初中數(shù)學(xué)專題2.4利用圓的性質(zhì)

1、2.4 利用圓的性質(zhì)圓與直線型可組合成一些復(fù)雜的幾何圖形，是一類綜合性的幾何問(wèn)題.利用圓的性質(zhì)，可以豐富幾何計(jì)算 和幾何證明的方法.在本節(jié)中，我們對(duì)圓的有關(guān)典型問(wèn)題作一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹.例1如圖241：四邊形A8CO內(nèi)接于圓0, A。為直徑，且月0=8, AB=BC, CQ=7,求A3的長(zhǎng).【分析】 利用條件則可推出所對(duì)圓周角相等，故構(gòu)建出代數(shù)方程求解.圖241【解】設(shè)BD=Y.RZADB=ZBDC=a.則由余弦定理得:C0Scl=82+y2-x72+y2-x22x8y 2x7y故 H=X2+56.因?yàn)锳O為。0直徑，故445。=90。.從而產(chǎn)+X、64,故X=2,即A8=2.注意到A8 = 8C

2、這個(gè)條件，還可以考慮使用垂徑定理.圖 2-4-2【解】連結(jié)AC, BO交于點(diǎn)、M.因?yàn)锳8=8C,所以A3 = 8C.又因?yàn)?。為半徑，所以80_LAC.因?yàn)锳O為。0直徑，所以CD_L4c.i71從而MOC。，所以加。=一。=一，BM=_.222，715在 RTA/bW。中，AM2=4? =一 4在區(qū)必中,AB2=- + - =4, BP AB=2.4 2)注意到垂直和角平分線，還可以構(gòu)造等腰三角形求解.【解】 如圖2-4-3連結(jié)BD,延長(zhǎng)AB和DC交于點(diǎn)E.圖 2-4-3有前而揭發(fā)可得：ABDgdEBD.故 EB=AB=BC=X, AD=ED=8, EC=1 .故由割線定理：EBEA=EC

3、ED.故 2H=8, X=2,即 A8=2.【注】 在解決有關(guān)元的問(wèn)題中，要善于結(jié)合圓的性質(zhì)和其它圖形性質(zhì)，運(yùn)用多種方法思考.例2如圖2-4-4： A5為。的直徑，C為半圓弧A3上一點(diǎn)，CD_L43于。，以。為圓心，C。的長(zhǎng)為 半徑的圓交。于點(diǎn)£ F.求證：EF平分CD.圖2-4-4【分析】E尸為。和。的公共弦，可考慮分別在兩圓中以七廠為弦使用相交弦定理，尋找所要的 數(shù)量關(guān)系.【證明】 延長(zhǎng)和。C,分別交。0和。C于M、N點(diǎn).由相交弦定理得：CGGM=EGGF, DGGN=EGGF.故 CG GM=DG GN.從而 CG (DG+MD) =DG (CG+GV).進(jìn)而CG MD=DG

4、CN.結(jié)合且A5為直徑，故由于CO=CN,所以CG=OG,即EE平分CD【注】圓不僅是中心對(duì)稱圖形，而且還是軸對(duì)稱圖形，過(guò)圓心的直線是它的對(duì)稱軸.利用圓的對(duì)稱性 可幫助我們解決問(wèn)題.例3如圖245： A8為。的直徑，AB=2R, CO為一條動(dòng)弦，CQ交A8于E,且NAEC=45。.求證: 為定值.c圖2-4-5【分析】利用圓的對(duì)稱性，構(gòu)造直角三角形，簡(jiǎn)化【證明】過(guò)C點(diǎn)作關(guān)于A8的對(duì)稱點(diǎn)F,連結(jié)EF、DF,則點(diǎn)尸在。上.由圓的對(duì)稱性：CE=FE, ZCEF=2ZCEA=90°,故NFEO=900.從而 CE2 + ED2 = EF1 + ED2 = FD2.有正弦定理得：FD=2RSI

