《橢圓》方程典型例題20例(含標(biāo)準(zhǔn)答案)

1、橢圓方程典型例題橢圓方程典型例題20例典型例題一例1橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A 2,0,其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析:題冃沒有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置.解：(1)當(dāng)A 2,0為長軸端點(diǎn)時(shí)，a2, b1,22 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：一4(2)當(dāng)A 2,0為短軸端點(diǎn)時(shí)，62, a 4,22橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：一1 ;4 16說明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)，給出一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸的位置，是不 能 確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況.典型例題二例2 一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率.3說明：求解：2c3 .a,求c,再求附圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是比二是列

2、含a和C的齊次方程，再化含e的方程，解方程即口J.典型例題三 例3已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上的橢圓與直線xy 10交于A、B兩點(diǎn),M為AB中點(diǎn)，OM的斜率為0.25,橢圓的短軸長為2,求橢圓的方程.解：由題意,設(shè)橢圓方程為9xy 1由2aa?XMTV,XiX2kOM a? 4,1為所求.(1)此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；(2)直線與曲線的綜合問說明：題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長、弦中點(diǎn)、弦斜率問題.22例4橢圓一25 9典型例題四上不同三點(diǎn)A* yi, B4,9, CX2,氐與焦點(diǎn)F4,0的5距離成等差數(shù)列.(1) 求證 X1X2(2) 若線段AC的塑直平分線與X軸的交點(diǎn)為

3、T,求直線BT的斜率k. (1)由橢 證明：；圓方程知a5, b同理 CF由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知:AF2aAF a exi45 5X1AF CF2BF ,且 BF4185x25X1 X2 8(2)因?yàn)榫€段AC的中點(diǎn)為4,篤亞，所以它的垂直平分線方程為yi Wy "V又點(diǎn)T在X軸上，設(shè)其坐標(biāo)為Xo,O,代入上式，得2Y22% X2又點(diǎn) Axi，yi, BX2, y都在橢圓上,2yi25 X221/259Y.252/o2/：將此式代入,9YPS并利用X1 X2X2 XiX28的結(jié)論得Xo43625Xo典型例題五2例5已知橢圓一4冃為兩焦點(diǎn)，問能否在橢圓上找一點(diǎn)M,使M到左準(zhǔn)線I的距離MN

4、是MR與MF2的等比中項(xiàng)？若存在,則求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：假設(shè)M存在，設(shè)MXi,%,由已知條件得a 2, b 3, c斤 OX月左準(zhǔn)線丨的方程是X二 MN又由焦半徑公式知:cMFi ae 為 2Xi,2MF?ca ex 2 X . MN I MF MFaXi2整理得 5X；32X1 48 0解之得Xi 4或Xi另一方面2X12.則與矛盾，所以滿足條件的點(diǎn)M不存在.說明：(1) 利用焦半徑公式解常可簡化解題過程.(2) 本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根 據(jù)已知條件進(jìn)行推理和運(yùn)算進(jìn)而根據(jù)推理得到的結(jié)果，再作判斷.(3)本例也可設(shè)M2C0S, 3si

5、n存在，推出矛盾結(jié)論(讀者自己完成)2例6已知橢圓今f典型例題六1,求過點(diǎn)P ，-且被P平分的弦所在的直線方程.22分析一：已知一點(diǎn)求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為k,利用條件求k 解法一：設(shè)所求直線的斜率為k,則直線方程為叫代入橢圓方程，并整理得0.1 2貯2 x? 22 2k X Q k 322由韋達(dá)足理得Xl X22k 2k1 2k；P是弦中點(diǎn)，XiX2仁故得k 2所以所求直線方程為2x4y 3分析二：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為 組，從而求斜率：一也.Xl X2Xi,7 yi、y2,列關(guān)于Xi、X2、yi> y2的方程2 1解法二：設(shè)過P的直線與橢圓交于Ax-i, %、Bx2，比，則由題意得X

6、i2y 122X22 12y2XiX2 1,y2 12n2y2一得X (X22y：將、代入得匹上丄，即直線的斜率為'x-i X22所求直線方程為2x 4y 3 0 .說明：(1) 有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，主要有三種類型：過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平 行 弦的中點(diǎn)軌跡；過定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡.(2) 解法二是“點(diǎn)差法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問題的題較方便，要點(diǎn)是巧代 斜 率.(3) 有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點(diǎn)差法” 有 關(guān)二次曲線問題也適用.典型例題七 例7求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 長軸長是短軸長的2倍，且過點(diǎn)2, 6 ;上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的聯(lián)機(jī)互相垂直，且焦距為在X

