平面向量地?cái)?shù)量積地性質(zhì)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)【問(wèn)題導(dǎo)思】已知兩個(gè)非零向量a，b，為 a 與 b 的夾角 .1. 若 a·b0，則 a 與 b 有什么關(guān)系？【提示】a·b0， a 0， b 0， cos 0， 90°， a b.2. a· a 等于什么？【提示】| a| ·| a|cos 0 ° | a| 2.(1) 如果 e 是單位向量，則 a·ee·a| a|cos a，e；(2) ab? a·b 0；(3)a·aa 2即 |a a·a；|a·b(4)cos a，b | a| b|

2、(| a| b| 0) ；(5)| a· b| | a| b|.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1) 交換律： a·bb·a；(2) 分配律： ( a b) ·ca·cb·c；(3) 數(shù)乘 向量 結(jié)合 律： 對(duì)任 意實(shí) 數(shù) ， ( a · b) ( a) · b a · ( b).向量的數(shù)量積運(yùn)算(2013 ·海淀高一檢測(cè) ) 已知 | a| 5，| b| 4，a 與 b 的夾角為 120°，(1) 求 a·b；(2) 求 a 在 b 方向上的射影的數(shù)量 .【思路探究】利用數(shù)量積的定

3、義及幾何意義求解 .【自主解答】(1)a·bab|cos精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案15×4×cos 120 °5×4×( 2) 10.a ×cos 1205° ，(2) | |cos525a 在 b 方向上的射影的數(shù)量為2.1. 在書(shū)寫(xiě)數(shù)量積時(shí)， a 與 b 之間用實(shí)心圓點(diǎn)“·”連接，而不能用“×”連接，更不能省略不寫(xiě) .2. 求平面向量數(shù)量積的方法(1) 若已知向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b| a| b|cos.(2) 若已知一向量的模及另一向量在該向量上的射影的數(shù)量，可利用數(shù)量積

4、的幾何意義求 a·b.1.(2013 ·玉溪高一檢測(cè) ) 已知 | a| 6，| b| 3，a·b 12，則 a 在 b 方向上的射影的數(shù)量是 ()A.4B.4C.2D.2【解析】a·b122cos<a，b> ab× ，向量 a 在向量 b 方向上的射影| |6332的數(shù)量為 | a|cos< a，b> 6× 3 4，故選 A.【答案】A2. 已知 | a| 6，e 為單位向量，當(dāng)向量 a、e 之間的夾角 分別等于 45°，90°， 135°時(shí)，分別求出a· e 及向量

5、a 在 e 方向上的正射影的數(shù)量 .【解】當(dāng)向量 a 和 e 之間的夾角 分別等于 45°， 90°， 135°時(shí)，2|a| ·|e| cos 45 ° 6× 1× 2 32；|a| ·|e| cos 90 ° 6× 1× 0 0；2|a| ·|e| cos 135 ° 6×1×( 2 ) 32.精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案當(dāng)向量 a 和 e 之間的夾角 分別等于 45°， 90°， 135°時(shí)， a 在 e 方向上的正射影

6、的數(shù)量分別為：|a ×cos 45°；|cos63 2|a ×cos 90° ；|cos60|a ×cos 135°3 2.|cos6與向量模有關(guān)的問(wèn)題已知向量 a 與 b 的夾角為 120°，且 | a| 4，| b| 2，求：(1)| ab| ；(2)|(ab) ·( a2b)|.【思路探究】利用a·aa2 或aa2求解.|【自主解答】由已知a·b| a|b|cos 4×2×cos 120 ° 4， a2 | a| 216，b2 | b| 2 4.(1) | a

7、b| 2 ( ab) 2a2 2a·bb2 162×( 4) 4 12， | ab| 2 3.(2) ( ab) · ( a 2b) a2 a·b2b2 16 ( 4) 2× 412， |( ab) ·( a 2b)| 12.1. 此類(lèi)求模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模平方，與數(shù)量積聯(lián)系 .2. 利用 a·aa2| a| 2 或| a| a2，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化 .設(shè) e1、e2 是夾角為 45°的兩個(gè)單位向量，且a e1 2e2，b2e1 e2，試求|ab 的值.|【解】abe1e2)(2e1e2)3(e1