5、N/FCD.故FD=&R.所以CE、E£>2=2配為定值.【注】 在處理平而幾何中的許多問(wèn)題時(shí)，常常需要借助圓的性質(zhì)，但常常我們直接要用的圓并不存在, 這就需要我們利用已知條件，借助圖形吧實(shí)際存在的圓找出來(lái)，在利用這個(gè)圓的性質(zhì)解決問(wèn)題.例4如圖24-6： PA. P8分別切。于點(diǎn)A、B, OP交AB于點(diǎn)、C,弦EE過(guò)點(diǎn)C 求證：NAPE=NBPF.圖2-4-6【分析】NAPE和NBPF對(duì)于。而言均為圓外角，直接證明不容易.考慮到問(wèn)題等價(jià)于NEPO=NEPO, 若證明。、F、P、E四點(diǎn)共圓，再結(jié)合PE=O尸即可.【證明】連結(jié)。E、OF、04、OB.因?yàn)镻A切00于A、PB

6、切。于B,所以O(shè)AJ_PA, OBLPB,從而A、P、B、。四點(diǎn)共圓.故 OC PC=AC BC.因?yàn)?EC FC=AC BC,故 OC PC=EC FC.進(jìn)而E、0、F、尸四點(diǎn)共圓，故N1=N4, N2=N3,因?yàn)镺E=OF,故N1=N2,從而N3=N4.因?yàn)?NAP0=N8P0,所以 NAPE=N8PF.【注】判斷四點(diǎn)共圓的主要依據(jù)和方法有：（1）四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.（2）四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.（3）線段向同側(cè)所張的兩個(gè)角相等，那么兩個(gè)角的頂點(diǎn)和線段的端點(diǎn)共圓.（4）四邊形的兩條對(duì)角線交點(diǎn)分每條對(duì)角線所成的兩條線段之積

7、相等，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.（5）延長(zhǎng)四邊形的一組對(duì)邊相交于一點(diǎn)，若這點(diǎn)到這組對(duì)邊中每一邊端點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等，那么 這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.（6）到同一個(gè)點(diǎn)距離相等的四個(gè)點(diǎn)共圓.例5如圖2.4.7： AHBC的內(nèi)切圓分別切AB、AC于點(diǎn)E; F,。是8c的中點(diǎn)，/B、NC的平分線分別與 直線上廠交于點(diǎn)N、M.證明：DM=DN.【分析】 若屈和BNC均為直角三角形即證，故可考慮證B、E、M、I四點(diǎn)共圓及C、F、N、I 四點(diǎn)共圓.圖247【證明】 設(shè)4ABC內(nèi)心為/,連結(jié)A/、EL FI. BM、CN.由題意得：A、E、/、F四點(diǎn)共圓，故 nief=niaf=L ZA.2進(jìn)而NBE

8、M=900+ N圖=90。+L ZA=ZBIC.2所以5、E、M、/、四點(diǎn)共圓.故N3M/=N5E/=90。，即BMC為直角三角形.因?yàn)?。?c的中點(diǎn)，所以。M=l8C.2同理：DN=> BC,故 DM=DN. 2【注】 在題目中涉及三角形外心或內(nèi)心時(shí)，還可以構(gòu)造三角形外接圓或內(nèi)切圓幫助解題. 例6在A8C中，已知點(diǎn)/為內(nèi)心，點(diǎn)。為外心，A8=5, BC=6, CA=4.求證：01 A.EC.4【分析】 構(gòu)造AABC的外接圓，證明點(diǎn)/是EC中點(diǎn)即可.【證明】 延長(zhǎng)C/交A3于點(diǎn)O,交ZXABC的外接圓于點(diǎn)£ 因?yàn)镃/平分NAC&所以出=吧=3.BC BD 3結(jié)合A8=5

9、,可得AO=2, BD=3.由角平分線長(zhǎng)公式：CD2 = AC.BC-AD.BD W CD= 35/2 .由于 AO 5O=CO ED,故 ED=0 .乂因?yàn)槿欢?/需，故。/=&從而 E/=/C=20,所以 O/_LEC例7如圖2-4.9 ： AA8C的外接圓的圓心為。，點(diǎn)P、。分別在線段C4、A5上，K、L、M分別是8P、 CQ、PQ的中點(diǎn),圓。過(guò)K、L、M并且與P。相切.證明：OP=OQ.第1題【分析】 若PO=。0,即P、。關(guān)于。等事.需證A0=APPC考慮到中點(diǎn)，可從構(gòu)造中位線入手.【證明】 連結(jié)MK、KL、ML,因?yàn)槭Ｅc。O相切，所以NKMQ=NKLM.又因?yàn)镸K為AB

