初一升初二數(shù)學(xué)暑期銜接資料(通用版)

1、教育初一升初二暑期培優(yōu)教材（數(shù)學(xué)）目錄第一部分溫故知新專題一整式運(yùn)算1專題二乘法公式3專題三平行線的性質(zhì)與判定9專題四三角形的基本性質(zhì)11專題五全等三角形14專題六如何做幾何證明題17專題七軸對(duì)稱22第二部分提前學(xué)習(xí)專題一勾股定理25專題二平方根與算數(shù)平方根29專題三立方根32專題四平方根與立方根的應(yīng)用 35專題五實(shí)數(shù)的分類39專題六最簡(jiǎn)二次根式及分母有理化42專題七非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用46專題八二次根式的復(fù)習(xí)49第一部分一一溫故知新專題一整式運(yùn)算知識(shí)回頑1 .由數(shù)字與字母 組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。單項(xiàng)式中的 叫做單項(xiàng)式的系數(shù)單項(xiàng)式中所有字母的 叫做單項(xiàng)式的次數(shù)2 .

2、幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式多項(xiàng)式中 叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)3 .單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為4 .整式加減實(shí)質(zhì)就是 后5 .同底數(shù)哥乘法法則：am an am n （m.n都是正整數(shù)）；逆運(yùn)算am n 6 .哥的乘方法則：am n （m.n都是正整數(shù)）；逆運(yùn)算amn 7 .積的乘方法則：abn （n為正整數(shù)）；逆運(yùn)算anbn 8 .同底數(shù)哥除法法則：am an am n （aw。，m.n都是正整數(shù)）；逆運(yùn)算am n 9 .零指數(shù)的意義：a° 1a 0；110 .負(fù)指數(shù)的意義：a p a 0, P為正整數(shù)11 .整式乘法：（1）單項(xiàng)式品X單項(xiàng)式；（2）單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式；（3）多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式12

3、.整式除法：（1）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式；（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式典例精析知識(shí)點(diǎn)1.單項(xiàng)式多項(xiàng)式的相關(guān)概念歸納：在準(zhǔn)確記憶基本概念的基礎(chǔ)上，加強(qiáng)對(duì)概念的理解，并靈活的運(yùn)用例1.下列說(shuō)法正確的是（）5 ab5A.沒(méi)有加減運(yùn)算的式子叫單項(xiàng)式B.5-ab的系數(shù)是 533C.單項(xiàng)式-1的次數(shù)是0 D.2a2b 2ab 3是二次三項(xiàng)式例2.如果多項(xiàng)式3xm 2n 1 x 1是關(guān)于x的二次二項(xiàng)式，求 m n的值知識(shí)點(diǎn)2.整式加減歸納：正確掌握去括號(hào)的法則，合并同類項(xiàng)的法則221例3.多項(xiàng)式x 3kxy 3y -xy 8中不含xy項(xiàng)，求k的值3知識(shí)點(diǎn)3.哥的運(yùn)算歸納：哥的運(yùn)算一般情況下，考題的類型均以運(yùn)算法則的逆運(yùn)

4、算為主，加強(qiáng)對(duì)哥的逆運(yùn)算的練習(xí)，是解決這類題型 的核心方法。例4.已知am 3,an 5求（1）a2m3n的值 a3m 2n的值例5.計(jì)算（1）2011314201024 -311(2)一20120102知識(shí)點(diǎn)4.整式的混合運(yùn)算歸納：整式的乘法法則和除法法則是整式運(yùn)算的依據(jù)，注意運(yùn)算時(shí)靈活運(yùn)用法則。1例6.先化簡(jiǎn)，再求值：a2b 2ab2 b3 b a b a b ,其中a - ,b 12知識(shí)點(diǎn)5.運(yùn)用哥的法則比較大小歸納：根據(jù)哥的運(yùn)算法則，可以將比較大小的題分為兩種：化為同底數(shù)比較；化為同指數(shù)比較例 7.比較大?。?） a 355,b 444,c 533（2） a 841,b 1631,c

5、3225過(guò)手訓(xùn)練1.若A是五次多項(xiàng)式,B是三次多項(xiàng)式，則 A+B-一定是A.五次整式B.八次多項(xiàng)式C.三次多項(xiàng)式D.次數(shù)不能確定2 .已知a 8131, b 2741, c 961 ,則a、b、c的大小關(guān)系是（）avbvc D .b>c>a3 .若 2x 4y 1, 27 y 3x 1 ,則 x y 等于(A . - 5 B. -3 C. -1D.14 .下列敘述中，正確的是（）A.單項(xiàng)式x2y的系數(shù)是0,次數(shù)是3C.多項(xiàng)式3a3b 2a2 1是六次三項(xiàng)式5 .下列說(shuō)法正確的是（）A.任何一個(gè)數(shù)的0次方都是1 B.B.a 、兀、0、22都是單項(xiàng)式D.m是二次二項(xiàng)式2多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的

