【孫玥】教學(xué)設(shè)計(jì)

1、教學(xué)設(shè)計(jì)課題名稱數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式課時(shí)1課時(shí)教學(xué)對(duì)象高一年級(jí)授課教師孫玥5課題出處人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)必修 5第2章第1節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（第二課時(shí)）2.1.2數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式、教材分析本節(jié)內(nèi)容選自人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)必修 5第2章第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（第二課時(shí)），數(shù)列遞推公式內(nèi)容的學(xué)習(xí)安排在數(shù)列的 定義、表示方式及通項(xiàng)公式內(nèi)容之后，是對(duì)數(shù)列知識(shí)的進(jìn)一步深入探究。本節(jié)內(nèi)容承接第一課時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，即通過(guò)對(duì)一組數(shù)字的觀察得出其 數(shù)學(xué)規(guī)律，并為此后學(xué)習(xí)等差、等比數(shù)列打下了基礎(chǔ)。應(yīng)用遞推公式可寫(xiě)出數(shù) 列的前幾項(xiàng)，并可推導(dǎo)出相應(yīng)的通項(xiàng)公式。遞

2、推公式、通項(xiàng)公式的知識(shí)貫穿于 數(shù)列學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程，由此可見(jiàn)本節(jié)內(nèi)容十分重要，起到了承前啟后的作用。、學(xué)情分析從知識(shí)上講，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列的定義、一般形式及其通項(xiàng)公式后，對(duì)數(shù)列 具備了一定的認(rèn)識(shí)。此時(shí)，介紹數(shù)列的遞推公式，利于學(xué)生理解，在認(rèn)知上易 于學(xué)生接受。從方法上講，通過(guò)前一課時(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已初步具備觀察分析、 歸納猜想數(shù)字規(guī)律的能力，為此在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在對(duì)數(shù)字進(jìn)行探究猜 想時(shí)更易得出規(guī)律，易于寫(xiě)出遞推公式。三、教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】：1. 理解數(shù)列的遞推公式定義；2. 理解遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；3. 掌握使用數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)的方法；【過(guò)程與方法】：通過(guò)對(duì)數(shù)字規(guī)律的研

3、究，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程， 探索數(shù)學(xué) 規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力、歸納猜想能力及抽象概括能力；【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】：通過(guò)解決含有生活情境的問(wèn)題案例， 讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，感受數(shù)字帶來(lái)的樂(lè)趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。四、教學(xué)重、難點(diǎn)1重點(diǎn)：能根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)。2.難點(diǎn)：理解遞推公式與通項(xiàng)公式的異同。五、教學(xué)方法1.通過(guò)兔子繁衍的問(wèn)題情境引入新課，弓I導(dǎo)學(xué)生對(duì)所提問(wèn)題做出分析，并通過(guò) 合作探討、小組討論等活動(dòng)形式得出遞推公式概念。2.弓I導(dǎo)學(xué)生對(duì)比通項(xiàng)公式和遞推公式，讓學(xué)生嘗試使用對(duì)比法分析問(wèn)題。六、教學(xué)環(huán)境及資源準(zhǔn)備教具準(zhǔn)備：1.多媒體課件PPT2. F

4、LASH七、教學(xué)過(guò)程、【學(xué)前咨詢】復(fù)習(xí)舊知，夯實(shí)基礎(chǔ)：1.數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。注意：(1)數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù) 相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；(2)定義中并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù) 列中可以重復(fù)出現(xiàn)。數(shù)列的第1項(xiàng)(首項(xiàng))，第2項(xiàng)，第n項(xiàng)，3.數(shù)列的一般形式：ajSH，-.2.數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。 各項(xiàng)依次叫做這個(gè) ,an，簡(jiǎn)記為an ， an是數(shù)列的第n項(xiàng)。4. 數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個(gè) 公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

5、。注意：(1)不是所有數(shù)列都能寫(xiě)出其通項(xiàng)公式；(2) 一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)不唯一，如數(shù)列：1, 0, 1, 0, 1, 0,1(1)n 1an an | cos|它的通項(xiàng)公式可以是2 ，也可以是2。（3）數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：求出數(shù)列中任意一項(xiàng)；檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否為該數(shù)列中的一項(xiàng)。數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它即表示數(shù)列的第 n項(xiàng)，又是這個(gè)數(shù)列中 所有各項(xiàng)的一般表示。通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給定數(shù) 列的通項(xiàng)公式，代入項(xiàng)數(shù)即可求出數(shù)列的每一項(xiàng)。教師活動(dòng)：教師先以單獨(dú)提問(wèn)的形式引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)列的定義，進(jìn)而再提 問(wèn)學(xué)生“數(shù)列中每個(gè)數(shù)字被稱作什么” “數(shù)列的一般形式怎樣表示” “如何定義