10、P。的中位線，因此MKBQ.因?yàn)镹KMQ=NAQP,故NKLW=NA0P.同理：NLKM=NAPQ,從而APQs/mkL.故蘇二筆.因?yàn)镸K=，B0, ML=，PC,所以理=理. 22BQ PC即AP PC=AQ 8Q,故P、。關(guān)于。等事.所以0P=0Q.練習(xí)2.41 .如圖：AABC的外接圓圓心為0,以8c為直徑的。咬A8于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)。，若的中點(diǎn)為F, 求證：。40下.2 .如圖：在A3C中，D、E、F分別為A3、BC、AC邊的中點(diǎn)，分別作AABC與OEF的外接圓。 與。'，過(guò)A作圓。的切線，過(guò)點(diǎn)E作00'的切線，求證：MNG.第2題3 .如圖：圓內(nèi)接四邊形A5CD,

11、AB=AD, PB=B0, CEL PE. CD=18 ,求。七的長(zhǎng).第3題4 .圓內(nèi)接四邊形A8CO的對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)E,線段8c=。=4, AE=6, 8七和。£的長(zhǎng)都是正整 數(shù)，求5。的長(zhǎng).5 .如圖，AB為。的直徑，自A8上一點(diǎn)C向圓的切線。尸作垂線CF, E為垂足，D為切點(diǎn),DE為過(guò) C 的弦，若 C/=8, 8=10, AB=4.求 CE 的長(zhǎng).第5題6 .如圖：直線A5和AC與圓。分別相切于3、C兩點(diǎn)，P為圓上一點(diǎn)，且P到A3、AC的距離分別為6 和4,求點(diǎn)P到8C的距離.第6題7 .設(shè)C為平而上一個(gè)圓，而G，C?是兩個(gè)沒(méi)有交點(diǎn)的圓，它們都內(nèi)切于C,切點(diǎn)分別為A

12、、B.直線T 為G，C2的一條公切線，分別切G, G于點(diǎn)D、E,且圓。，C2在T的同一側(cè)，尸為AO和BE的交點(diǎn).證 明：點(diǎn)尸在圓。上.8 .如圖：在A3C中，己知AO_LBC, BELCA, A。與3E相交于點(diǎn)，P為邊A8的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CQA.PH,垂足為 Q,求證：PE1 = PH.PQ .第8題9 .已知點(diǎn)0是銳角ABC的外心，過(guò)A、B、。三點(diǎn)的圓交AC、BC于點(diǎn)、E、F,且瑁三OC,求證：OC LEF,且 NAC5=450.10 .如圖，在銳角ABC中，AB>AC, N5AO60。，0、分別為ABC的外心、垂心，直線0分別與 AB、AC交于點(diǎn)P、Q.求證：PO=QH.第10題答案

13、練習(xí)2.41 .過(guò) A 作。O 的切線 AP,故NCAP=NABC,因?yàn)镹ABC=NADE,所以NCAP=/ADE,故 APED.第1題因?yàn)锳O_LAP,故AO_LED.因?yàn)镕為ED的中點(diǎn)，所以O(shè)'F_LED,所以O(shè)AO'F.2 .設(shè)AB與GH交于點(diǎn)P.因?yàn)镈、E、F分別為aABC三邊中點(diǎn)，則DEAC, DFBC, EFAB.所以四邊形CEDF為平行四邊 形.故NC=NEDF.AH第2題因?yàn)镸N為。的切線，所以NMAB=NC,因?yàn)镚H為。O,的切線，故NHEF=NEDF,所以NMAB=NHEF.因?yàn)锳BEF.故NHEF=NAPH.所以NMAB=/APH.所以MNGH.DA PC

