二重積分的概念及幾何意義

1、二重積分的概念及幾何意義、問題的提出二、二重積分的定義三、二重積分的幾何意義、冋題的提出1.曲頂柱體的體積定義 設(shè)有一立體，它的底是 兀oy面上的閉區(qū)域D,它的側(cè)面 是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而磋 平行于z軸的柱面，它的頂是曲 面z = /（x），這里于（兀）A0且 在D上連續(xù).這樣的立體叫做曲 頂柱體.平頂柱體的體積計(jì)算體積二底面積X高/ ./ ./7丿丿曲頂柱體的體積計(jì)算以平面代曲面It曲邊梯形面積的求法= 以直線代曲線“分割近似、求和.取極限的思想方法步驟如下:先用曲線網(wǎng)把D分成個(gè)小閉區(qū)域巧，Ab?，A y Acr并取典型小區(qū)域.z = f(x,y)（纟,久）用若干個(gè)小平 頂柱體體積之 和近

2、似表示曲 頂柱體的體積曲頂柱體的體積y=啊/(知久)“1=12 求平面薄片的質(zhì)量1:1設(shè)有一平面薄片占有歡面上的閉區(qū)域D,它在 點(diǎn)（x,j）處的面密度為。（兀，y）,/?（兀,y） 0且在D上連2 （6,0）所有小塊質(zhì)量之和 近似等于薄片總質(zhì)量M呦工臨皿）人51=1二、二重積分的定義定義 設(shè)/（兀）是有界閉區(qū)域。上的有界函數(shù)將閉 區(qū)域D任意劃分成I個(gè)小閉區(qū)域ADi，AD2，A ,AD“,并 用Ab,表示第i個(gè)小閉區(qū)域的面積在每個(gè)AD,上 任取一點(diǎn)（$, %），作乘積f（ 6，7） 6，并作和如果當(dāng)畧小閉區(qū)域的輕中的最大值Z-0時(shí)，該和 的極限存在則稱此極限為函W（x,J）在閉區(qū)域D上 的二重積

3、分，記作/（兀）db,即D1=1積分和 面積元素 被積表達(dá)式積分變量被積函數(shù)nV積分區(qū)域?qū)Χ胤e分(double integral)定義的說明(1)在定義電對閉區(qū)域D的劃分 是任意的面積元素do表示積分 和中的在直角坐標(biāo)系中面 積元素dcr = dxdy, 此時(shí)二重積分為JjV(兀，y)dcr =JJ/(x,j)dxdj DD(2)如果函數(shù)f (兀)在閉區(qū)域D上連續(xù)那么它在D 上的二重積分必定存在Z+z三、二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí),二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí),二重積分是柱體體積的負(fù) 值.二重積分的幾何意義二重積分是各部分區(qū)域 上柱體體積的代數(shù)和,在 平面上方的取正,在gy平面 下方取負(fù).例根據(jù)二重積分的幾何意義判斷下例積分的值.-x2 -j2dcr, D : x2 + j2 a2,D解 投影區(qū)域?yàn)?/p>