6、和是多項(xiàng)式C.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式D.多項(xiàng)式至少有兩項(xiàng).0121216 .下列計(jì)算：(1)1(1)12 23a2(a 0)23a2(a2)m ( am)2 a3 a2 4 a3正確的有()aA. 2 個(gè) B. 3 個(gè) C. 4 個(gè) D. 5 個(gè)7 .在ax 3y與x y的積中，不想含有 xy項(xiàng)，則a必須為 22328 .右apa 8 a 3aq中不含有a和a項(xiàng)，則p , q .9 .比較大小20141110075242012(1) a 9 ,b 27 ,c 81(2) a 2 ,b 3(3) a 2 ,b 4 ,c 512005200610 .計(jì)算(1)220-2 3(2)22135專題

7、二乘法公式知識(shí)回顧1.平方差公式： a b a b a2 b2平方差公式的一些變形：(1)位置變化：a b b a a2 b2(2)系數(shù)變化：3a 5b 3a 5b 9a2 25b2(3)指數(shù)變化：m3n2 m3 n2 m6n4(4)符號(hào)變化： ab a b = a2b2b2 a2(5)數(shù)字變化：98X 102= (100-2 ) X ( 100+2) =10000-4=9996(6)增項(xiàng)變化：x y z x y z x z 2y2 x2 2xzz2 y2(7)增因式變化：a b a b a2 b2a4 b4 a2 b2 a2b2a4 b4 8. 8a b2.完全平方公式:a b 2 a2 2

8、ab b2, a b 2 a2 2ab b2完全平方公式的一些變形：(1)形如a b c 2的計(jì)算方法(2)完全平方公式與平方差公式的綜合運(yùn)用2ab c 2abe2a4a22_2b 2bc c(3)騫的運(yùn)算與公式的綜合運(yùn)用2a2 -2b 2ab4a2b216a48a2b2b4(4)利用完全平方公式變形，求值是一個(gè)難點(diǎn)。已知:b,ab的值，求：ab22ab已知:b,ab的值，求：ab22ab已知:b,a2b2的值，求:ab2.2a b已知:2b, a b或 a b , a（5）運(yùn)用完全平方公式簡(jiǎn)化復(fù)雜的運(yùn)算2299921000 11000000典例精析知識(shí)點(diǎn)1.平方差公式的應(yīng)用 例1.計(jì)算下列各

9、題,八 121(1)x y3212y2的值，求：ab20001 998001 axbyaxby(3)999x 1001例2.計(jì)算（1） 21 221 24220061(2)2012_2_一 一20122011 2013知識(shí)點(diǎn)2.完全平方公式一 、一1例3.計(jì)算（1） x y2(2)2ca b 2c例4.已知a b 3,ab1.求（1）,2b (2)b2例5.已知x y 5, x y 1 ,求xy的值知識(shí)點(diǎn)3.配完全平方式求一次項(xiàng)系數(shù)（2個(gè)答案）求另一個(gè)平方項(xiàng)（1個(gè)答案） 求另歸納：配完全平方式求待定系數(shù)有三種情況，個(gè)平方項(xiàng)白底數(shù)（2個(gè)答案）m的值為（例6.已知4x2 8x m是一個(gè)完全平方式，

10、則A.2 B.2 C. 4 D.4知識(shí)點(diǎn)4.技巧性運(yùn)算歸納：觀察規(guī)律，找突破口，準(zhǔn)確判斷是添項(xiàng)還是拆項(xiàng)，熟記常見(jiàn)題型例6.（1-1） （1+1） （1-1） （1 + 1） （1-二）22334（1 + 1） . 一（1 ） （1 + -） 41010一 111例 7. （1- ）（1-3）（1- 丁）223242GV-11111例 8. （1+） （1 + 不）（1 + 二）（1 + -8） （1+-I6-） 2222428216232例 9. 1990 2 -1989 2 +1988 2-1987 2 +22-1過(guò)手訓(xùn)練1 .已知 m+=2, mn= -2 ,則 m2 +n2 的值為（）A

11、.4B.2C.16D.82 .若n為正整數(shù)，且x2n7,則（3x3n）2 4（x2）2n的值為（）A.833B.2891C.3283D.12253 .若 a b 2, a c 1,則（2a b c）2 （c 2）2等于（ ）A.9B.10C.2D.14 .下列說(shuō)法正確的是（）A . 2x3 的項(xiàng)是 2x, 3 BC . x2+2xy+y2與一y都是多項(xiàng)式55 .若單項(xiàng)式3xmy2m與2x"2y8的和仍是.x 1和1 1都是整式xD . 3x2y 2xy+1是二次三項(xiàng)式個(gè)單項(xiàng)式，則 m n的值分別是（A . 1, 5 B . 5, 1 C . 3, 4 D . 4, 36.下列多項(xiàng)式中