14、3 .連結(jié) AO、DO,因?yàn)?AB=AD,故NAOB=NAOD,即 AO 平分NPOD.所以=二=2.AD DO第3題設(shè)AD=AB=x,則PA=2x.因?yàn)樯?絲 =2,故AOCD.所以AD DOCD 3因?yàn)镃D=18,所以AO=12,由割線定理：PA PD=PB PC.故6x2=3AO。所以x=6，？.在APO 中，cosP=(12可+24? 一 12?212衣24= -V2 .所以 cosP=" =，挺.故 PE=±JI.所以 DE=?也.8PC 8224 .因?yàn)?BC=CD,所以NBAC=NDAC.因?yàn)镹BAC=NBDC,所以NBDC=NDAC, feACDEACAD.

15、笫4題所以生=三AC CD即 BD=13, 因?yàn)锽DV4 CF因?yàn)?BEED=CE-AE,所以 BE ED= 12.所以 BE+ED=13, 8, 7.,故 CE=2.CE + 648, 7.BC+CD=8,故 BD=7.5 .連結(jié)OD.過(guò)O作OGJ_CF,垂足為G.A第5題因?yàn)?DF 為。0 的切線，所以NODF=90” ,因?yàn)?CF，DF,OG，CF,所以NDFG=N0GF=90。.故ODFG為矩形，所以O(shè)G=DF.在RtaCDF中，DF=6,所以O(shè)G=6.因?yàn)镃G=8-7=1,故在RtZiOCG中,OC=J57.有相交弦定理：CE CD=AC BC,故10CE=（7 +西）«7

16、-扃）.所以CE=L2.6 .設(shè) P 至IJAB、AC、BC 的距離分別為 PM、PN、PQ,連結(jié) PB、PC、MQ、NQ.因?yàn)?PMAB、PQ _LBC,故P、M、B、Q四點(diǎn)共圓.所以N1=N2.同理：N3=N4.因?yàn)锽A為。O的切線，所以N1=N3, Z2=Z4.第6題同理：ZPMQ=ZPQN.故PMQs/pqn.所以也=絲.所以PQ? =PMPN.所以PQ=2#, PQ PN即P到BC的距離為2卡.7 .延長(zhǎng)DE,在圓O上取點(diǎn)P,連結(jié)AP、BP.設(shè)NDEF=a,則NBEQ=ct.第7題因?yàn)镋Q為002的切線，所以NBO2E=2a,因?yàn)锽Ch=EO2，故/0正£=90。-01.設(shè)

17、/EDF邛.同理： ZO1AD=90°-p.因?yàn)?DFE=180。-a-。，所以NAOB=2 （ct+B）,所以NAPB=a + 0,所以NAPB + NAFB=180。.故A、P、B、F四點(diǎn)共圓.所以F在圓C上.8 .連結(jié)QE、CH,因?yàn)锳D_LBC, BE_LAC,故CHLAB.故NABE=NACH.因?yàn)镻為AB的中點(diǎn)，所以 AP=BP=EP.所以NABE=NPEB.故NPEB=NACH.因?yàn)?CQ_LPQ, BE_LCA,所以 Q、C、H、E 四 點(diǎn)共圓.第8題故NEQH=NACH.所以NEQH=NPEH.故PEQsphe.所以荒二有.所以 EP,=PH-PQ.9 .連結(jié)EO、F0并分別延長(zhǎng)交BC、AC于M、N,連結(jié)BO.因?yàn)辄c(diǎn)O是AABC的外心，所以/A=N2 BOC.第9題因?yàn)?A、B、0、E 四點(diǎn)共圓，故NB0M=NA,所以NB0M=L NBOC,故NB0M=NC0M.2因?yàn)?B=0C,所以O(shè)MJ_BC,即EM_LBC.同理：FN1AC.故點(diǎn)0是CEF的垂心.所以O(shè)CJ_EF.因 為 A、B、F、E 四點(diǎn)共圓，故NA=NEFM,所以NEFM=NC0M.因?yàn)镹EMF=NCMO=90。，EF=CO,所以 EFMACOM.所以 EM=CM.故NECM=45°.10 .連結(jié) BO、BH、CO、CH.第10題因?yàn)?O 為aABC 的