山東科技大學(xué)概率論卓相來岳嶸第六章習(xí)題解答

1、山東科技大學(xué)概率論卓相來岳 喋第六章習(xí)題解答習(xí)題六1.設(shè)總體Xn（，6），從中抽取容量為25的一個樣 本，求樣本方差S2小于9.1的概率.解XN( ,6)由(n班2(n 1),于是2(n 1)S225 19.122P S2 9.1 P - p2 2436.41 p 2 2436661 0.05 0.95.2 .設(shè)X1,X2,L 'X.是取自正態(tài)總體N(0,0.32)的樣本，試求10PXi2 1.44.i 1n2解：由上;2%于是10X2一 2_ i 1.44_2PXi2 1.44 P 2- 2 P 2 10160.1 .i 10.30.33 .設(shè)總體XN（a,4） , X1,X2, ,

2、Xn是取自總體x的一個 樣本，為樣本均值，試問樣本容量n分別為多大時 才能使以下各式成立，一 2一一1E X a0.1;2E X a 0.1;3 P X a 1 0.95.解 （1 ） 因為XN（a,：），所以 需 N（0,1）,從而 n2X a一n一 2 4,1,EX a 0.1，所以 n 40. n因為X a N(0,1)，所以4所以E(3)x2e 2 dxTTVn因為x2xe 2 dxx2萬d2三,2.2.n0.1,從而n800254.7,故 n255.1 0.95,所以0.975,而1.96=0.975,從而1.96,n 15.37，故 n 16.4 .已知總體 X N(10, 2),

3、為未知，X1,X2,X3,X4 總體 X 的 一個樣本,X-、S2分別為樣本均值和樣本方差(1)構(gòu)造一個關(guān)于X的統(tǒng)計量Y,使得Y t(3) ; ;(2)設(shè) s 1.92,求使 PX 100.95 的.解(1 ) X 10 N 0,12n 1 S223S2 n 1 , rX 102 X 10(2) p x io p22X10212t2 n 10.95,S所以 t2 n 10.025,n 4, 3.1824,S 1.92,3.0551.WS5 .為了估計總體均值，抽取足夠大的樣本,以95%的概率使樣本均值偏離總體均值不超過總 的兩個獨立樣本，算得樣本方差依次為S2 62.7 , S2 25.6,

4、若兩總體方差相等，求隨機抽取的兩個樣本的樣 本方差之比S；大于絲的概率是多少？體標準差的25%,試求樣本容量.0.250.25 P2號195%,所以當0.97513 所以樣本容量n62.6.X1,X2,從總體Xn(12,22)中抽取容量為5的樣本,X5,試求樣本的極小值小于10的概率;樣本的極大值大于15的概率.7.(1)P Xi1P min X1,X2,L ,X5 X；1011 P i 1210.5785.P X- 1210 1 P min X1,X2,L ,X51012 10 122P max X，X2，L ,X12 15 12. 5- 1151 P max X1,X2,L , X5155

5、1.510.93320.2923.從兩個正態(tài)總體中分別抽取容量為25和20學(xué)25.6c2cc rc2箸 |>F 1 F 24,19，所以 P S1rMP I 2.45 0.025.8.設(shè)X1,X2, ,Xn是總體XN( , 2)的一個樣本，樣本 方差nS-1(XiX)2，證明 D(S2)-, n 1- 2證因為J2 2(n 1),而D( 2(n 1) 2(n 1), 2.，、一 241)N(，2)的容量均為n所以 D(S2) DT-r2(nn 1(n 1)9.設(shè)X1兀分別是取自正態(tài)總體n，使的相互獨立的兩個樣本的樣本均值，試確定 得兩個樣本均值之差超過的概率大于0.0122-T；-解 X

6、；N(u,一),元N(u,),X1 J2 N(0,1),P X1 X2XiX2PF=2Xi X2220.01,n 0.995,n 2.575,n 13.10.設(shè)總體X（）,X1,X2, ,Xn為總體X的一個樣本.X,S2 分別為樣本均值和樣本方差，試求X1,X2,L ,Xn的分布律；E(X),D岡E(S2)P XiP XiXi,L Xn XnnP Xii 1nXi i 1nex X !x2 !L xn!(2) EXi所以EX 1 n iE S2 E n 1,D Xi1,2,L ,nXi2Xn 1DX i 1 1nE n 1Xi2nX1 n 22EXi2 nXn 1 i 111.從總體N（3.4

7、,62）中抽取容量為的樣本，如要求其樣本均值位于區(qū)間（145.4）內(nèi)的概率不小于0.95，問樣 本容量n至少應(yīng)取多大？36 X 3.4XN(3.4,一),N(0,1),n 6 nP 1.4X 5.4P21nX 3.4m36 n 32 /1 0.95,30.975,35.12.設(shè)樣本觀察值X1,X2, ,Xn的平均值為X,樣本方差為S2,作變換yXi得y1,y2, , yn的樣本平均值為y，樣本方差為S2,試證X a cy，S2 c2S2.nyii 11 n Xi a 1 nXic cn icn inXi11na cn所以Xcy.SX272Xii 1-2 nxcyi_ 2n a cy2acy2a

8、cy2一2c y2acyi 2nacy2 2nc y2V2nyc2s；.13.7 X1，X2,Xn是來自正態(tài)總體N( , 2)的一個樣本,試求隨機變量(Xi X) i 1的數(shù)學(xué)期望和方差解:因為E(Xi)u,DXi2，所以 E(X2) u22E(X)u,D所以一22E(X ) unE (Xii 1X)2Xi22nX22E XinE Xi 1(Xi i 1X)2,由 S2由定理2得為(Xi n 1 i 12n 1 S2X)2，得 Yn 1 S2,所以D二U 2n 1,即14.設(shè)*1工，應(yīng)來自正態(tài)總體N(0,1)的一個樣本，(1)試求常數(shù)A，B,使得A(X1 X2)2 B(X3 X4 X5)2服從

9、2分布,并且指出它的自由度；m(X： Xf) n(X3 X4 X5)2 服從F分布(2)試求常數(shù)m,使得 并且指出它的自由度解(1)因為“"0，1)，,所以 X1 _X2 N (0,1), X_X_X2 N (0,1). 由2分布 ,23的定義知(X1X2)2區(qū) X4 X5)22 223,故A 1,B L自由度n 2. 23(2 )因為X； X；-2 ,由F分布的定義知X2 X222(X3X4X5)2F 2,1 ,15.時,ini 1 ni 1n22(Xi c)Xii 1nnn22- 2-222c Xi ncXinX nX 2c Xi nci 1i 1i 12XiX n X cn 2Xi Xi 1故當c X時,n(Xii 1c)2達到最小.設(shè)X是總體X的樣本均值，試證當c又 (Xi c)2達到最小.16