7、軸6.分析：當(dāng)方程有兩種形式時(shí)，應(yīng)分別求解，女口(1)題中由篤 篤1 i'hB ab2 2aM48,b2 37,在得方程一1后，不能依此寫出另一方程一148 37148 37解：(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為21或篤a222b由已知a 2b.又過點(diǎn)2, 6,因此有262 .62221或a b由、，得a?148, b?37 或 a'52, b?13 故所求的方程為2X14822y_1 或一3752132設(shè)方程為pa18 .故所2陀1.由已知，C 3, b C 3,所以a? b2求方程為X y1.189說明：根據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn),定參數(shù)”.關(guān)鍵在于2222焦點(diǎn)的位置是

8、否確定，若不能確定，應(yīng)設(shè)方程 爲(wèi)爲(wèi)1或爲(wèi) a b典型例題八22例8橢圓一乞1的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)A1,3,點(diǎn)M在橢圓上,16 12AM 2 MF為最小值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).分析：本題的關(guān)鍵是求出離心率e1,把2 MF轉(zhuǎn)化為M到右準(zhǔn)線的距離,1從而得最小值一般地，求am|-|mf均可用此法. e 1解：由已知：a 4, c2 所以e丄，右準(zhǔn)線2過A作AQI,垂足為Q,交橢圓于M,故MQ 2MF .顯然AM 2MF的最小值為AQ,即M為所求點(diǎn)，因此yM.3,且M在橢圓上故Xm 23 所以 M2、3, 3 .說明：本題關(guān)鍵在于未知式AM 2MF中的“2”的處理事實(shí)上，如圖,e -,即MF是M到右準(zhǔn)線的距

9、離的一半，即圖中的MQ,問題轉(zhuǎn)化為求橢圓 上一點(diǎn)M,使M到A的距離與到右準(zhǔn)線距離之和取最小值.典型例題九例9求橢圓-'彳y 1上的點(diǎn)到直線X y 63值-0的距離的最小橢圓方程典型例題分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點(diǎn)到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出 距離的最小值.解：橢圓的參數(shù)方程為X則點(diǎn)到直線的距離為cos,設(shè)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為、3COS ,sin y sin .3 cos sin2sin 3311說明：當(dāng)直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)不易解決問題時(shí)，可建立曲線的參數(shù)方程.典型例題計(jì)例10設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在X軸上，離心率e ,已知點(diǎn)P0_22到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是,求這個(gè)橢圓的

10、方程，并求橢圓上的點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo).分析：本題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問題的能力，在求d 的最大值時(shí)，要注意討論b的取值范圍此題町以用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也町用 橢圓的 參數(shù)方程，要善于應(yīng)用不等式、平面幾何、三角等知識(shí)解決一些綜合性問題，從而 加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思想，提高邏輯推理能力.解法一：設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是篤爲(wèi)1翼中abO待定.a b».1少a即 a 2b.2設(shè)橢圓上的點(diǎn)X, y到點(diǎn)P的距離是d,則3y橢圓方程典型例題217如果b，則當(dāng)yb時(shí)，乎1（從而d ）有最大值.由題設(shè)得r 2?311'由此得b-7-，與b 一矛盾因此必有b -成立

11、2乎（從而d）有最大值.由題設(shè)得，74b2 3,可得b2所求橢圓方程是-42及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn)a cos，其中aI r點(diǎn)P纟的距離是7解法二：根據(jù)題設(shè)條件，可取橢圓的參數(shù)方程是 待定，02,為參數(shù).可睿2C a b ,右翁 e_ 2a a<1 艮號(hào) a 2b.3設(shè)橢圓上的點(diǎn)X, y到點(diǎn)P 0,的距離為d,則24b23y-23b2 si22a cosbsi n2 3b sin2 sin如果丄9h1,即b2好2b1sin時(shí)，* （從而d ）有最大值.2b 1成立.于是當(dāng)sin由題設(shè)知72I,由此得b72與b-矛盾，因此必有I 2亦時(shí)d （從而d）有最大值. 所求橢圓的參數(shù)方程

12、是cossin由 sin - cos2,可得橢圓上的是典型例題十一例 11 設(shè) X, y R, 2x26X,求x2 y2 2x的最大值和最小值.分析：本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程2x2 3護(hù)6X與橢圓方程的結(jié)構(gòu)一致設(shè)x? y2 2x圓及圓的位置關(guān)系求得最值.Rl,顯然它表示一個(gè)圓，由此可以畫出圖形，考慮橢解：由 2x2 3y26x,3X292y32可見它表示一個(gè)橢圓，其中心在3,0點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，且過（0, 0）點(diǎn)2和（3,0）其圓心為（一 1,0）半徑為m Im 1 .f 2x的最小值為0,最大值為15.典型例題十二22bO, A、B是其長軸的兩個(gè)端點(diǎn).例12已知橢圓C:務(wù)占1 aa

