導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用山東馬連東許美文近幾年來導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用題在高考試卷中已經(jīng)出現(xiàn)，比重也有所增加，因此應(yīng)更加重是這方面的學(xué)習(xí)?，F(xiàn)在，實際問題。1有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊 乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足并且新教材中導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用體的 我們研究幾個導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟生活中的A處，乙廠與甲廠在河的的兩側(cè)，D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合 C建在建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為3a元和5a元，問供水站何處才能使水管費用最??？分析：根據(jù)題設(shè)建立數(shù)學(xué)模型， 借助圖像尋找個條件間的 聯(lián)系，適當(dāng)設(shè)定變元，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系， 方法求出最值，可確定 C點的位

2、置。解法一：據(jù)題意知，只有點 C在線段 置，才能能使總運費最省，設(shè)C點距D點通過求導(dǎo)和其他AD上某一適當(dāng)位 xkm，如圖所示，BD=40，AC=50 X,BC =JbD2 +CDBC的水管費用為 y 元，由題意得D= 3a(50-X ) +5aJxt400<x <50 ),5ax ,令 y'=0,解得x=30.在（0，50）上,y只有一個極值點，根據(jù)實際意義，函數(shù)在 x=30（km）處取得最小值，此時 AC=50-x=20（km），所以供水站建立在 A、D 之間距甲廠20間距甲廠20km處，可是水管費用最省。解法二：設(shè) NBCD =0,則 BC 二，0-sin 0,CD =

3、40 9ot£ 0<0c， V 2丿/. AC =50 -40cot e。設(shè)總的水管費用為f (9 ),依題意，有 f (8 )=3a(50-40cot8)+5a 竺=150a+40a 53曲日 sinTsi n 日,心(5-3cos& ) sin日-(53cos日)(co用)3-5cos日-f(°)=40a =40a -snorsin2 日33令f '（日）= 0,得cosT =-。根據(jù)問題的實際意義，當(dāng) cos6 -時，函數(shù)取得最小值，此時554 3sin 日=一，. cot 日=一，二 AC = 50 - 40 cot & = 20 （

4、km），5 4A、D之間距甲廠20km處，可是供水管費用最省。評注：解決實際問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，把 言，找出問題的主要關(guān)系， 并把問題的主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)問題， 法解決，再返回到實際問題中加以說明。即供水站建在即供水站建在“問題情境”譯為數(shù)學(xué)語 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ふ疫m當(dāng)?shù)姆剿栽趨^(qū)間0,母）內(nèi)，函數(shù)y=f （X）在點 2取極大值，也是最大值。即當(dāng)電燈與0點2.生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)一件正品，可獲利100元，已知該廠制造電子元件過程中，次品率P3x*P =（X忘 N ）4X + 32（1）（2）200元，如果生產(chǎn)一件次品則損失與日產(chǎn)與日產(chǎn)量 x的函數(shù)關(guān)系是將該產(chǎn)品的日盈利額 T

5、（元）表示為日產(chǎn)量 為獲最大利潤，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？x件，次品數(shù)為分析：次品率p=日產(chǎn)次品數(shù)/日產(chǎn)量。每天生產(chǎn)x(1 - p)。x的函數(shù)。xp,正品數(shù)為正品數(shù)為解：因為次品率x件時，有3xP，當(dāng)每天生產(chǎn)4x +323xx 一亠件次品，有4X + 323x3x件正品，所以T =200xM-V 4x +32 丿3x100x 4x + 32=25 竺二2 匸 T - _25x + 32y-6)。由 T - 0,得 x=16,或 x= 32(舍去)。 x+8(X+8)2當(dāng)0<xc16時，T>0;x>0時 T<0.所以，當(dāng)x=16時，T最大。及該廠的日產(chǎn)量為6件時，能獲得