6、數(shù)列的通項(xiàng)公式”等問(wèn)題。當(dāng)學(xué)生作答苦難時(shí)，教師作以指引，并請(qǐng)其他同學(xué) 給予補(bǔ)充，從而完成復(fù)習(xí)舊知的環(huán)節(jié)。學(xué)生活動(dòng)：通過(guò)思考回憶后，舉手回答問(wèn)題。【設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)已學(xué)知識(shí)，為學(xué)生形成知識(shí)間的聯(lián)系和框架建立平臺(tái)， 并為下一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。期間，對(duì)于概念的復(fù)習(xí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)其易錯(cuò)與易忽視之處， 引起學(xué)生的注意，并輔助以具體實(shí)例加以說(shuō)明?！慷?、【引導(dǎo)定向】創(chuàng)設(shè)情境，引入新知：早在800年前（1202年），意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的著作算盤(pán)全書(shū) 中提出一個(gè)問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被人們稱作為“兔子問(wèn)題”。假設(shè)一對(duì)剛出生的小兔一個(gè)月后就能長(zhǎng)成大兔，再過(guò)一個(gè)月就能生下一對(duì) 小兔，并且此后每個(gè)月都生一對(duì)小兔，一年內(nèi)沒(méi)有發(fā)生

7、死亡，問(wèn)：一對(duì)剛出生 的兔子，一年內(nèi)繁殖成多少對(duì)兔子？【設(shè)計(jì)意圖：具體情境的給出使抽象的數(shù)學(xué)生活化，讓學(xué)生更易理解，并 符合課標(biāo)中所強(qiáng)調(diào)的“讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值”，此外，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興 趣，促使他們樂(lè)學(xué)其中。】教師活動(dòng)：教師給出PPT動(dòng)態(tài)兔子繁殖過(guò)程演示圖，并組織學(xué)生開(kāi)展小組討論。討論后，請(qǐng)同學(xué)說(shuō)出前 6個(gè)月兔子的情況，教師作以總結(jié)分析，并在黑 板給出如下樹(shù)狀示意圖：學(xué)生活動(dòng)：小組討論兔子繁衍問(wèn)題，給出前六個(gè)月的兔子數(shù)，并解釋每個(gè) 月兔子數(shù)目的緣由?！驹O(shè)計(jì)意圖：使用樹(shù)狀圖解題，使問(wèn)題更加直觀，易于學(xué)生理解。】同學(xué)們，如果我們繼續(xù)數(shù)下去，你會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)字變得越來(lái)越大，數(shù)起來(lái)十分 繁瑣，那么我們

8、換種角度思考，你能觀察出這組數(shù)字中的規(guī)律，從而得到下一 個(gè)月份的兔子數(shù)嗎?教師活動(dòng)：組織學(xué)生開(kāi)展小組討論，討論期間教師對(duì)有疑問(wèn)的小組進(jìn)行有 針對(duì)性的輔導(dǎo)。小組討論過(guò)后，請(qǐng)學(xué)生代表作答，教師對(duì)答案作以補(bǔ)充。學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)分析問(wèn)題，進(jìn)行小組討論并隨后選出代表進(jìn)行作答。觀察結(jié)果：我們不難發(fā)現(xiàn)，上面這組數(shù)有這樣一個(gè)規(guī)律：即從第3個(gè)數(shù)起, 每一個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)的和。那么，我們能否使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將其表示呢?教師活動(dòng)：教師通過(guò)問(wèn)題串的形式深入問(wèn)題， 一步步地引導(dǎo)學(xué)生分析出：不 能只給出耳y +耳一士 = ，而需指明n的取值范圍，并且只有在知道第一、 二項(xiàng)的前提下才能通過(guò)_2+盤(pán)啊_1 = %0>

9、3）推出所有數(shù)字。（ttl =眄=1+陽(yáng),-1 =%（他> 3 并給出遞推公式定義。遞推公式：如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)（前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前 一項(xiàng)an 1 （前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這 個(gè)數(shù)列的遞推公式，遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。【設(shè)計(jì)意圖：此處學(xué)生可能不會(huì)一次性成功地概括出上述公式，由于此遞 推公式給出的連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系，所以容易導(dǎo)致學(xué)生概括上的困難，這時(shí)就需 要教師多加引導(dǎo)，幫助學(xué)生形成結(jié)論。】那么，現(xiàn)在我們可以計(jì)算出12月份繁殖出多少對(duì)兔子了。1月2月3月4月5月6月1123587月8月9月10月11月12月1321345589144

10、由于此數(shù)列由意大利中世紀(jì)數(shù)學(xué)家斐波那契在算盤(pán)全書(shū)中提出，故將 這種數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”。【設(shè)計(jì)意圖：給出遞推公式后，回到原引入問(wèn)題，并應(yīng)用此公式解決問(wèn)題， 使學(xué)生感受數(shù)學(xué)方法帶來(lái)的便捷，體會(huì)遞推公式在解決實(shí)際問(wèn)題上的價(jià)值。】三、【闡明】合作討論，深化新知:a11例1設(shè)數(shù)列an滿足and 1 八寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)。1 （n 1）.an 1解：由題意知：a11,a212,a31a1a21丄a3583,a559例2觀察下列兩組數(shù)并總結(jié)規(guī)律:(1) 3, 5, 9, 17, 33, 3 , 5, 8, 13,21, 34, 55, 89,解：（1）通項(xiàng)公式:= 2n + l(n > 1);