8、e2，(2)ab|3(e1 e2)|3|e1 e23e1e22|223e1 e1·e2e232.22精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案與向量夾角有關(guān)的問(wèn)題(2014 ·濟(jì)南高一檢測(cè) ) 若向量a， b， c 兩兩所成的角均為120°，且 | a| 1，| b| 2， | c| 3，求向量 ab 與向量 ac 的夾角 的余弦值 .【思路探究】先利用已知條件，分別求出(a b·ac，a b和a)()| c| 的大小，再根據(jù)向量的夾角公式求解 .【自主解答】( ab) ·( a c) a2a·ba· cb·c9 1 1× 2

9、× cos 120 ° 1× 3× cos 120 ° 2×3×cos 120 ° 2，| ab| ab2 a2 2a·bb2 122×1×2×cos 120 ° 223，|ac|a2 a· cc2 ，279ab·a c 2321 cos| ab|ac|3× 714，321所以向量 ab 與 ac 的夾角 的余弦值是14 .1. 求向量 a，b 夾角的流程圖a·b求| a| ，| b| 計(jì)算 a·b計(jì)算 cos |

10、a| b| 結(jié)合 0 180°，求解2. 當(dāng)題目中涉及向量較多時(shí)， 可用整體思想代入求值， 不必分別求值， 以避免復(fù)雜的運(yùn)算 .(1)(2014 ·遼寧師大附中高一檢測(cè)) 若向量 a 與 b 不共線(xiàn)， a·b0，且 c·ab，則 a 與 c 的夾角為 ()a aa·b精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案A.0 B.D.6C.23(2)(2014·貴州省四校高一聯(lián)考a ，b4且(aba，則 a 與 b)若| |2 |)的夾角是 ()242A. 3B.3C.3D. 3a· aa222【解析】(1)a·c a· a a

11、3; b b a·a a·b a·baa 0，又a ，c ，ac，a 與c 的夾角為 ，故選D.002(2) 因?yàn)?( ab) a，所以 ( ab) · a a2a·b0，即 a· b a2 4，所以 cos<a，b>a·b41|ab × ，又因 <a，b> 0 ， ，所以 a 與 b 的夾| |2422，故選 A.角是 3【答案】(1)D(2)A混淆兩向量夾角為鈍角與兩向量數(shù)量積為負(fù)之間關(guān)系致誤設(shè)兩向量 e1，e2 滿(mǎn)足： | e1| 2，| e2 | 1， e1，e2 的夾角為 60&#

12、176; . 若向量 2t e1 7e2 與向量 e1t e2 的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍 .1【錯(cuò)解】由已知得 e1·e2 2× 1× 2 1，于是(2 t e17e2 ) ·( e1 t e2) 2t e21(2 t 2 7) e1·e27t e22 2t 215t 7.因?yàn)?2t e1 e2與 e1t e2 的夾角為鈍角，7所以t 2 t ，解得t 12157<07< <2.【錯(cuò)因分析】當(dāng)兩向量反向共線(xiàn)時(shí)， 其數(shù)量積為負(fù)， 但夾角不是鈍角而是平角 .【防范措施】若兩向量的夾角為鈍角， 則這兩向量的數(shù)量積為負(fù)；反

13、之不精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案成立，因?yàn)閮上蛄糠聪蚬簿€(xiàn)時(shí)，夾角為平角，即180°，其數(shù)量積也為負(fù) .1【正解】由已知得 e1·e2 2× 1× 2 1，于是(2 t e17e2 ) ·( e1 t e2) 2t e21(2 t 2 7) e1·e27t e22 2t 215t 7.因?yàn)?2t e1 e2 與 e1t e2 的夾角為鈍角，7所以t 2 t，解得t 12157<07< <2.但是，當(dāng)t e1e2 與 e1 t e2 異向共線(xiàn)時(shí)，它們的夾角為°，27180也有 2t 2 t，這是不符合題意的.157&l

