2019年杭二中高一新生實驗班選拔考試數(shù)學試卷(含答案)

1、D的四個選項，其中有且只有0分）杭二中高一新生實驗班選拔考試數(shù)學試卷、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號為A一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得161.（7分）設-1,則代數(shù)式B.24a2+2a-12的值為（C.）47110D.4卬+122.（7分）如圖，直角梯形ABCD中，AD/BC,AB±BC,時針方向旋轉90°至DE,連接AE,則AADE的面積是（B.2C.3D.4AD=3,BC=5,將腰DC繞點）3. （7分）在等邊4ABC有（）A.1個所在平面內有一點巳使得PBC、PAC、4PAB都是等腰三角形，則具

2、有該性質的點4.（7分）A.5.（7分）A.B.7個C.10個D.無數(shù)個若x>1,y>0,且滿足篁y=/,B.2設s=+4：I32，33B.5,則4S的整數(shù)部分等于（為，則x+y的值為（）C.9C.6D.7二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6.（7分）若a是一個完全平方數(shù)，則比a大的最小完全平方數(shù)是7. （7分）若關于x 則m的取值范圍是的方程（X-2）（x2-4x+m）=0有三個根，且這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長,1, 2, 2, 3, 3, 4;另一枚質地均勻的正方體骰子8.（7分）一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是的六個面上的數(shù)字分別是1,

3、 3, 4, 5, 6, 8.同時擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)字之和為奇數(shù)5的概率是9. （7分）如圖，點A,B為直線y=x上的兩點，過 A, B兩點分別作y軸的平行線交雙曲線 廠一（x>0）于C, D兩點.若BD=2AC ,則4OC2 - OD2的值為CDB/10. （7分）如圖，在RtAABC中，斜邊AB的長為35,正方形CDEF內接于ABC,且其邊長為12,則ABC的周長為三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11. （20分）已知：不論k取什么實數(shù)，關于x的方程生言-王若（a、b是常數(shù)）的根總是x=1,試求a、b的值.12. （20分）已知關于x的一元二次方程x2+cx+a

4、=0的兩個整數(shù)根恰好比方程x2+ax+b=0的兩個根都大1,求a+b+c的值.13. （10分）如圖，點A為y軸正半軸上一點，A,B兩點關于x軸對稱，過點A任作直線交拋物線尸芻戈？于P,Q兩點.（1）求證：/ABP=/ABQ;（2）若點A的坐標為（0,1）,且/PBQ=60°,試求所有滿足條件的直線PQ的函數(shù)解析式.14. （10分）如圖，4ABC中，ZBAC=60°,AB=2AC.點P在4ABC內，且PA=百，PB=5,PC=2,求ABC的面積.15、（10分）如圖，4ABC是等邊三角形，4BDC是頂角/BDC=120。的等腰三角形，M是AB延長線上一點，N是CA延長線上

5、一點，且/MDN=60°.試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關系，并給出證明.16、(10分)已知點M(p,q)在拋物線y=x2-1上，若以M為圓心的圓與點A、B,且AB兩點的橫坐標是關于x的方程x2-2px+q=0的兩根.(1)當M在拋物線上運動時，OM在x軸上截得的弦長是否變化？為什么?(2)若。M與x軸的兩個交點和拋物線的頂點C構成一個等腰三角形，2014年杭二中實驗班選拔考試試卷數(shù)學答案一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號為A,B,C,D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1. （7

6、分）設直一傳一1,則代數(shù)式a2+2a-12的值為（）A.-6B.24C.47+10D.|4?+12考點：完全平方式；代數(shù)式求值；二次根式的乘除法.專題：計算題.分析：此題可先把代數(shù)式a2+2a-12變形為（a+1）2-13,再把a=V7-1代入變形得式子計算即可.解答：解：.a2+2a-12=（a+1）2-13,當a=V7-1時，原式=（W|-1+1）2-13=7-13,=6.故選A.點評：本題考查了完全平方公式（a-b）2=a2-2ab+b2和（a+b）2=a2+2ab+b2的足用.2. (7分)解：過點D作DG垂直于BC于G,過E作EF垂直于AD交AD的延長線于F,/EDF+/CDF=90