12、是完全平方式的是A.2 x2+4x 4B.16 x28y2+1C.92a -12a+4D.x2y2+2xy+y27.若a- 1=2,aa2+ 4的值為（ a8.如果多項(xiàng)式mxA. ± 3B.39是一個(gè)完全平方式，則C.m的值是（±6D.69. 3(22 1)(241)(281）K （232 1） 1的個(gè)位數(shù)字為（A. 2 B. 4C. 6 D. 810.下列敘述中，正確的是（A.單項(xiàng)式x2y的系數(shù)是0,次數(shù)是3C.多項(xiàng)式3a3b 2a2 1是六次三項(xiàng)式B.a71、0、22都是單項(xiàng)式11.下列說(shuō)法正確的是（A.任何一個(gè)數(shù)的0次方都是1C.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式B.D.D.

13、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式 多項(xiàng)式至少有兩項(xiàng)12.下列計(jì)算:(1)0“(1)2122 2 3a 22工(a 0)(a2)m ( am)2 3a2A.a3正確的有（B. 3 個(gè) C. 4D. 513.已知,x、y是非零數(shù)，如果xyx y14. ab2b415.乘積13"1- 2200016.mx15(x3)(x17.已知3, ab22a ab b(a b)2 =18.已知2 11, a7 ,則ab的值是19.已知3,的值為20.已知21.5,ab3,貝Ua2b2的值為時(shí),多項(xiàng)式4x2 9y2 4x 12y 1有最小值，此時(shí)這個(gè)最小值是-222.若 a b2b 1 0,則 ab2ab 3

14、 ab 1的值是44223.若1 4-2 0,則2的值為 xxx0224 .若X 32 3x 6 有意義，則x的取值范圍是25 .若代數(shù)式x2y2 14x 2y 50的值為0,貝U x , y 200 0226 .計(jì)算234 1050.1的結(jié)果為27 .已知 x2 x 1 0,則 x2000 x1999 x1998 的值為 .28 .多項(xiàng)式a3 lab4 am 1b 6是一個(gè)六次四項(xiàng)式，則m .229 .若代數(shù)式2a2 3a 7的值是8,則代數(shù)式4a2 6a 9的值為 30 .已知 x xy 20, xy y 12,貝U x y 的值為 60062001 ,31 .計(jì)算 20.125 的結(jié)果為

15、.332 .已知 2H29 ,則 x=.100022 ZZT225224833 .若 m n 3,則 2m2 4mn 2n2 6 的值為34 . (1) 9 10 1102 1104 1137.計(jì)算:4 321 34 132006135.若 x y 8, x2 y248 ,求y-x的值36. (1)若 x y 9,xy 16,求 x2y2(2)已知 x y 216, x y 24 ,求 xy 的值38.已知 x2y225,x y 7 ,且 x>y,求 x-y 的值39.已知 a b 1, a b 3,求 a2 3ab b2 的值.40.已知 a b=2, b c=3,求 a2+b2+c2

16、abbcca 的值.專題三平行線的性質(zhì)與判定知識(shí)回顧1 .平行線的判定（1）同位角相等，兩直線平行（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行2 .平行線的性質(zhì)（1）兩直線平行，同位角相等（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)3 .余角性質(zhì)：或 的余角相等補(bǔ)角性質(zhì)：或 的補(bǔ)角相等典例精析例1.如圖,AB,CD< EF所截，且/ AEGW CFG,EM,FN另1J平分/ AEG / CFG 求證:EM/ FN例2.如圖,直線例2圖AB/ CD MH GWHJ平分/例3.如圖，已知 AB/ CD分別探索下列兩個(gè)圖中/ B, ZD, /E之間的關(guān)系例4.已知，

17、AB/ CD / ABE和/ CDE的平分線相交于 F點(diǎn)，/ E=140° ,求：/ BFD的度數(shù)（例4圖）過(guò)手訓(xùn)練1 .已知，AB/ CD / DCB=70 , / CBF=20 , / EFB=130° ,求證：EF/ AB2 .如圖，已知 AB/ CD,分別探索下列三個(gè)圖中/B,/D,/E之間的關(guān)系3 .如圖，已知 AB/ CD,猜想下列三個(gè)圖中/ B,/D,/E, /F之間的關(guān)系4 .如圖，已知11/ 12, MN分別和直線11、12交于點(diǎn)A B, ME分別和直線11、12交于點(diǎn)C D.點(diǎn)P在MNk （ P點(diǎn)與A B、M三點(diǎn)不重合）.（1）如果點(diǎn)P在A B兩點(diǎn)之間運(yùn)