13、 b(1)過一個(gè)焦點(diǎn)F作垂直于長軸的弦PP,求證：不論a、b如何變化,APB 120 如果橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)Q使AQB120,求C的離心率e的取值范圍分析：本題從已知條件出發(fā)，兩問都應(yīng)從APB和AQB的正切值出發(fā)做出估計(jì)，因此要從點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率入手本題的第(2)問中，其關(guān)鍵是根據(jù)什么去列出離心率e滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質(zhì):X a, y b,根據(jù)AQB 120得到一 23,將電y2代入，消去x,用a、b、X y abc表示y,以便利用yb列出不等式這里要求思路清楚，計(jì)算準(zhǔn)確，一氣呵 成.解： 設(shè) Fc,0, Aa,0, Ba,0.Pc苴 aKbp于是Kap橢圓方程典型例題APB是AP至U

14、BP的角.- tanAPB22bba c a a c ab42a22C222a c a2-a tanAPB故tanAPBAPB 120（2）設(shè) Q X, y ,則 koA由于對(duì)稱性，不妨設(shè)yo,于是AQB是QA至IQB的角.tan AQB2ay2X y a22AQB 120 ,2ay2X y a22整理得3 x2 y2 a? 2ay 02xa23 231 b2 /2ay 02ab2-y0,3c 2ab2ab4a2 a? 2 c Sc 4c44a4°,3e° 4e2（舍）,19例13已知橢圓- d的離心率ek8 9分析：分兩種情況進(jìn)行討論.k4.典型例題十三I,求k的值.2解

15、：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，a?得ok8, b9,得1 k.解法二：d2e, cb為P到右準(zhǔn)線的距離，e©b當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a?9 ,r 1 存 1 k 1 前，5 由e，得2 9 滿足條件的k4或k4說明：本題易出現(xiàn)漏解排除錯(cuò)誤的辦法是：因?yàn)閗8與9的大小關(guān)系不定,所以橢圓的焦點(diǎn)可能在X軸上，也可能在y軸上故必須進(jìn)行討論.典型例題十四例14已知橢圓*臂1上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F2的距離為b(b 1),求P到左4b2呼 準(zhǔn)線的距離.分析：利用橢圓的兩個(gè)定義，或利用第二定義和橢圓兩準(zhǔn)線的距離求解.解法一：由電鷺弧得a西，c,.3b, e 由橢圓定義，|Ph|PF22a 4b,得PFi4

16、bP F2 4bb3b.由橢圓第二定義，-蔦d如到左準(zhǔn)線的距離,即P到左準(zhǔn)線的距離為3b.又橢圓兩準(zhǔn)線的距離為2 空b .C 3P到左準(zhǔn)線的距離為2衛(wèi)b23b .33說明：運(yùn)用橢圓的第二定義時(shí)，要注意焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的同側(cè)性否則就會(huì)產(chǎn)生 誤 解.橢圓有兩個(gè)定義，是從不同的角度反映橢圓的特征， 解題時(shí)要靈活選擇，運(yùn)用自 如一般地，如遇到動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的問題，用橢圓第一定義；如果遇到動(dòng)點(diǎn)到 定直 線的距離問題，則用橢圓的第二定義.典型例題十五X 4 cos ,（為參數(shù)）上一點(diǎn)P與X軸正向所成角POx例15設(shè)橢圓y 2p3sin .求P點(diǎn)坐標(biāo).分析：利用參數(shù) 與POx之間的關(guān)系求解.解：設(shè)P（4cos ,

17、 2 3sin ）,由P與x軸正向所成角為一,2j 3sintan3 4 cos肋丄 小,即 tan 2.而 sin 0, cos 0, sin由此得到cos"2-55-P點(diǎn)坐標(biāo)為（口，口）.5 5典型例題十六2 2例1 6設(shè)bO）上的一點(diǎn)，P到左P（xo, y。）是離心率為e的橢圓$占1 （a焦點(diǎn)£和右焦點(diǎn)F2的距離分別為n和血，求證：幾aexo, 2 a exo 可將橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn) 分析：本題考查橢圓的兩個(gè)定義，禾I用橢圓第二定義，的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到相 應(yīng)準(zhǔn)線距離.橢圓方程典型例題QPF0日X2 a Xo c2解： P點(diǎn)到橢圓的左準(zhǔn)線丨:X的距離，PQIC由橢圓第二定義，