7、°,/CDF+/CDG=90°,/EDF=/CDG,又/EFD=/CGD=90°,DE=DC,AEDFACDG(AAS),EF=CG,CG=BCBG=53=2,EF=2,Saade>EF= >3>2=3. 2故選C.3. （7分）在等邊ABC所在平面內有一點有（）A. 1個B. 7個巳使得 APBC> APAC> PAB都是等腰三角形，則具有該性質的點C. 10 個D.無數(shù)個考點：等腰三角形的判定.分析：過B點作4ABC的中垂線，可知在三角形內有一點P滿足PBC、APAC>4PAB都是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質可以做兩個圓

8、，圓B和圓A,從而可以得出一條中垂線上有四個點滿足PBC、APAC>PAB都是等腰三角形，而三角形內部的一點是重合的，所以可以得出共有10個點.解答：解：作三邊的中垂線，交點P肯定是其中之一，以B為圓心，BA為半徑畫圓，交AC的中垂線于Pi、P2兩點，作P2AB,P2BC,P2AC,它們也都是等腰三角形，因此P1、P2是具有題目所說的性質的點；以A為圓心，BA為半徑畫圓，交AC的中垂線于點P3、P3也必具有題目所說的性質.依此類推，在ABC的其余兩條中垂線上也存在這樣性質的點，所以這些點一共有：3X3+1=10個.故選：C.點評：本題考查了等腰三角形的性質以及同學們對圖形的整體理解，三角

9、形中任意兩條邊相等就是等腰三角形.)d. n4. （7分）若x>1,y>0,且滿足：k產(chǎn)，工二產(chǎn),則x+y的值為（VA.1B.2C.且2考點：同底數(shù)哥的乘法.專題分析:計算題.首先將xy=xy變形，得y=xy1,然后將其代入工二產(chǎn),利用哥的性質，即可求得y的值，則可得x的值,代入x+y求得答案.解答:解：由題設可知y=xy1,x=yx3y=x4y1,4y1=1.從而x=4.于是工+產(chǎn)微.故選C.點評:此題考查了同底數(shù)哥的性質：如果兩個哥相等，則當?shù)讛?shù)相同時，指數(shù)也相同.D.考點：部分分式.分析:專題：計算題；整體思想.由于士二八-,7?V，由此可以得到/k(k2-l)2Ck-1,)

10、kk(k+L),然后即可求出4s的整數(shù)部分.s=<1心（-）<三與十99爭2299乂1004因為解答：解：當k=2,3-99,k'(k=D-/(k-1)kk(k+L)所以1vS=+233399于是有4<4S<5,故4s的整數(shù)部分等于4.故選A.點評：此題主要考查了部分分式的計算，解題的關鍵是利用了k (k+L) I二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6. （7分）若a是一個完全平方數(shù)，則比a大的最小完全平方數(shù)是a+2V+1.考點：完全平方數(shù).專題：計算題.分析：由于a是一個完全平方數(shù)，則a=（小）2.可知比a大的最小完全平方數(shù)是（近+1）2.解答：解：a

11、是一個完全平方數(shù)，a的算術平方根是依，比a的算術平方根大1的數(shù)是y+1,，這個完全平方數(shù)為：（幾+1）2=a+2/a+1.故答案為：a+2儲+1.點評：本題考查了完全平方數(shù).解此題的關鍵是能找出與a之差最小且比a大的一個完全平方數(shù)是緊挨著自然數(shù)立后面的自然數(shù)：（6+1）2.7. （7分）若關于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三個根，且這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，則m的取值范圍是3vm.考點：根與系數(shù)的關系；三角形三邊關系.專題：計算題.分析：根據(jù)原方程可知x-2=0,和x2-4x+m=0,因為關于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三個根，所以x2-4x+m=0

12、的根的判別式4。，然后再由三角形的三邊關系來確定m的取值范圍.解答：解：二.關于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三個根，二x2=0,解得x1=2;x2-4x+m=0,1. =164m可，即m9，x2=2+,4-H，x3=2-14一ip,又這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，且最長邊為x2,.x1+x3>x2；解得3vm9，m的取值范圍是3Vm.故答案為：3vm9.點評：本題主要考查了根與系數(shù)的關系、根的判別式及三角形的三邊關系.解答此題時，需注意，三角形任意兩邊和大于第三邊.8. （7分）一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1,2,2,3,3,4;另一枚質地均