18、動(dòng)時(shí)/“、/3、/丫之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)如果點(diǎn)P在A B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)/a、/3、/丫有何數(shù)量關(guān)系？(只須寫(xiě)出結(jié)論)專題四三角形的基本性質(zhì)知識(shí)回顧1 .三角形三邊的關(guān)系(1)三角形任意兩邊之和大于第三邊(2)三角形任意兩邊之差小于第三邊設(shè)a, b, c為三角形的三邊，用不等式表示三邊的關(guān)系 2 .三角形內(nèi)角和定理及推論(1)定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°(2)直角三角形的兩個(gè)銳角互余3 .三角形的外角(1)定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角(2)三角形外角性質(zhì)。三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的 三角形的外角和等于 4 .三角形具有穩(wěn)定性5 .三角形中的三

19、種重要線段(1)三角形的角平分線：三角形內(nèi)一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段，叫做 三角形的角平分線。(2)三角形的中位線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做三角形的中位線(3)三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線注意：(1)三角形的角平分線、中線、高線都是 ;角的平分線是 (2)三角形的三條角平分線、三條中線均相交于三角形 一點(diǎn)：三角形的三條高線：銳角三角形在三角形 ;鈍角三角形在三角形 ;直角三角形在三角形 典例精析知識(shí)點(diǎn)1.三角形三邊的關(guān)系歸納：三角形三邊的關(guān)系常用來(lái)判斷三條已知線段能否構(gòu)成

20、三角形，確定三角形第三邊的范圍，以及證明線段的不等關(guān)系。三角形邊長(zhǎng)問(wèn)題中，一定要注意判斷三角形的存在性。例1.如果三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為23cm和10cm,第三邊與其中一邊的長(zhǎng)相等，那么第三邊的長(zhǎng)為cm例2.在4ABC中，AB=AC中線BD把4ABC的周長(zhǎng)分為15和6兩部分，求 ABC#邊的長(zhǎng)知識(shí)點(diǎn)2.三角形內(nèi)角與外角 歸納：(1)在角的計(jì)算中，盡量轉(zhuǎn)化在同一三角形內(nèi)，根據(jù)內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算(2)三角形外角性質(zhì)是非常重要的知識(shí)點(diǎn)，通常結(jié)合角平分線、高線及三角形內(nèi)角定理來(lái)解題較為常見(jiàn)例3.如圖，某零件中/ BAC=90 , / B, / C應(yīng)分別是21°和32檢驗(yàn)工人量得/ BDC=1

21、48 ,就斷定此零件不合格，為什么?例5.如圖，射線 AD BE, CF構(gòu)成如圖所示的角，求/ 1+/2+/3等于多少?過(guò)手訓(xùn)練1.已知三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)比是1:5:6 ,則最大內(nèi)角的度數(shù)為(A. 6 0°B , 7 5 °C. 9 0°D.2 .現(xiàn)有2cm. 4cm. 5cm. 8c m長(zhǎng)的四根木棒，任選三根組成 一個(gè)三角形，那么可以組成三角形的個(gè)數(shù)為(A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)3 .已知 A B C為直角三角形，/ C= 9 0 ° ,若沿圖中虛線剪去/ C, 則/1+/2等于4 .直角三角形兩個(gè)銳角的平分線所構(gòu)成的鈍角是 度5

22、 .已知ABC 中，CD 為中線，AC=3cm, B C =4cm 則ACD與AB CD的周長(zhǎng)相差 6 .如圖，ABC 中，/ A=40° , Z ACB= 1 0 4° ,)12 0)BD為AC邊上的高，BE平方/ABC,求/ B E C與/ E B D的度數(shù),B例4.已知 ABC中，/ C=Z ABC=2 A, BD是AC邊上的高，求/ DBC的大小7.已知ABC, (1)圖1,若P點(diǎn)是/ABC和/AC B的角平分線的交點(diǎn)，求/P與/ A的關(guān)系 (2)圖2,若P點(diǎn)是/ABC和外角/ACE的角平分線的交點(diǎn)，求/P與/A的關(guān)系(3)圖3,若P點(diǎn)是外角/C B D和/B C

23、E的角平分線的交點(diǎn)，求/P與/ A的關(guān)系圖3專題五全等三角形知識(shí)回顧1.全等三角形的性質(zhì)(1)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等(2)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等(3)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高，中線以及對(duì)應(yīng)角的平分線 (4)全等三角形的周長(zhǎng)、面積 2.三角形全等的判定(1)三邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱SSS)(2)兩邊及夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱 SAS(3)兩角及夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱 ASA(4)兩角及其一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱 AAS(5)斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(簡(jiǎn)稱HL)注意：兩邊一角(SSA和三角(AAA對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定

24、全等典例精析知識(shí)點(diǎn)1.三角形全等的證明問(wèn)題歸納：靈活運(yùn)用三角形全等證明線段的關(guān)系及角與角之間的關(guān)系是三角形全等中常見(jiàn)的問(wèn)題。例 1.如圖，一直/ DCE=90 , CD=CE,AD_ AC于 A, BEX AC于 B,試說(shuō)明 AB+AD=BE例2.如圖，在 MN沖，/ MNP=45 , H是高 MQ NR的交點(diǎn)，證明： HN=PM例2圖知識(shí)點(diǎn)2.多次證明三角形全等歸納：有些線段或角的問(wèn)題只用一次三角形全等無(wú)法證明，所以，需要進(jìn)行例 3.如圖，AB=CD AE=DF CE=BF 求證：BE/ CF2次證明三角形全等。知識(shí)點(diǎn)3.三角形中的和、差、倍、分問(wèn)題截長(zhǎng)或補(bǔ)短的方法歸納：利用三角形全等來(lái)證明

