 已知 ,求的值;(2 求的最小值. 解答 :解 法 一 : ( 設(shè) 點(diǎn), 則 由 得 :化簡(jiǎn)得 . ( (1 設(shè) 直 線的 方 程 為 :. 設(shè) , 又 . 聯(lián)立方程組消去 得: ,由 得: ,整理得: ,所以. 解 法 二 : ( 由得 :, 所 以 ,所以,所以.所以點(diǎn) 的軌跡 是拋物線,由題意,軌跡 的方程為:.( (1 由 已 知, 得 , 則 : , 過點(diǎn) 分別作準(zhǔn)線 的垂線,垂足分別為,則有: .由得: ,即 .(2解: 由 解 法 一 , .當(dāng)且僅當(dāng) ,即 時(shí)等號(hào)成立,所以 最小值為16.

8、 八、解答題8. 已知點(diǎn) 在定線段上,且 一個(gè)動(dòng)圓 過點(diǎn) 且與 相切,分別過 作圓 的另兩條切線交于點(diǎn) . (1 建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求點(diǎn) 的軌跡方程; (2 過 點(diǎn) 作 直 線 與 所 求 軌 跡 交 于 兩 個(gè) 不 同 的 點(diǎn) , 若 且 ,求直線 與直線 夾角 的取值范圍. 解答 :(1 以直線為 軸, 的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) ,建立直角坐標(biāo)系 因?yàn)?或 所以點(diǎn) 的軌跡是以為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為 2的雙曲線(不包括頂點(diǎn),其軌跡方 程為.(2 因?yàn)樗?設(shè) ,則 設(shè) 代入得, 即 所以 當(dāng) 時(shí), 所以 得, 所以即 所以 解得, 故 當(dāng) 時(shí),得, ,即 因?yàn)?, 所以,即 所以 即 ,故 由、得 或

9、 則夾角 ,因?yàn)?不存在時(shí),直線 符合條件,故時(shí),符合題意,所以.九、解答題9. 已知橢圓 過點(diǎn) (0, 3引直線 順次和橢圓交于在之間兩點(diǎn) . 若 ,則 的取值范圍. 解答 :設(shè) 的方程為消去 ,得,設(shè),則 因?yàn)?,所以 所以 所以 因?yàn)?同號(hào),且 在 和 0之間,所以 0 1 . 設(shè),因?yàn)?所以 所以 . 由判別式得 所以 所以 (不存在時(shí)等號(hào)成立, 所以,解得 . ,取交集得 1,所以 -1 - 所以 十、解答題 (此處可輸入試題說明 10. 圓錐曲線上任意兩點(diǎn)連成的線段稱為弦 . 若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對(duì)稱軸,我們將該弦 稱 之 為 曲 線 的垂 軸 弦 . 已知 點(diǎn) 是 圓錐

10、曲 線 上不 與頂 點(diǎn) 重合 的 任 意 兩 點(diǎn), 是垂直于 軸的一條垂軸弦,直線 分別交 軸于點(diǎn) 和點(diǎn) (1 試用 的代數(shù)式分別表示 和 (2 若 的方程為(如圖,求證:是與和點(diǎn) 位置無關(guān)的 定值;(3 請(qǐng) 選 定 一 條 除 橢 圓 外 的 圓 錐 曲 線 試 探 究 和 經(jīng) 過 某 一 種 四 則 運(yùn) 算 (加 、 減 、 乘、除,其結(jié)果是否是與 和點(diǎn)位置無關(guān)的定值,寫出你的研究結(jié)論并證明 . 解答 :2011徐匯高三期未 23十一、解答題11. 判斷方程所表示的曲線. 解答 :當(dāng)即時(shí) , 方 程 表 示 焦 點(diǎn) 在 軸 上 的 橢 圓 ; 當(dāng)即 時(shí),方程表示焦點(diǎn)在 軸上的橢圓;當(dāng) 即時(shí)

11、,方程表示圓心在原點(diǎn),半 徑為的圓;當(dāng)即時(shí),方程表示焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線; 當(dāng)即 時(shí),方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線. 十二、解答題 (此處可輸入試題說明 12. 已知向量,動(dòng)點(diǎn) 到定直線的距 離等于 ,并且滿足,其中 為坐標(biāo)原點(diǎn), 為參數(shù) . (1 求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程,并判斷曲線類型;(2 如果動(dòng)點(diǎn) 的軌跡是一條圓錐曲線,其離心率 滿足 ,求實(shí)數(shù) 的取值 范圍. 解答 :(1 設(shè) 點(diǎn)坐標(biāo)為,由,且為 原點(diǎn) , 所以 從而 由 所以有 整理可得: ,其為所求的軌跡方程 .當(dāng) 時(shí),得 ,軌跡為一條直線; 當(dāng) 時(shí),得; 若 ,則軌跡是圓; 若 ,則為雙曲線; 若或 ,則軌跡為橢圓. (2 因?yàn)?,所以

12、方程表示橢圓 . 對(duì)方程 , 當(dāng)時(shí) ,此 時(shí), 而 ,所以. 當(dāng) 時(shí), 所以 ,即,所以 所以 .十三、解答題13. 已 知 雙 曲 線 的 中 心 是 原 點(diǎn) , 右 焦 點(diǎn) 為一 條 漸 近 線設(shè) 過 點(diǎn)的直線 的方向向量 (1 求雙曲線 的方程; (2 若過原點(diǎn)的直線 且 與 的距離為 求 的值; (3 證明: 當(dāng)時(shí),在雙曲線 的右支上不存在點(diǎn)使之到直線 的距離為 解答 :2011上海(文 22 十四、解答題14. 已知雙曲線設(shè)過點(diǎn)的直線 的方向向量 (1 當(dāng)直線 與雙曲線 的一條漸近線 平行時(shí),求直線 的方程及 與 的距離; (2 證明: 當(dāng)時(shí),在雙曲線 的右支上不存在點(diǎn) ,使之到直線

13、 的距離為 解答 :2011上海(理 21 十五、解答題15. 雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在 軸上,過雙曲線右焦點(diǎn)且斜率為 的直線交雙曲線 于 , 兩點(diǎn) . 若 ,求雙曲線的方程. 解答 :解法 1 設(shè)雙曲線方程為,依題意知,點(diǎn) , 的坐標(biāo)滿足方程組 將代入,整理得 .設(shè) 方程 的 兩根 為,若,則,即 直線 與雙 曲線 的 兩條 漸近線中的一條平行,故與雙曲線只能有一個(gè)交點(diǎn),與題設(shè)矛盾,所以. 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,有由于 ， 在直線 上，可記為 ， 由 整理得 得 . ， 將，代入及 所以 由 即 將，及 故所求的雙曲線方程為 解法2 設(shè)雙曲線的方程為 ，得 ， 也代入，并整理得 所以 所以 ， 代入，解得 . . ， . 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為 由 得 ， 所以過 且斜率為 的直線參數(shù)方程為 為參數(shù). 代入雙曲線