6、最大盈利。3.若電燈（B）可在過桌面上一點 0的垂線上移動，桌面上由與點0距離為a的另點A，問電燈與點 0的距離為多大時，可使點 A出有最大的亮度？（如圖，有光學(xué)知識，亮度y與sine成正比，與r2成反比）解:設(shè)O到B的距離為x，則sin 8 =, r = Jx2 +a2 rC r (X2 +a2)X=c(X2 +a2（X >0 ）（ c適于燈光強度有關(guān)的常數(shù)）(x2+a2f當(dāng)/ =0,即方程a2 -2x2 =0的根為人=-尸（舍）與X2 =,72逅Xa石p y+0y極大值距離為丄時，點A的亮度y為最大。4.現(xiàn)要制作一個體積為30 m3的圓柱形無蓋容器，其底面用鋼板，側(cè)面用鋁板。已知3倍

7、，問怎樣設(shè)計才能是材料費用最少？ 列出材料費用的函數(shù)式，把它轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值的問題。30解析：設(shè)圓柱形容器的底面半徑為xm，則圓柱的高為2 m，底面面積為兀x2m2，側(cè)兀X每平方米鋼板的價格是鋁板的 分析：這是一道實際應(yīng)用題,面積為60m2。又設(shè)每平方米鋁板的價格為a元，鋼板的價格為 3a元，總費用為y元，則X2 6060y =3a兀 X +一a(x:>0 )，二 y' = 6a兀 x.令 y' = 0,得 x =XX a“.47.因為y只有一個使其為零的點，即只有一個極值點。由題意,y 一定有最小值，故此極值點就是y的最小值點，這是圓柱的高為3職 （m）。故圓柱的底面

8、半徑為m，高為30 m時總費用最少。點評：在建立函數(shù)表達式時，首先要適當(dāng)選取自變量及其取值范圍， 時可減少運算量。5.（2004年遼寧）甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠。由于乙方生產(chǎn)需要占用甲方的資源,因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定的凈收入。在乙方不賠付甲方的情況自變量選得恰當(dāng)有下，乙方的年利潤x（元）與年產(chǎn)量t噸滿足函數(shù)關(guān)系X = 2000斤。若乙方每年生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價格）。（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤（1 ）將乙方的年利潤 w （元）表示為年產(chǎn)量t 的年產(chǎn)量；（2）甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額y =0.002t2（元），在乙方按照獲得

9、最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價格s是多少？解：（1）法一：因為賠付價格為 s元/噸,所以乙方的實際年利潤為w = 2000/? - st.因為w =2000QsM2杠-丁十遊2,所以當(dāng)t = fl000時，w取得最大 s'Vs）值。所以乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量t=卩000噸。V S丿法二:t At。時,(2)解：設(shè)甲方凈收入為 V元，則v=st-0.002t2。將t =罟0卜入上式，得到甲因為賠付價格為 s元/噸，所以乙方的實際年利潤為w=2000F-st.令心0,得罟.當(dāng)y時，心0;當(dāng)w<0.所以t =to時，w取得最大值。

10、所以乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量噸。J2方凈收入V與賠付價格s之間的函數(shù)關(guān)系式v-100-2%10。0ss2 2P ,10002 8咒10003 1000 咒(8000 S )又 V = +5=5,令 V = 0，得 s=20。s當(dāng)s<20時， >0 ；當(dāng)sa20時，v<0,所以s=20時，V取得最大值。因此甲方向乙方要求賠付價格s=20元/噸時，獲最大凈收入。評述：本題主要考查函數(shù)的概念，運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大值、最小值的方法以及運用數(shù)學(xué) 知識，建立簡單數(shù)學(xué)模型并解決實際問題的能力。6.(2005年全國3)用長為90cm、寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截取一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角，再焊接而成(如圖)。問該容器高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？解：設(shè)容器高為xcm,容器的容積為則 V (X ) = x( 90 2x X 48 - 2x )= 4x' - 276x2 + 4320x (ocxv24)。求 V(x)的導(dǎo)數(shù)得 V '(x) = 12x2 -552x + 4320 = 12(x2 -46x+360 ) = 12(x-10 X x-36 ),令 V'(x)=0,得 x10,x2 =36(舍去)。當(dāng) 0 cx<10 時，V'(x):>0,那么 V