25、線段的“和”“差” “倍”“分”,一般采用 截長(zhǎng)法：就是在長(zhǎng)線段上截取一段，使截取的線段等于兩條線段中的一條線段，然后證明剩下的線段等于兩條短 線段中另一條線段。當(dāng)遇到角平分線時(shí)，以角平分線為公共邊在較長(zhǎng)的邊上截取相等部分的方法，構(gòu)造三角形全等例 4.如圖，AD/ BC /1 = /2, /3=/4,點(diǎn) D E、C在同一直線上，證明： AD+BC=AB補(bǔ)短法：就是延長(zhǎng)兩條短線段中的一條線段，使延長(zhǎng)線的部分等于兩條短線段中的另一條線段，再證明延長(zhǎng)后的 線段等于長(zhǎng)線段當(dāng)遇到中線時(shí)，通常延長(zhǎng)中線一倍，采用補(bǔ)短的方法，構(gòu)造三角形全等例5.如圖，。為乙ABC的邊BC上的一點(diǎn)，且 CD=AB / ADB=

26、 BAD AE是 ABD的中線, 求證：AC=2AE例5圖過(guò)手訓(xùn)練)B.D.1.下面兩個(gè)等腰三角形一定全等的是（A.邊長(zhǎng)分別為2和3的兩個(gè)等腰三角形C.邊長(zhǎng)分別為4和7的兩個(gè)等腰三角形邊長(zhǎng)分別為3和5的兩個(gè)等腰三角形邊長(zhǎng)分別為5和11的兩個(gè)等腰三角形2.如圖,AB=AC,AD=AE,AB,Db于點(diǎn) M AC,BE 交于點(diǎn) N, / DAB=Z EAC 證明：AM=AN3.如圖，在 ABC 中，/ 1 = /2, /ABC=2 C,求證：AB+BD=AC第3題圖4.如圖，在 ABC中，AD是/ BAC的平分線，E是BC中點(diǎn)，過(guò)E做EF/ AD,交AB于G 交CA的延長(zhǎng)線于 F,求證:BG=CF5

27、.如圖，在 RtABC中,AB=AC / BAC=90,/ 1 = Z2, CEL BD, CE 交 BD 的延長(zhǎng)線于 E,求證：BD=2CE6.證明：在直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于 90°角所對(duì)的斜邊的一半專題六如何做幾何證明題知識(shí)回顧1 .幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問(wèn)題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類 型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問(wèn)題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可 轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問(wèn)題。2 .掌握分析、證明幾何問(wèn)題的常用方法：(1)綜合法(由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過(guò)有關(guān)定義、定理、

28、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問(wèn)題的解決；(2)分析法(執(zhí)果索因)從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；(3)兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來(lái)，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思 考問(wèn)題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。3.掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的目的。典例精析1、證明線段相等或角相等兩條線段或

29、兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問(wèn)題最后都可化歸為此類問(wèn)題來(lái)證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分 線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。例 1.已知：如圖所示，ABC 中， C 90 , AC BC, AD DB, AE CF 。求證：DEE= DFA分析：由 ABC是等腰直角三角形可知，A B 45 ,由D是AB中點(diǎn)，可考慮連結(jié) CD易得CDA D,DCF 45。從而不難發(fā)現(xiàn) DCF DAE說(shuō)明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用

30、的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié)CD因?yàn)镃D既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本題亦可延長(zhǎng) ED到G,使DG= DE連結(jié)BG證 EFG是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不妨一試。例2.已知：如圖所示， AB= CD AD= BC AE= CR求證：/ E= Z F說(shuō)明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時(shí)應(yīng)注意：(1)制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量；(2)添輔助線能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形。2、證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來(lái)證，也可通過(guò)邊對(duì)應(yīng)成比例、三角形

31、中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90° ,或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來(lái)證。例3.如圖所示，設(shè) BR CQ ABC的內(nèi)角平分線，AH AK分別為A到BR CQ的垂線。 求證：KH/ BCAQ 'PKH分析：由已知，BH平分/ ABG 又BH!AH,延長(zhǎng)AH交BC于N,則BA= BN,AH= HN同理，延長(zhǎng)AK交BC于M 則CA= CM AK= KM從而由三角形的中位線定理，知KH/ BG說(shuō)明：當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時(shí)，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把一 個(gè)直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對(duì)稱）而成一個(gè)等腰三角形