14、t;0此時(shí)存在實(shí)數(shù) ，使得t e1e2 (e1 t e2 ，即t 且 t ，解得 t ±1427)272 .故所求實(shí)數(shù) t的取值范圍是 7，14141.2 2 ，21. 兩向量 a 與 b 的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)向量，其值可以為正( 當(dāng) a 0，b0,0 ° <90°時(shí) ) ，也可以為負(fù) ( 當(dāng) a 0， b 0,90 ° < 180°時(shí) ) ，還可以為 0( 當(dāng) a0 或 b0 或 90°時(shí) ).2. 數(shù)量積對(duì)結(jié)合律一般不成立，因?yàn)?( a· b) ·c| a| b|cos a，b·c

15、 是一個(gè)與 c 共線(xiàn)的向量，而 ( a· c) ·b| a| c|cos a，c ·b 是一個(gè)與 b 共線(xiàn)的向量，兩者一般不同 .3. a 在 b 方向上的射影與 b 在 a 方向上的射影是不同的， 應(yīng)結(jié)合圖形加以區(qū)分 .精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1. 對(duì)于向量 a， b， c 和實(shí)數(shù) ，下列命題中正確的是 ()A. 若 a·b 0，則 a0 或 b0B. 若 a0，則 a0 或 0C.若 a2b2，則 ab 或 a bD.若 a·b a· c，則 bc【解析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)知A、C、D錯(cuò)誤 .【答案】B2.(2013·安

16、徽高考)若非零向量a， b 滿(mǎn)足|a 3|bab，則 a 與 b|2|夾角的余弦值為 _.【解析】a a b ，兩邊平方，得a2a b2a2b 2由| |2 | |(2 )| |4| |a·b，所以 a·bb2又ab ，所以a，ba·bb 2.3| |24|cos|a|b|3| b|1 3.1【答案】33. 已知 | a| 4，| b| 6，a 與 b 的夾角為 60°，則向量 a 在向量 b 方向上的射影是 _.a 在向量 b 方向上的射影是a12.【解析】向量| |cos 6042【答案】24. 已知 | a| 4，| b| 5，當(dāng)(1) ab；(2

17、) ab；(3) a 與 b 的夾角為 30°時(shí)，分別求 a 與 b 的數(shù)量積 .【解】(1) 當(dāng) a b 時(shí)，若 a 與 b 同向，則 0°，a·b| a| b|cos 0 ° 4×520；若 a 與 b 反向，則 180°，a·b| a| b|cos 180 ° 4×5×( 1) 20.(2) 當(dāng) ab 時(shí)， <a， b> 2 .精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案a·b| a| b|cos 2 4× 5× 0 0.(3) 當(dāng) a 與 b 的夾角為 30°

18、時(shí)，a·bab°××310 3.|cos 304 52一、選擇題a ，b ， c a b 且 ca，則 a 與b 的夾角為()1.| |1 |2A.30 °B.60°C.120°D.150°【解析】ca，設(shè) a 與 b 的夾角為 ，則ab· a ，所以 a2a·b()0 0，所以 a2 | a| b|cos 0，則 1 2cos 0，所以 cos 12，所以 120°. 故選 C.【答案】C2. 若向量 a 與 b 的夾角為 60°，| b| 4，且 ( a 2b) 

19、3;( a3b) 72，則 a的模為()A.2B.4 C.6D.12【解析】( a2b) · ( a3b) a2 a·b6b2 | a| 2| a| ·| b|cos 60 ° 6| b| 2 | a| 22| a| 96 72， | a| 22| a| 240， | a| 6.【答案】CABCABCABAC3. 中，· 0，則是()A. 銳角三角形B. 直角三角形C.鈍角三角形D. 等邊三角形精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案【解析】 A ，AB·ACABAC|cos0cos A0. A 是鈍角 . ABC是鈍角三角形 .【答案】C4.(2014