18、霜e, nePQ a,由橢圓第一定義,2a ri a exo .25說明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑(或焦點(diǎn)弦)的有關(guān)問題時(shí)，有著廣泛的應(yīng)用請寫出橢圓焦點(diǎn)在y軸上的焦半徑公式.典型例題十七22例17已知橢圓一壬1內(nèi)有一點(diǎn)A(1,1), Fi、丘分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),95點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn).(1) 求PA PR的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo);3 求PA TPF2I的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目 標(biāo)函數(shù)當(dāng)，即代數(shù)方法二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法本題若按先建立冃標(biāo)函數(shù)，再 求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)

19、化冃標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就 能簡捷求 解.解: (1)如上圖，2a 6, F2(2,O), AF2門，設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn)，由 PA PFj PR pF? AF212a lAF?! 6邁等號(hào)僅當(dāng)PAPF2AFjPR PF?2a6PA|PF? AF?時(shí)成立，此時(shí)P、A、F2共線.由 PA PH AF21,二 PAPFi PR PH IAF2 2a AF2 6等號(hào)僅當(dāng) PA PF2 AF2時(shí)成立,此時(shí)P、A、F2共線.建立A、丘的直線方程xy20,解方程組sy'2'*得兩交點(diǎn)5x2 9y2 45R（9|5血d屈）、諾匹運(yùn)上2僥）.7 147147147 14PA |PF2綜上所述，P點(diǎn)

20、與R重合時(shí)，PAPFi取最小值6血，P點(diǎn)與&重合時(shí),取最大值6近.（2）如下圖，設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn)，作PQ垂直橢圓右準(zhǔn)線，Q為垂足，由2*3, C2e3.由橢圓第二定義知PF?2,二 PO2PF2,PQPA PFal PA PQ,要使其和最小需有A、線跖離.右準(zhǔn)線方程為X"到右準(zhǔn)線距離為21,代入橢圓Q共線，即求A到右準(zhǔn)得滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)（出，1）.5說明：求PA-IPF2的最小值，就是用第二定義轉(zhuǎn)化后，過A向相應(yīng)準(zhǔn)線作 e橢圓方程典型例題垂線段巧用焦點(diǎn)半徑PH與點(diǎn)準(zhǔn)距PQ互化是解決有關(guān)問題的重要手段.典型例題十八22例18 寫出橢圓一-94(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積.

21、分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用為簡化運(yùn)算和減少未知數(shù)的個(gè)數(shù), 用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，所求問題便化歸為三角問題.X 3cosy 2si n1的參數(shù)方程;解：(1)R).29(2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為S,由對(duì)稱性知，矩形的鄰邊分別平行于X軸和y 軸，設(shè)(3 cos , 2sin )為矩形在第一象限的頂點(diǎn)，(0則 S 4 3COS 2sin12sin2 12故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12.說明：通過橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，一般地，與圓錐曲 有關(guān)的最值問題，用參數(shù)方程形式較簡便.典型例題十九F1PF26O例19已知Fi, F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且(1

22、)求橢圓離心率的取值范圍;求證PF1F2的面積與橢圓短軸長有關(guān).分析：不失一般性，可以設(shè)橢圓方程為x2*y2T1 ( abO), P(Xi,yj (yiO).a b思路一：根據(jù)題設(shè)容易想到兩條直線的夾角公式，即媲Ktan60 丄21 KpF2 KpFi必1,兩方程聯(lián)立消去x*3 ,設(shè) P(Xi yjR( c,0),F2(c,0),化簡可得yi3c2yi2 2b2cyi 360,由力(0,b,可以確定離心率的取值范圍；解出 町以求出PRF2的面積，但這一過程很繁.思路二：利用焦半徑公式PFiaex, PF2弦定 ae在PF丘中運(yùn)周畬入骷 理，求X“再利用Xia,a,可以確定離心率e的取值覘代入橢

23、范圍，圓方程中求yi,便可求出PRF2的面積.思路三：利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合PFPF2a求解.22Fi( c,0),解：(法1)設(shè)橢圓方程為篤與1 ( abO ),P( Xi,yi), a bF2 (c, 0) , c 0,則 PFi a ©A, PF2 a .在PF1F2中，由余弦定理得COS601 (a exf (a exf 4&2 2(a exi)(a ex；)解得X,4& a?3彳(1) Xf(0期1220C具 aS 即 4c2a2 0 3ea2故橢圓離心率的取范圍是e -,1).22222將XP如/代入仔每3e2yi著，IP VI3c -S PFiF2-F1F2b222c3c即PFiF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).(法 2)設(shè) PPm, PFzn,PF2F2PF八2在PR卮中,由正弦定理得C sin60sin 60COSmn2csinsinsin 60m n2csinsinsin 60t mn 2a,2a2csinsins