32、。DC。求證：FD± ED例4.已知：如圖所示，AB= AC /A 90 , AE BF, BD說(shuō)明:說(shuō)明:證明兩直線垂直的方法如下:有等腰三角形條件時(shí)，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。(1)(2)(3)證明二直線的夾角等于90°。3、證明一線段和的問(wèn)題（一）在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長(zhǎng)法）例5.已知：如圖，在ABC 中,60 , / BAC / BCA勺角平分線AD CE相交于 O 求證：AC= AE+ CD析：在AC上截取AF =AE o 易知 AEO AFO ,6 601,602,1204 60首先

33、分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，見(jiàn)本題證二。找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個(gè)銳角互余。FOCD OC, FC DC（二）延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長(zhǎng)線段。（補(bǔ)短法）例6.已知：如圖7所示，正方形 ABC甌，F(xiàn)在DC上，E在BC上，EAF 45 。求證：EF= BE+ DF分析：此題若仿照例1,將會(huì)遇到困難，不易利用正方形這一條件。不妨延長(zhǎng)CB至 G 使 BG= DE過(guò)手訓(xùn)練1.如圖，四邊形 ABC珅，AD/ BC點(diǎn)E是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若/B= 60 , AB= BC 且/ DEC= 60 ;求證：B

34、C= AD+ AE2 .如圖所示，已知ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)B3JD,延長(zhǎng)BA到E,并且使AE= BD連結(jié)CE DE 求證：EC=ED3 .已知如圖，在 RtABC中，AB=CD / ABC=90 , / ABDh DBC CH BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,證明：BD=2CEECD4 .圖(1)中,C點(diǎn)為線段AB上一點(diǎn),ACMACBN等邊三角形,AN與BM相等嗎？說(shuō)明理由；如圖(2) C點(diǎn)為線段AB上一點(diǎn),等邊三角形 ACMF口等邊三角形 CBNB AB的異側(cè)，此時(shí)AN與BMf等嗎 涵明理由,AN與BM相等嗎？如圖(3) C點(diǎn)為線段AB外一點(diǎn),ACM CBN是等邊三角形說(shuō)明理由。圖(2)圖圖專題七

35、生活中的軸對(duì)稱知識(shí)回顧1 .角平分線(1)角平分線上的一點(diǎn)到角兩邊的 相等(2)角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)，一定在這個(gè)角的 2 .線段垂直平分線(1)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)的 相等(2)到線段的兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的 3 .等腰三角形(1)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等，兩邊相等的三角形叫做等腰三角形(2)等腰三角形底邊上的中線、高線、頂角的角平分線重合叫做“”(3)等邊三角形：是特殊的等腰三角形，其中有一個(gè)角為60。的等腰三角形是等邊三角形等邊三角形同樣具備“三線合一”的性質(zhì)4 .含30°的直角三角形在直角三角形中30°

36、所對(duì)的直角邊等于 90°角所對(duì)的斜邊的一半典例精析知識(shí)點(diǎn)1.角平分線及線段垂直平分線1 .如圖，AD為等腰直角三角形 ABC的底角平分線，/ C=90° ,AB,2 .如圖， ABC中，AB=10, AC=6.BC的，平分線分別交 AB, B*點(diǎn)E,D.求： ACE的周長(zhǎng)3 .如圖，在 RtABC中，/ C=90° , / CAB的平分線求，/ B的度數(shù)知識(shí)點(diǎn)2.等腰三角形與等邊三角形20° ,則頂角為多少度?例4.等腰三角形的一腰上的高于另一腰的夾角為例5.如圖，在 ABC中，AB=AC E為BC中點(diǎn)，BD± AC,垂足為 D,若/ EAD=

37、20求：/ ABD的度數(shù)例6.如圖，在等邊4 ABC的AC邊上取中點(diǎn) D, BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) E?恒We=CD證明：BD=DE4.如圖，口£是4 ABC中AB邊的垂直平分線，分別交AB, BC與 D, E, AE平方/ BAC過(guò)手訓(xùn)練1 .如圖，DE是AC的垂直平分線， AB=10cm BC=11CM則 ABD的周長(zhǎng)為 cm2 .如圖，在 ABC內(nèi)有一點(diǎn) D,且 DA=DB=DC若/ DAB=20 , / DAC=30 ,貝U/ BDC=度3 .如圖， ABC為等邊三角形，/ BAD=/ CBE=/ ACF則/ BEC=度求證：BD=CEED第5題圖6.如圖， ABC AB=AC

38、 D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，且 BD=CE連接 試探究DF與EF的數(shù)量關(guān)系DE交BC于F,若/ B=30° ,求/ C的度數(shù)5 .如圖，在 ABC中，AB=AC,D,E者B在 BC上，且 AD=AE第二部分提前學(xué)習(xí)專題一勾股定理知識(shí)點(diǎn)歸納一、勾股定理：1 .內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。2 .表布方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a ,b , 斜邊為c ,那么a2 +b2 =c2 。、勾股定理的證明：常用的是拼圖法用拼圖法驗(yàn)證勾股定理的思路是：1）圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積是不會(huì)改變的;2)根據(jù)同一圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推