13、勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1,3,4,5,6,8.同時擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)字之和為奇數(shù)5的概率是1書一考點：列表法與樹狀圖法.分析：利用列表法求出所有的舉朝上的面兩數(shù)字之和，得出5的個數(shù)，即能得出朝上的面兩數(shù)字之和為奇數(shù)5的概率.解答：解：二正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1,2,2,3,3,4;另一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1,3,4,5,6,8,用列表法列舉朝上的面兩數(shù)字之和所有可能是：，朝上的面兩數(shù)字之和為奇數(shù)5的概率是：=i.3&q故答案為：1.9. （7分）如圖，點A,B為直線y=x上的兩點，過A,B兩點分別作y軸的平行線交雙曲線尸（x&

14、gt;0）于C,D兩點.若BD=2AC,貝U4OC2-OD2的值為6.考點：反比例函數(shù)綜合題.專題：計算題；數(shù)形結合.,根據(jù)A,B兩點在直線y=x上，分別設A,B兩點的坐標為（a,a）,（b,b）,得到點C的坐標為（a,一）,a點D的坐標為（b,1），線段AC=a線段BD=b-工根據(jù)BD=2AC,有b-1=2（a-）,然后利用bab|ba勾股定理進行計算求出4OC2-OD2的值.解：設A（a,a）,B（b,b）,則C（a,-）,D（b,寺abAC=a-=，BD=b-7-,abBD=2AC,b -=2 (a )故答案為：6.點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，根據(jù)直線與反比例函數(shù)的解析式，設出點

15、 D的坐標，運用勾股定理進行計算求出代數(shù)式的值.A, B的坐標后可以得到點C,10. （7分）如圖，在 RtAABC中，斜邊 AB的長為35,正方形 CDEF內接于 ABC ,且其邊長為12,則 ABC 的周長為 84 .考點：相似三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質.分析：首先設BC=a,AC=b,由勾股定理與正方形的性質，可得：a2+b2=352,RtAAFERtAACB,再由相似三角形的對應邊成比例，可得12（a+b）=ab,解方程組即可求得.解答：解：如圖，設BC=a,AC=b,貝Ua2+b2=352=1225.又RtAAFERtAACB,S,P,FEA?日口12”1?所以二即=

16、,CBACab故12（a+b）=ab.由得（a+b）2=a2+b2+2ab=1225+24（a+b）,解得a+b=49（另一個解一25舍去），所以a+b+c=49+35=84.故答案為：84.點評：此題考查了正方形的性質和相似三角形的判定與性質，以及勾股定理等知識.此題綜合性較強，解題時要注意合理應用數(shù)形結合與方程思想.三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11. （20分）已知：不論k取什么實數(shù)，關于x的方程半#一=1（a、b是常數(shù)）的根總是x=1,試求a、Job的值.考點：二元一次方程組的解.分析：首先把根x=1代入原方程中得到一個關于k的方程，再根據(jù)方程與k無關的應滿足的條件即可得a

17、、b的值.解答：解：把x=1代入原方程并整理得（b+4）k=7-2a要使等式（b+4）k=7-2a不論k取什么實數(shù)均成立，只有滿足尸4'°,17-2手。解之得-b-,b=-4.a-2點評：本題要求同學們不僅熟悉代入法，更需要熟悉二元一次方程組的解法，解題時要根據(jù)方程組的特點進行有針對性的計算.12. （20分）已知關于x的一元二次方程x2+cx+a=0的兩個整數(shù)根恰好比方程x2+ax+b=0的兩個根都大1,求a+b+c的值.考點：一元二次方程的整數(shù)根與有理根.專題：計算題.分析：設出第一個方程的兩根，表示出后面方程的另2根.利用根與系數(shù)的關系均得到與a的關系，進而消去a,得到

18、兩個一次項的積為一個常數(shù)的形式，判斷可能的整數(shù)解，得到a,b,c的值，相加即可.解答：解：設方程x2+ax+b=0的兩個根為a,以方程有整數(shù)根，設其中a,3為整數(shù)，且則方程x2+cx+a=0的兩根為a+1,3+1,a+爐a,（a+1）（附1）=a,（5分）兩式相加，得a+2a+2/1=0,產(chǎn)1或即（葉2）（3+2）=3,(10分)又a=(a+3)=(1)+1=0,b=a=1M=1,c=-(0+1)+(/1)=-(1+1)+(1+1)=-2,或a=(a+3)=(5)+(3)=8,b=a=(5)x(-3)=15,C=-(a+1)+(附1)=-(5+1)+(-3+1)=6,a=0,b=-1,c=-2

