初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(47)

1、初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(47)配方法甲內(nèi)容提要1 .配方：這里指的是在代數(shù)式恒等變形中，把二次三項(xiàng)式a2±2ab+b2寫成完全平方式(a土 b) 2有時(shí)需要在代數(shù)式中添項(xiàng)、折項(xiàng)、分組才能寫成完全平方式常用的有以下三種：由a2+b2配上2ab,由2 ab配上a2+b2,由a2±2ab配上b2.2 .運(yùn)用配方法解題，初中階段主要有： 用完全平方式來因式分解例如：把x4+4因式分解.原式=x4+4 + 4x24x2=(x2+2)24x2=這是由a2+b2配上2ab. 二次根式化簡常用公式：va2 a ,這就需要把被開方數(shù)寫成完全平方式.例如：化簡.5 2.6 .我們把5 2 J6寫

2、成22<2 J3 + 3=(%2 -27273 + (73)2=(V2 - 73) 2.這是由2 ab配上a2+b2.求代數(shù)式的最大或最小值，方法之一是運(yùn)用實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，零就是最小值即,a2>0,，當(dāng)a=0時(shí)，a2的值為0是最小值.例如：求代數(shù)式a2+2a2的最值.a2+2a2= a2+2a+1 -3=(a+1)2-3當(dāng)a=-1時(shí)，a2+2a 2有最小值一 3.這是由a2±2ab配上b2有一類方程的解是運(yùn)用幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都是零，有時(shí)就需 要配方.例如：求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x, y.解：方程 x2+y2+2x-4y+1 +4=

3、0.配方的可化為(x+1) 2+(y 2)2=0.x 1 0要使等式成立，必須且只需y 2 0,口x 1解得y 2此外在解二次方程中應(yīng)用根的判別式，或在證明等式、不等式時(shí)，也常要有配方的知識和技巧.乙例題例 1. 因式分解：a2b2 a2+4ab b2+1.解：a2b2a2+4abb2+1 = a2b2+2ab+1+( a2+2abb2)(折項(xiàng)，分組)=(ab+1) 2(ab)2(配方)=(ab+1+a-b) (ab+1-a+b) (用平方差公式分解)本題的關(guān)鍵是用折項(xiàng)，分組，樹立配方的思想 例2.化簡下列二次根式：寸7 4石;V 2 &(10 4<'3 272 .解：化

4、簡的關(guān)鍵是把被開方數(shù)配方$7 4君=，4 2 2V3 3=寸(2 73)2=2 V3 = 2 + V3.學(xué)、.2(. 3 1).6.2=22/=fJ寸10 4<3 2拒=Jl0 4<(<2 1)2=，10 4(歷 1)=V6 472 =4 2 2& 2 = ,(2 <2)2=2 2 2 .例3.求下列代數(shù)式的最大或最小值: x2+5x+1 ；2x26x+1 .解： x2+5x+1 =x2+2X x+'225一 +14=(x+5)2214(x+5) 2>0,其中0是最小值.即當(dāng)2x=5 時(shí)，x2+5x+12有最小值一21一2x26x+1 =- 2=2

5、(x2+2 X -x+ -c 1(x2+3x -)239= -2(x+3)2+11 22-1 2 (x+3) 2W0,其中。是最大值，2.當(dāng) x= 3 時(shí)，一2x26x+1 有最大值 1122例4.解下列方程：x4 x2+2xy+y 2+1=0 ;x2+2xy+6x+2y 2+4y+10=0.解：(x4- 2x2+ 1) + ( x2+2xy+y2) =0 .(折項(xiàng)，分組)(x21)2+(x+y)2=0.(配方)根據(jù)“幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都應(yīng)等于零”1，或1x2+2xy+y，6x+6y+9+y 22y+1=0 .(折項(xiàng)，分組)(x+y) 2+6 (x+y) +9+y2 2y+1

6、=0.(x+y+3) 2+(y 1)2=0.(配方)x y 3 0 x 4y 10y 1例5. 已知：a, b, c, d都是整數(shù)且m=a2+b2,n=c2+d2,則mn也可以表示為兩個(gè)整數(shù)的平方和，試寫出其形式.(1986年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)解：mn=( a2+b2)( c2+d2)= a2c2+ +a2d2 +b2 c2+ b2 d2=a2c2+ b2 d2+2abcd+ a2d2 +b2 c2 2abcd(分組，添項(xiàng))=(ac+bd)2+(ad-bc)2例6. 求方程x2+y2-4x+10y+16=0的整數(shù)解解：x2-4x+16+y2+10y+25=25(添項(xiàng))(x 4) 2+(y+5

7、) 2= 25(配方)(x 4)2(y 5)29 千(x 4)2 16或216 (y 5)9一25折成兩個(gè)整數(shù)的平方和，只能是0和25; 9和16.0 T (x 4)225T (x 4)2或2 或225 (y 5)0 (y 5)0/曰x 得同理，共有12個(gè)解4 x 9 x10 y -5 y丙練習(xí)471 .因式分解：x4+x2y2+y4 ；x2-2xy+y 2-6x+6y+9 ;x4+x2-2ax-a2+1.2 .化簡下列二次根式： J4x2 12x 9 4x2 20x 25(- - <x<5)；22(1<x<2); Jl7 1272;，3 V5 ；411 4<4

8、2<3 ；q3展 v3痣；(14 + 6 J5) + ( 3+75)；(V3_x)2+Jx2 8x 16 .3求下列代數(shù)式的最大或最小值： 2x2+10x+1 ; 一工 x2+x-1.4 .已知：a2+b2-4a- 2b+5 .求： :a 的侑.3 2 25 .已知：a2+b2+c2=111,ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c 的值.6 .已知：實(shí)數(shù) a, b, c滿足等式 a+b+c=0, abc=8 . 11 1 一試判斷代數(shù)式 一 一 一值的正負(fù).（1987年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）a b c7 .已知：x=$19 8 <3 .(1986年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)a=b=c.x2y2+x2+4xy+y 2+1=0 ;x4 6x3 2x2 16x 23求：2.x 8x 158 .已知：a2+c