初中數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練--圓--三角形的內(nèi)切圓

1、初中數(shù)學(xué)1 -=-AC BC .2例 如圖， ABC的內(nèi)心為I,外心為 O,且/ BIC=115° ,求/ BOC的度數(shù).解：I為 ABC的內(nèi)心，/ IBC= - / ABC / ICB= - / ACB 22 ./ IBC+/ ICB=180 ° -/BIC=180° -115° =65 ° . ./ABC+ / ACB=130 ° .-/ A=180 ° -(/ABC+/ACB) =50又。是ABC 的外心，./ BOC=2/A=100°說(shuō)明：(1)此題為基本題型；(2)此題可得：/ BIC=90 °

2、 +-/A; Z BOC=4/ BIC-360例 已知，在 RtABC中，/ C=90° , AB=5, AC=4求直角三角形內(nèi)切圓的半徑的長(zhǎng). 分析：利用分割三角形，通過(guò)面積建立含內(nèi)切圓半徑的方程求解.解：由勾股定理得： bc = Jab2 - AC2 =3連結(jié)OA OB OC設(shè)O。的半徑為r,則：一 1 .S>a abc = (AB ' BC CA) r , 又 sa abc2精品設(shè)計(jì)1 .- (AB BC CA)r =AC BC1 -1AC BC ,24 3.二 1AB BC CA 5 3 4答：直角三角形內(nèi)切圓的半徑為1.說(shuō)明：（1）此題為基本題目；（2）三角形

3、內(nèi)切圓性質(zhì)的應(yīng)用，通過(guò)面積求線段的長(zhǎng)度.例 （陜西省，2001）如圖，點(diǎn)I是4ABC的內(nèi)心，AI的延長(zhǎng)線交邊 BC于D,交 ABC 的外接圓于點(diǎn)E.(1)求證：IE=BE ;(2)若 IE=4, AE=8 ,求 DE 的長(zhǎng).證明：(1)連結(jié)BI, / BIE= / BAI+ / ABI= - (/ BAC+ / ABC ),2/ IBE= / IBC+ / EBC= 1 / ABC+ / EAC= 1 (/ ABC+ / BAC ),22 ./ BIE= / IBE.IE=BE解：(2) .I 是 ABC 的內(nèi)心，丁./ BAE=/CAE,又. / DBE= / CAE ,. / BAE= /

4、 DBE ,又E 為公共角， ABE BDE ,AE- = -BE-BE 2 = AE DEBE DEIE2 =AE DE，.- DE = IEAE'I"說(shuō)明：（1）本題應(yīng)用了三角形內(nèi)心的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及判定、圓周角定理的推論、相似三角形等；（2）本題為教材117頁(yè)12題和B組第3題的變形與結(jié)合；（3）本題為中檔題.典型例題四已知：如圖，設(shè) AABC為RS, /C =90。以AC為直徑作。O交AB與D,設(shè)EOE ,求證：DE 1OD .是BC的中點(diǎn)，連結(jié)OD、證明 連結(jié)CD .丁 AC為。O的直徑，D在。O上，- CD .L AB , /ADC =90，又丫 E是BC

5、的中點(diǎn)，/BDC =901: CE =DE =BE , .EDC "ECD .丫 BC_LAC, C是半徑的外端點(diǎn), BC是。O的切線，ECD = A EDC = A. 又 OD =OC , ODC = OCD1 /A+NOCD =90 1: /EDC +/ODC =90%ODE »EDC ODC =90 .DE _OD .說(shuō)明：本題證到 /EDC =/A時(shí)，也可說(shuō)明 DE是O O的切線，盡而說(shuō)明 DE _L OD .典型例題五例 已知：如圖，在AABC的外接圓中，D是倒的中點(diǎn)，AD交BC于點(diǎn)E, /ABC 的平分線交AD于點(diǎn)F. (1)若以每?jī)蓚€(gè)相似三角形為一組，試問(wèn)圖中

6、有幾組相似三角形，并2目逐一寫出；(2)求證：FD =AD ED.AD解 (1)有三組相似三角形：AAEC與ABED； ABDE與AADB ； AAEC與ABD .(2) . D 是關(guān)中點(diǎn)， . /BAD =/CAD =/DBC丁 / ABF =/CBF,，NDBC +NCBF =/ABF +NBAD.即 / DBF =/DFB. DB = DF . ZDBE =/DAB,/D =/D,. ADBE s WAB.;. DB : DE = DA : DB. 2 .DB =AD ED.DB = DF, DF 2 = AD ED.說(shuō)明：本題考查三角形內(nèi)心的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形內(nèi)心的性質(zhì).易

7、錯(cuò)點(diǎn)是找不到證明DB = DF的解題思路.典型例題六例 如圖，等腰梯形 ABCD 中，AB/DC, AB =21cm,CD =9cm, DA=10cm .。O1 與_ n,-o。2分別為 MBD和ABCD的內(nèi)切圓，它們的半徑分別為 1,2 ,則的值是（）2B.C.D.過(guò)D作DE _L AB于E,A EFCF _L AB 于 F.梯形ABCD為等腰梯形,AB/DC, AB =21cm,CD =9cm .AE=219=6. DE =；102 -62 =8.2BE =21-6 =15. BD = 152 82 =17.-12 AB DE I1AD AD BDc 1c2 - 21 8 7=2= (cm