39、到出勾股定理。常見(jiàn)的方法如下： 方法一：做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為 正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.a、b,斜邊長(zhǎng)為c,再做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的從圖上可以看到,這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是a + b ,所以面積相等.即14 ab214 ab2,整理得以a、b為直角邊，以三角形拼成如圖所示形狀，使 上.c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形,A E、B三點(diǎn)在一條直線上，則每個(gè)直角三角形的面積等于B、F、C三點(diǎn)在一條直線上,1一 ab2.把這四個(gè)直角C、G D三點(diǎn)在一條直線AHE =/ BEFAEH +/ AHE =90oAEH +/ BEF =:90 oHEF =180o

40、 90o Rt A HAE 9 Rt A EBF,=90 o .四邊形EFGH一個(gè)邊長(zhǎng)為c的 正方形.它的面積等于c2.Rt A GDH 9 Rt A HAE,/ HGD = / EHA / HGD + /GHD = 90o , / EHA + Z GHD = 90o .又 / GHE = 90o ,/ DHA = 90o + 90 o = 180 o .ABCD 是個(gè)邊長(zhǎng)為a + b124 - ab c2的正方形，它的面積等于 a b 2方法三：以a、b為直角邊（b>a）,以c為斜方法二:邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角1 ab三角形的面積等于 2.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形

41、狀. Rt A DAH 色 Rt A ABE,/ HDA = / EAB / HAD + Z HAD = 90o , / EAB + Z HAD = 90o , ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，它的面積等于c2. EF = FG =GH =HE = b a ,/ HEF = 90 o .EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為4 1ab b a 22-22-2.a b c .三、勾股定理的適用范圍：b-a的正方形，它的面積等于 b a2勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間嗦存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角 三角形的三邊不具備這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理的時(shí)候，必須知道考察的對(duì)象是直角三角形

42、。四、勾股定理的應(yīng)用：1.已知直角三角形的任意兩邊，求第三邊在 檸中 II 耽=J出 S，b=4'0.4 -y/c- -hr知道直角三角形一邊，可得到另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系五、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng) a ,b ,c , 滿足a2 +b2 =c2 ,那么這個(gè)三角形就是直角三角形，c邊就是斜邊。1 .勾股定理的逆定理是判定三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它是通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和三角形，若a2 +b2 <c2 ,則是鈍角三角形，若 注：不要誤認(rèn)為三角形的最長(zhǎng)邊一定就是六、勾股數(shù)：1.3 4 5 6 8 10

43、5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41a2 +b2與最長(zhǎng)邊的平方 c2作比較，若a2 +b2 =c2 ,則是直角 a2 +b2 >c2 ,則是銳角三角形。c邊，也可用是a ,b邊，要看清題目。11 60 61以及它們各自的相同倍數(shù)(整數(shù)倍,小數(shù)倍)2 .對(duì)于兩個(gè)任意的正整數(shù) m ,n (m>nj)，則m2 +n2 , m 2 -n2 ,2mn也成勾股數(shù)。且(m2 -n2 )2 +(2mn)2 =(m2 +n2 )2 。七、有關(guān)“螞蟻怎樣走最近”的問(wèn)題：通常的做法是將立體圖形展開(kāi)成為平面圖形，然后再在平面圖形上找準(zhǔn)與立體圖形相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，連結(jié)兩點(diǎn)之間 的線段就是

44、最短距離。典例精析1 .勾股定理的直接應(yīng)用：例1.正方形的面積是2,它的對(duì)角線長(zhǎng)為 。2 .求第三條邊的長(zhǎng)：例2.在直角三角形中，a=3 b=4.第三邊的平方是 。例3.已知兩條線段的長(zhǎng)為 6cm和8cm,當(dāng)?shù)谌龡l線段取 時(shí)，這三條線段能組成一個(gè)直角三角形。3 .與高，面積有關(guān)：例4.兩個(gè)直角分別是3和4的直角三角形斜邊上的高是 。例5.等腰三角形的底邊為 10cm,周長(zhǎng)為36cm,則它的面積是 cm2 .4 .判斷三角形的形狀：通常做法是找較短的兩條邊，求它們的平方和，再和最長(zhǎng)的邊的平方進(jìn)行比較。5 .求線段的長(zhǎng)：例6.在直角三角形中，/ C=90度，/ 1 = /2, CD=1.5 BD=

45、2.5 ,求AC的長(zhǎng)。6 .求最短距離：例7.如圖所示，螞蟻要從棱長(zhǎng)為5cm的正方體的A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，問(wèn)最短距離是多少?7 .有關(guān)梯子的問(wèn)題：一般情況下，隱含的條件是墻與地面垂直，自己做示意圖，再求解。例8.長(zhǎng)為4m的梯子搭在墻上與地面成 45度角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為 60度角，則梯子頂端沿墻角而升高了 m.8 .有關(guān)旗桿的問(wèn)題：一般情況下隱含的條件是旗桿與地面垂直，自己作示意圖，再求解。例9.小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1m,當(dāng)他把繩子白下端拉開(kāi) 5m后，發(fā)現(xiàn)下過(guò)手訓(xùn)練1 .如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊疊，使它落在斜邊 AB上，且與AE重合，則A. 2cm B.

