立體幾何中的向量方法83862資料

1、立體幾何中的向量方法一、知識要點(diǎn)：1基本概念!(1) 直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與!直線I 或，則稱此向量為直線I的方向向量確定方法：在直線I上任取兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)確定的向量即為直線I的方向向量.(2) 平面的法向量：與平面的任何一個(gè)向量都可作為平面的法向量.顯然一個(gè)平面的法向量也不唯一.確定方法：平面的法向量可利用方程組求解， 設(shè)：,b是平面a內(nèi)兩個(gè) 不共線的向量，n為平面a的法向量，則求法向量的方程組為ar0, 址n = 0I其中可設(shè)n =(X, y, z)1955即時(shí)應(yīng)用：設(shè)A(0,2，e),B(1,-1, 5),C(-2,1,刁是平面a內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平!面a的法向量

2、n =(x,y,z)，則x : y : z=2空間位置關(guān)系的向量表示II(1) 直線l1,l2的方向向量分別為n 1, n2，則 |1 II |2：= ni “ n2 二 ni =亦2 ; I1X l2：= ni 丄 n2：= ni n2 = 0(2) 直線I的方向向量為n，平面a的法向量為m，貝 I I a二 n 丄 m n m = 0; I丄 a二 n I m = n = 7m(3) 平面a B的法向量分別為n和m，貝Sa I B n I m = n = 7m ； a丄B n丄 m = n m =0【即時(shí)應(yīng)用】 若平面a B的法向量分別為a =(-1,2,4), b =(x, -1, -2

3、),并且a丄B，貝S x的值為.II(2)若直線l1,l2的方向向量分別為a =(2,4,-4), b =(-6,9,6),則直線l1,l2的位置關(guān)系是 .3空間角的向量求法 (1)異面直線所成角的求法：II|a|b|設(shè)a、b分別是兩異面直線h , I2的方向向量，h與12所成角為B,II貝y COS0=|COS<a ,b >|= (2)直線和平面所成角的求法II如圖所示，設(shè)直線I的方向向量為e，平面a的法向量為n,II直線I與平面a所成的角為©，兩向量e與n的夾角為0，貝卩有sin© =|cos 0 |=|e| n|二面角的求法 如圖a，AB、CD是二面角a

4、-I- B的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱I垂直的直T線，則二面角的大小0 = < AB ,CD >. 如圖b、C，ni和壓分別是二面角a-l-B的兩個(gè)半平面a， B的法 向量，則二面角的大小 0滿足cos0=cos<h1, n2 >或-cos<1，: >【即時(shí)應(yīng)用】(1) 已知向量m和n分別是直線I和平面a的方向向量和法向量，1若cos<m,n >= -q,則I與a所成角的大小為 .(2) 長方體 ABCD A1B1C1D1 中，AB=AAq=2, AD=1 , E 為 CCq的中點(diǎn)，則異面直線BCq與AE所成角的余弦值為 4.點(diǎn)到平面的距離的向量求法I如圖

5、，設(shè)AB為平面a的一條斜線段，n為平面a的法向量則點(diǎn)B到平面a的距離d= |川(即向量AB在向量n上的投 / "厶4|n|人影長)【即時(shí)應(yīng)用】已知在長方體ABCD A1B1C1D1中，底面是邊長為2的正方形，高為4,則點(diǎn)Aq到截面ABqDq的距離是.二、應(yīng)用舉例1利用空間向量證明平行和垂直1) 用向量證平行的方法(1) 線線平行：證明兩直線的方向向量共線.(2) 線面平行:證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行.(3) 面面平行:證明兩平面的法向量為共線向量；轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題2).用向量證明垂直的方法線線垂直：證明兩直線

6、所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量 積為零.(2)線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂 直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ?用向量表示.II【例1】(i)若直線I的方向向量為a，平面a的法向量為n，能使I / a的是()IIII(A) ； =(1,0,0), n =(- 2,0,0)(B) a =(1,3,5), n =(1,0,1)IIII(C) a =(0,2,1), n =(- 1,0,- 1)(D) a =(1, -1, 3), n =(0,3,1)(2)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中,PC丄平面 ABC

7、D,PC=2,在四邊形ABCD 中，/ B= / C=90° ,AB=4,CD=1,點(diǎn) M 在 PB 上,PB=4PM,PB 與P平面ABCD成30°的角 求證:CM /平面PAD; 求證:平面PAB丄平面PAD.2用空間向量求空間的角1) 異面直線所成角的求法利用空間向量求異面直線所成的角可利用直線的方向向量轉(zhuǎn)化成向 量所成的角2) 利用向量求線面角的方法(1) 分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2) 通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所 夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角3求二面角的常用

8、方法(1)分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求 角的大小.(2)分別在二面角的兩個(gè)平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小【例2】如圖，在五面體 ABCDEF中，F(xiàn)A丄平為EC的中點(diǎn)，BC面 ABCD, AD / BC / FE , AB 丄 AD , M1AF=AB=BC=FE= ?AD(1)求異面直線BF與DE所成角的大小;證明：平面 AMD丄平面CDE ;(3)求二面角A-CD-E的余弦值3求空間的距離求平面a外一點(diǎn)P到平面a的距離的步驟<(1) 求平面a的法

9、向量n ；(2) 在平面a內(nèi)取一點(diǎn)A,確定向量AP的坐標(biāo)； 代入公式d=也洌求解.|n|【例3 (1)在棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則點(diǎn)C1到平面A1ED的距離是(2)已知正方體 ABCD-A1B1C1D1的棱長為a. 求點(diǎn)C1到平面AB1D1的距離； 求平面CDD1C1與平面AB1D1所成的二面角的余弦值.4用空間向量解決探索性問題探索性問題的類型及解題策略探索性問題分為存在判斷型和位置判斷型兩種：(1)存在判斷型存在判斷型問題的解題策略是：先假設(shè)存在，并在假設(shè)的前提下進(jìn)行推理，若不出現(xiàn)矛盾則肯定存在，若出現(xiàn)矛盾則否定假設(shè).(2)位置判斷型 與平行、垂直

10、有關(guān)的探索性問題的解題策略為：將空間中的平行與垂直轉(zhuǎn)化為向量的平行或垂直來解決 與角有關(guān)的探索性問題的解題策略為：將空間角轉(zhuǎn)化為與向量有關(guān)的問題后應(yīng)用公式COS0=凸込(其中；,n2是兩平面的|n1|n2|法向量或兩直線的方向向量)即可解決.【例4】如圖，在三棱錐 P-ABC中，AB=AC , D為BC的中點(diǎn)，PO丄平面ABC ,垂足0落在線段 AD上，已知BC=8, PO=4, A0=3 , 0D=2 (1)證明：AP丄BC;(2)在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-B為直二面角?若存在，求出AM的長；若不存在， 請說明理由.【例5】如圖，四棱錐P-ABCD中，PA丄底面 ABCD.四邊