19、;或者a=8,b=15,c=6,a+b+c=0+(-1)+(-2)=-3或a+b+c=8+15+6=29,故a+b+c=-3,或29.(20分)點評：主要考查一元二次方程根與系數(shù)關系的應用；利用根與系數(shù)的關系得到兩根之間的關系是解決本題的關鍵；消去a后得到兩個一次項的積為一個常數(shù)的形式是解決本題的難點.9p13. （20分）如圖，點A為y軸正半軸上一點，A,B兩點關于x軸對稱，過點A任作直線交拋物線產(chǎn)一于P,Q兩點.（1）求證：/ABP=/ABQ;（2）若點A的坐標為（0,1）,且/PBQ=60°,試求所有滿足條件的直線PQ的函數(shù)解析式.二次函數(shù)綜合題.考點：分析：（1）利用拋物線的

20、圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法球函數(shù)解析式，根與系數(shù)的關系和相似三角解答:形的判定與性質解答即可；（2）利用（1）中已知與結論，繼續(xù)由相似三角形，根與系數(shù)的關系、函數(shù)解析式求得結果.（1）證明：如圖，分別過點P,Q作y軸的垂線，垂足分別為C,D.設點A的坐標為（0,t）,則點B的坐標為（0,-t）.設直線PQ的函數(shù)解析式為y=kx+t,并設P,Q的坐標分別為（xp,yp）,（xQ,yQ）.由*廠kx+t22,|i2-kx-t=0J12.+BC4+t3Xp22_22_工P耳打飛萬町'4Xq)2z_2臚q耳町工又因為BC_FCBDQD因為/BCP=/BDQ=90°,所以BCPsB

21、DQ故/ABP=/ABQ;由（1）可知(2)解：設PC=a/ABP=/ABQ=30所以AC=-:因為PCIIDQ,所以DQ=b,不妨設a力0,BC=/3a,BD='Qb,AD=2-再b.ACPAADQ.PCACD6-ADaVia-2所以a+b=V3ab|.|t,即一人二一|,所以于是可求得a=2b=V3.代入廠"I-,得到點Q的坐標（再將點Q的坐標代入y=kx+1,求得k二一2V33所以直線PQ的函數(shù)解析式為根據(jù)對稱性知，所求直線 PQ的函數(shù)解析式為工+1尸TCS點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質、根與系數(shù)的關系、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及對稱解決問題.14. （20分

22、）如圖，4ABC中，/BAC=60°,AB=2AC.點P在4ABC內，且PA=/,PB=5,PC=2,求ABC的面積.3C考點：相似三角形的判定與性質；勾股定理；勾股定理的逆定理.分析：首先作4ABQ,使得：ZQAB=/PAC,/ABQ=ZACP,即可得ABQsACP,即可得ABQ與AACP相似比為2,繼而可得4APQ與4BPQ是直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質，即可求得ABC的面積.解答：解：如圖，作AABQ,使得：/QAB=/PAC,/ABQ=/ACP,則ABQsMCP, AB=2AC, AABQ與APP相似比為2,AQ=2AP=2心BQ=2CP=4,/QAP=/QAB+/BAP

23、=/PAC+/BAP=/BAC=60°,AQ:AP=2:1,，/APQ=90°,ZAQP=30°, -PQ=/A82-AP2=7（W3）73）2=3，BP2=25=BQ2+PQ2,/BQP=90°作AM，BQ于M,由/BQA=/BQP+/AQP=120°,ZAQM=60°,QM=VS,jAM=3,.AB2=BM2+AM2=（4+6）2+32=28+8收， Saabc=AB?ACsin60°=AB2f篇.282點評:此題考查了相似三角形的判定與性質、直角三角形的判定與性質以及三角函數(shù)的性質.此題難度較大，解題的關鍵是輔助線的構造，還要注意勾股定理與勾股定理的逆定理的應用.15、考點： 專題： 分析：解答:等邊三角形的性質；全等三角形的判定與性質。證明題；探究型。先求證MBDECD可得MD=DE,ZMDB=/EDC,進而求證MNDEND,即可得MN=NE,即可證明CN=NE+CE=MN+BM,即可解題.解：CN=MN+BM證明：在CN上截取點E,使CE=BM，連接DE,AABC為等邊三角形，/ACB=/ABC=60°,又4BDC為等腰三角形，且ZBDC=120°,BD=DC,/DBC=/BCD=30°