8、).1 21 1727同理，2 = 2 （cm） . =2=.,.選 A. 上24說(shuō)明：本題考查三角形內(nèi)切圓半徑的求法，解題關(guān)鍵作輔助線， 求出三角形的邊長(zhǎng)和高線長(zhǎng)易錯(cuò)點(diǎn)是企圖求出乜的而使思路受阻.2典型例題七例（山西省，1998）如圖，已知I為 MBC的內(nèi)心，射線AI交AABC的外接圓于D, 交 BC邊于點(diǎn) E. （ 1 ）求證：ID = BD ; （ 2 ）設(shè)AA B C外接圓半徑R=3,ID =2, AD =x,DE =y.當(dāng)點(diǎn)A在優(yōu)弧比-上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求函數(shù)與自變量x間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍證明 （1）連結(jié)BI. / I是AABC的內(nèi)心, . ABI "舊C, BA

9、D "DAC.又 DAC =/DBC, BAD =/DBC. ./ABI +ZBAD =N舊C 十NDBC.即.BID "舊D. ID =BD.解 （2）在 AABD 和 ABDE 中，= /BAD =/DBE ,/BDA =/EDBBDMBD s ABDE . -BDADDEBD又 BD = ID, ID2 = ADDE.4ID =2, AD =x,DE = y,. y =一.x丁 BD < AD E2R,. 2 <x E6.，自變量x的取值范圍是2<x6.說(shuō)明： 本題考查三角形內(nèi)心的性質(zhì).解題關(guān)鍵是作輔助線并靈活運(yùn)用三角形內(nèi)心的性質(zhì)，易錯(cuò)點(diǎn)是忽視自變量

10、的取值范圍或求錯(cuò)自變量的取值范圍選擇題1、下列圖形中，一定有內(nèi)切圓的四邊形是（）（A）梯形（B）菱形（C）矩形 （D）平行四邊形E2、 菱形ABCD中，周長(zhǎng)為 40, /ABC=120° ,則內(nèi)切圓的半徑 為（）、2 c255(A) _J3(B)一42(C) J2(D)4333223、如圖，O O 是ABC 的內(nèi)切圓，D、E、F 是切點(diǎn)，/ A=50 ° , / C=60 ° ,則/ DOE= ()(A) 70°(B) 110°(C) 120°(D) 130°4、等邊三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓的半徑和高的比為()(A)1 ：

11、應(yīng)：<3(B)1 ： 2 ：73(C) 1 ：V3： 2(D)1 ： 2 ： 35、存在內(nèi)切圓和外接圓的四邊形一定是()(A)矩形(B)菱形 (C)正方形 (D)平行四邊形參考答案：BDBDC填空題1 .等邊三角形的邊長(zhǎng)為 4,則外接圓的半徑為 ，內(nèi)切圓半徑為 ，內(nèi)切圓半徑： 高：外接圓半徑=.2 . AABC中，內(nèi)切圓與 AB , BC , CA相切于F , D , E,若NA = 40 口，則/EOF =, ZEDF =, /BOC=.3 . AABC 的/A=50> /B=80) O 是 AABC 的內(nèi)心，則 /AOB =.4 .內(nèi)切圓的半徑為r的等邊三角形的面積為5 .在A

12、ABC中，若/C =90*, /A = 30°, AC = 3 ,則內(nèi)切圓的直徑為 .6 .若 MBC的BC邊上的高為 AH , BC長(zhǎng)為30cm，直線DE / BC交AB、AC分別為D、2E ,以DE為直徑的半圓與 BC切于F ,若此半圓的面積是18：icm2,則AH =cm .7 .在 AABC 中，I 為內(nèi)心，若 /A=701 則/BIC =.8 .已知：等邊三角形的邊長(zhǎng)為 4,則它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)面積是 .答案：1. 4V3, 2J3, 1:2:3 2. 140°, 170°, 110s 3. 115。4. 3/'3產(chǎn) 5. 3-736.

13、 10337.125 8. 4二.解答題D1 .畫一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的等邊三角形，在畫出它的內(nèi)切圓.2 .(山西省，1998)如圖，已知點(diǎn) I為4ABC 的內(nèi)心，射線AI交4ABC的外接圓于點(diǎn) D,交BC邊于點(diǎn)E.(1)求證：ID=BD ;(2)設(shè) ABC 外接圓半徑 R=3, ID=2 , AD=x , DE=y ,當(dāng)點(diǎn)A在優(yōu)弧EC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求函數(shù)y與自變量X間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍.3 .已知點(diǎn)I為AABC的內(nèi)心，如果 /ABC +/ACB =100，求/ BIC的度數(shù)。4 .已知：O O的半徑為R,求它的外切等邊三角形的周長(zhǎng)和面積。5 .如圖，RtMBC的內(nèi)切圓。O切斜邊AB于點(diǎn)D ,切BC于點(diǎn)F , BO的延長(zhǎng)線交 AC于點(diǎn)E ,求證：BO BC =BD BE6 .如圖，在 MBC中，AC =BC , E是內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線交A