20、·懷遠(yuǎn)高一檢測(cè))已知 i 與 j 為互相垂直的單位向量，ai j ，b2 i j 且a 與 b 的夾角為銳角，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ()1A.( ， 2) 2， 21B. 2，2 2C. 2，3 3，1D. ， 2【解析】a· bi j·i j) ，(2)(1 201k，則 i j ，又 a、 b 同向共線(xiàn)時(shí)， a· b ，設(shè)此時(shí) akb0)20(2 k( i j ) ，k1， 2， a、b 夾角為銳角時(shí)， 的取值范圍是 ( 2k， 2) 2，1，故選 A.2【答案】A5.(2014 ·皖南八校高一檢測(cè) ) 在OABOAOBP是AB中，已知4，

21、2，點(diǎn)的垂直平分線(xiàn) l)上的任一點(diǎn)，則 OP·AB(A.6B. 6 C.12D.12ABM1【解析】設(shè)的中點(diǎn)為OP ABOM MP·ABOM ABOA，則 ·()· 2(·1 22故選OBOB OA2(OBOA 6.B.)()【答案】B二、填空題精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案6.(2014 ·北大附中高一檢測(cè) ) 向量 a 與 b 的夾角為 120°，| a| 1，| b| 3，則 |5 ab| _.【解析】32210a·b因?yàn)?a·b | a| b|cos 120° ，所以 |5 ab| 25a2 b2

22、25 10× 3 949，所以 |5 ab| 7. 2【答案】77. 已知 ab，| a| 2，| b| 3，且 3a2b 與ab 垂直，則等于 _.【解析】(3 a2b) ( ab) ( ab) ·(3 a2b) 0，223a (2 3) a· b 2b 0.12(2 3) × 2× 3× cos 90 ° 180，312180， 2.【答案】328.(2014 ·溫州高一檢測(cè) ) 已知 a 是平面內(nèi)的單位向量，若向量b 滿(mǎn)足 b·( a b) 0，則 | b| 的取值范圍是 _.【解析】設(shè) a，b 的

23、夾角為 ，由 b·ab ，得b·ab2()0|cos| 0. 解得 | b| 0 或| b| | a|cos cos 1，所以 | b| 的取值范圍是 0,1.【答案】0,1三、解答題9. 已知向量 a、 b 的長(zhǎng)度 | a| 4，| b| 2.(1) 若 a、b 的夾角為 120°，求 |3 a4b| ；(2) 若| ab| 2 3，求 a 與 b 的夾角 .【解】(1) a·b| a| b|cos 120 °14×2× 2 4.又|3 a 4b| 2(3 a4b) 2 9a2 24a·b16b29×4

24、224×( 4) 16×22 304，精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 |3 a 4b| 4 19.(2) |ab|2(ab)2a2a·bb222a·b22(23)2，4 2a·b 4， cosa· b41 |ab4×2 .|22又 0 ， ， 3 .10.已知 a b，且a ，b ，若有兩個(gè)不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k，t ，使得|2 |1a( t 3)b 與 kat b 垂直，試求 k 的最小值 .【解】 ab， a· b 0，又由已知得 a( t 3) b · ( kat b) 0， ka2t ( t 3) b20. | a| 2， | b| 1， 4kt ( t 3) 0.k1t2t1t329t0). (3 )( )(4421639故當(dāng) t 2時(shí)， k 取最小值 16.11.(2014 ·淄博高一檢測(cè) ) 設(shè)向量 a，b 滿(mǎn)足 | a| | b| 1，且 |3 a2b| 7.(1) 求 a 與 b 夾角的大小；(2) 求 ab 與 b 夾角的大??；|3 a b|(3) 求|3 a b| 的值 .【解】(1) 設(shè) a 與 b 的夾角為 ，(3 a 2b) 29| a| 24| b| 2 12a·b7，1又| a| | b| 1， a·b2，1 | a| b|cos 2，1即