定積分簡單應(yīng)用——求體積

1、4.2定積分的簡單應(yīng)用(二)復(fù)習(xí):(1) 求曲邊梯形面積的方法是什么?(2) 定積分的幾何意義是什么？(3) 微積分基本定理是什么？引入:我們前面學(xué)習(xí)了定積分的簡單應(yīng)用一一求面積。 求體積問題也是定積分的一個重要應(yīng)用。 下面我們介紹一些簡單旋轉(zhuǎn)幾何體體積的求法。1. 簡單幾何體的體積計算如何求V ?xnJ < Xn = b，把曲線丨，如圖甲所示。設(shè)第i個“小長條問題：設(shè)由連續(xù)曲線y = f(x)和直線x = a， x=b及x軸圍成的平面圖形(如圖甲)繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周就得到一個厚度是厶/的 i個小圓片近似于底面半徑為y = f (x)的小圓柱。因此，第i個小圓臺的體積M近似為V二二廠化)訃

2、該幾何體的體積V等于所有小圓柱的體積和：V ：二口"“ f2(X2)%f2(Xn) %這個問題就是積分問題，則有：b2 b 2V = f 2(x)dx =二 f 2(x)dxaa歸納：設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線y = f(x)和直線x = a，x = b及x軸圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)b o而成，則所得到的幾何體的體積為 Vf 2(x)dxLa2. 利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積(1) 找準(zhǔn)被旋轉(zhuǎn)的平面圖形，它的邊界曲線直接決定被積函數(shù)(2) 分清端點(3) 確定幾何體的構(gòu)造(4) 利用定積分進(jìn)行體積計算3. 一個以y軸為中心軸的旋轉(zhuǎn)體的體積b c 若求繞y軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積，則積分變量變?yōu)?/p>

3、y，其公式為V二二g2(y)dy a類型一：求簡單幾何體的體積例1：給定一個邊長為a的正方形，繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，得到一個幾何體，求它的體積思路：由旋轉(zhuǎn)體體積的求法知，先建立平面直角坐標(biāo)系，寫出正方形旋轉(zhuǎn)軸對邊的方程，確定積分上、下限，確定被積函數(shù)即可求出體積。解：以正方形的一個頂點為原點，兩邊所在的直線為 x,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，如圖BC : y =a。則該旋轉(zhuǎn)體即為圓柱的體積為:2 冃3x|o a規(guī)律方法:0求旋轉(zhuǎn)體的體積，應(yīng)先建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲線函數(shù)為f (x)。確定積分上、下限a,b，則體積 V =二.f (x)dx練習(xí)1：如圖所示，給定直角邊為a的等腰直角三角形

4、，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，求形成的幾何體的體積。解：形成的幾何體的體積為一圓柱的體積減去一圓錐的體積V = 一 a2 _a - 二 y dy =<0y E = Ta 3類型二：求組合型幾何體的體積例2：如圖，求由拋物線y2=8x(y 0)與直線x一周所得幾何體的體積。思路:解答本題可先由解析式求出交點坐標(biāo)。再把組合體分開來求體積。解:解方程組丿y =8x(y>0)x y -6 = 0得：！ x=217 = 4.y2 =8x與直線x y - 6二0的交點坐標(biāo)為（2,4）所求幾何體的體積為：2/ 26264兀112兀V 二（.8x）2dx 二（6-x）2dx = 16二、233規(guī)律方法：解決組

5、合體的體積問題，關(guān)鍵是對其構(gòu)造進(jìn)行剖析，分解成幾個簡單幾何體體積的和或 差，然后，分別利用定積分求其體積。練習(xí)2：求由直線y =2x，直線x=1與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解:旋轉(zhuǎn)體的體積:類型三：有關(guān)體積的綜合問題:例3：求由曲線y =2x2與廠云所圍成的平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)周所得旋轉(zhuǎn)體的體積思路：解題的關(guān)鍵是把所求旋轉(zhuǎn)體體積看作兩個旋轉(zhuǎn)體體積之差。畫出草圖 > 確定被積函數(shù)的邊界 > 確定積分上、下限r(nóng)用定積分表示體積r求定積分解:曲線y =1"與y 2x所圍成的平面圖形如圖所示: 設(shè)所求旋轉(zhuǎn)體的體積為v根據(jù)圖像可以看出V等于曲線y=J2X，直線

6、x = 2與X軸圍成的平面圖形繞周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積（設(shè)為V ）減去曲線y = 1x2直線x = 2與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積（設(shè)為V）口= ( 2x)2dx =2二f.22' 1H 24兀I528 江V2 =兀 -x2 dx = x4dx = 漢 一 x510 =、o(2丿 4、o4558 兀 12nV 認(rèn)-V2 =4 二55反思：結(jié)合圖形正確地把求旋轉(zhuǎn)體體積問題轉(zhuǎn)化為求定積分問題是解決此類問題的一般方法。練習(xí)3：求由y =、廿，-x2以及y軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。9解：由*y = *：x 12 2y = _x9fx = 3得：廠251=ji103V0 二(X 1)dx - 0 二誤區(qū)警示：忽略了對變量的討論而致錯2 1例：已知曲線y = x，y 和直線y = 0， x二a(a - 0)x面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積。思路：掌握對定積分的幾何意義，不要忽視了對變量 a的討論。2y = x解：由 1y 一 L xlx = 1由示意圖可知:要對a與1的關(guān)系進(jìn)行討論:y 1 /Oa czX當(dāng) 0 : a,時,x =a4兀5兀 x4dx = a55a1、26兀兀dx -L1X丿5 a1當(dāng) a 1 時，V =(x2)2dx*0 ' /a 2 2V 二 J(x2)2叫01)-所得旋轉(zhuǎn)體的