11、（2）遞推公式:a13, a25, an an 1 an 2(3 n8)；請(qǐng)同學(xué)們觀察上述兩個(gè)公式，你能發(fā)現(xiàn)遞推公式和通項(xiàng)公式的異同嗎?教師活動(dòng)：教師板書(shū)例題，留有時(shí)間讓學(xué)生先進(jìn)行獨(dú)立思考，當(dāng)大部分學(xué) 生形成一定解題思路后，教師先請(qǐng)一位學(xué)生回答，并其余學(xué)生做以補(bǔ)充，最后 教師總結(jié)，規(guī)范格式。學(xué)生活動(dòng)：思考例題，解決問(wèn)題。通項(xiàng)公式與遞推公式的對(duì)比通項(xiàng)公式遞推公式相同點(diǎn)都可求出數(shù)列的任何一項(xiàng)或判斷某一數(shù)字是否為數(shù)列中的一項(xiàng)不同點(diǎn)刻畫(huà)第n項(xiàng)an與n之間的關(guān) 系，即項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系。刻畫(huà)任一項(xiàng)an與它前一項(xiàng)an 1 （前 n項(xiàng)）間的關(guān)系，即相鄰兩項(xiàng)（n 項(xiàng)）之間的關(guān)系?？偨Y(jié)使用通項(xiàng)公式求數(shù)列中某一項(xiàng)

12、或判斷某一數(shù)字是否為數(shù)列中的一 項(xiàng)時(shí)，通項(xiàng)公式比遞推公式更加直接方便?！驹O(shè)計(jì)意圖：例1的設(shè)置加深學(xué)生對(duì)遞推公式的理解，通過(guò)此題的講解與練習(xí)，使學(xué)生更深入明白遞推公式的使用方法；例 2通過(guò)兩組數(shù)字讓學(xué)生分別 得出通項(xiàng)公式和遞推公式，從而引發(fā)學(xué)生對(duì)兩公式異同的思考，深化學(xué)生對(duì)公 式本質(zhì)的理解。】四、【自由定向】運(yùn)用訓(xùn)練，鞏固新知:練習(xí)1.根據(jù)各數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫(xiě)出前五項(xiàng)并給出通項(xiàng)公式。(1)a1 = 0, an 1 = an + (2n )(n N);a1 = 3, an 1 = 3 an 2 (n N).2aa1 = 1, an1 = r (n N)；解:a1 = 0, a2 = 1, a

13、3 = 4,a4 = 9,a5 = 16,an = (n 1)2;, 2 1a1 = 1, a2 = , a3 =322-an =n 1a1 = 3= 1+2 3°, a2 = 7= 1+2 31, a3 = 19= 1+2 32,a4 = 55= 1+2 33, a5 = 163= 1+2 34,二 an = 1 + 2 3n 1練習(xí)2. 1.下圖是一個(gè)樹(shù)形圖的生長(zhǎng)過(guò)程，依據(jù)圖中所示的生長(zhǎng)規(guī)律，第8行的實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是多少？你能用遞推公式表示樹(shù)的生長(zhǎng)規(guī)律嗎?“-第1行 -i第3行 一第3行 一第4行躬5行 ，第方行2.樓梯共10級(jí)臺(tái)階，規(guī)定每步可邁一級(jí)臺(tái)階或二級(jí)臺(tái)階，從地面到最上

14、面一級(jí)臺(tái)階，一共可以有多少種不同的走法？你能用遞推公式表示它嗎？教師活動(dòng)：教師PPT給出變式練習(xí)，讓學(xué)生獨(dú)立思考完成。在學(xué)生思考作 答時(shí)，教師觀察每個(gè)學(xué)生的情況。當(dāng)大部分學(xué)生作答完畢后，請(qǐng)學(xué)生回答，其 余學(xué)生做補(bǔ)充，最后教師總結(jié)。學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，并完成練習(xí)。【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)變式練習(xí)1幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，深化本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)，即根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)練習(xí) 2則設(shè)置與“兔子問(wèn)題”本質(zhì)相同但情境不同的兩道思考題，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際運(yùn)用能力，考察學(xué)生是否 真正理解此類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)，能否自我解決實(shí)際生活問(wèn)題?！课濉ⅰ菊稀空n堂小結(jié)，強(qiáng)化重點(diǎn)：總結(jié)回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容:1. 遞推公式定義及其用法；2. 通項(xiàng)公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系：通項(xiàng)公式反映項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)，而遞 推公式反映相鄰兩項(xiàng)(n項(xiàng))之間的關(guān)系。師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生回憶本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并共同總結(jié)、概括出所學(xué)六、課后練習(xí),1.書(shū) P27作業(yè)布置:重點(diǎn)、難點(diǎn)。_2、3、52.思考題(選作)：(1) 一只青蛙從寬5米的水田的一邊要跳往另一邊，它每次只能跳0.5 米,或1米,這只青蛙跳過(guò)水田共有多少種不同的方法 ？(2)有一堆火柴共12根，如果規(guī)