46、 3cm C. 4cm D. 5cm2 .求下列各圖字母中所代表的正方形的面積。過(guò)后,B225AC=6cm,BC=8cm現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折那么這根旗桿被吹斷裂前至少有多高7112Sc C256400桿被臺(tái)風(fēng)從離地面144400SD28處吹斷，倒下的旗桿的頂硼在離旗桿底部9.6米處,2.8 >9.6米端剛好接觸地面，求旗桿的高度。4.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊和長(zhǎng)為7cm,則正方形A,B, C, D的面積之和為 cm5 .如圖，一個(gè)圓柱形紙筒的底面周長(zhǎng)是40cm,高是30cm, 一只小螞蟻在圓筒底的 A處，它想吃到上底與下底面中間

47、與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的蜜糖，試問(wèn)螞蟻爬行的最短的路程是多少？B二ft6 .如圖折疊長(zhǎng)方形的一邊 BG使點(diǎn)B落在AD邊的F處，已知：AB=3, BC=5求折痕EF的長(zhǎng).7.如圖所示，已知四邊形 ABC邛,AD=3cmABCD勺面積。8.如圖 14.2.7 ,已知 CD= 6m AD=8m Z ADC= 90° ,9.如圖，設(shè)四邊形ABC屋邊長(zhǎng)為1的正方形，以對(duì)角線AC以對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形 AEGH如此下去.為邊作第二個(gè)正方形ACEF 再(1)記正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)為a=1,按上述方法所作的正方形的邊長(zhǎng)依次為a2, a3, a4, ,an,請(qǐng)求出a3,a4的值；(2)根據(jù)以上規(guī)

48、律寫(xiě)出 an的表達(dá)式.10.A、B與建筑物底部 D在一直線上，從建筑物頂部C點(diǎn)測(cè)得A、B兩點(diǎn)的俯角分別是 30°、60° ,且AB=2Q求建筑物CD的高。EA11.某樓梯的側(cè)面視圖如圖 4所示，其中AB 4米， BAC 30°,C 90° ,因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯,則在AB段樓梯所鋪地毯的長(zhǎng)度應(yīng)為12.如圖，要為一段高 5米長(zhǎng)13米的樓梯鋪上紅地毯，至少需要紅地毯 米。專題二平方根與算數(shù)平方根知識(shí)點(diǎn)歸納一、算術(shù)平方根：如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即x2 a,那么這個(gè)正數(shù) x就叫做 的算術(shù)平方根，記作“ 后 ，讀作“根號(hào)a”。注意：(1)規(guī)定0的算術(shù)平

49、方根為 0,即v0 0；(2)負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，也就是ja有意義時(shí)，a 一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)；(3) 0 (a 0)。二、平方根：如果一個(gè)數(shù)(也叫二次方根)。x的平方等于a,即x2a ,那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根a的算術(shù)平方根“再”，另外一個(gè)是“ -ja”，讀作“負(fù)注意：(1) 一個(gè)正數(shù)a必須有兩個(gè)平方根，一個(gè)是 根號(hào)a"，它們互為相反數(shù)；(2) 0只有一個(gè)平方根，是它本身；(3)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。、開(kāi)平方：求一個(gè)數(shù) a的平方根的運(yùn)算。其中 a叫做被開(kāi)方數(shù)。Va2aa (a 0)a (a 0)4、vi x J2x 1有意義，則x的范圍記一記1021001121211421961522

50、25182324典例精析192361例1、求卜列各數(shù)的算木平方根與平方根(1)52(2) 100(3) 1122144132169162256172289202400252625(4)04 (59(6) 7例2、計(jì)算例3、計(jì)算a 2例4、當(dāng) 之二 有意義時(shí)，a的取值范圍是多少?.a 2過(guò)手訓(xùn)練1、求下列各數(shù)的算術(shù)平方根和平方根(1) 16121 22512(4)0.01(5)5 23、判斷(1) 52的平方根為一5()(2)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們是互為相反數(shù) ()(3) 0和負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根()(4) 4是2的算術(shù)平方根()匯9的平方根是土 3()(6)因?yàn)?上的平方根是土 1,所以 工=±()164,1645、如果a（a>0）的平方根是土 m那么A. a2=±mB. a=± m2課后作業(yè)1、下列各數(shù)中沒(méi)有平方根的數(shù)是（A. -