三維表面粗糙度測(cè)量中的高斯遞歸濾波算法_圖文

1、三維表面粗糙度測(cè)量中的高斯遞歸濾波算法【摘要】基于中心極限定理，提出了一個(gè)高斯濾波器逼近模型，并利用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)字高斯濾波器。通過(guò)級(jí)聯(lián)方法，該濾波器的幅度傳輸特性偏差可控制在(-0.28%+1.14%以?xún)?nèi)，擴(kuò)展為二維高斯濾波器，其三維幅度傳輸特性偏差可控制在(-0.42%+1.12%以?xún)?nèi)。該濾波器采用遞歸實(shí)現(xiàn)算法，算法簡(jiǎn)便，易于實(shí)現(xiàn)。在遞歸算法的基礎(chǔ)上，引入一種邊緣初始值的預(yù)測(cè)方法，有效抑制了遞歸算法的邊緣效應(yīng)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該濾波器能夠穩(wěn)定可靠地提取三維表面參考面，在普通計(jì)算機(jī)上處理2000×2000點(diǎn)的三維采樣數(shù)據(jù)僅需要7s，效率很高。關(guān)鍵詞：計(jì)量學(xué)；表面粗糙度；二

2、維高斯濾波器；邊緣效應(yīng) 中圖分類(lèi)號(hào)：TP2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A Gaussian Recursive Filtering Algorithm to 3D Surface Roughness MeasurementAbstractBased on the central limit theorem, an approximation model of Gaussian filter is put forward. Then, a digital Gaussian filter is designed by combination with impulse invariant transformati

3、on and this model. Through the cascaded use, the amplitude transmission deviation of this filter can be controlled within (-0.28%+1.14%. When extended to a two-dimensional(2D Gaussian filter, the deviation of three-dimensional(3D transmission characteristic can be controlled within (-0.42%+1.12%. It

4、s recursive algorithm is so simple that it is implemented easily. A method of forecasting the initial value of the edge is proposed to restrain the end effect caused by this recursive algorithm. Experimental results show that this filter can extract the reference surface of 3D surface stably and rel

5、iably, once extraction of 2000×2000 3D sampled data on a general computer only consumes 7s, efficiency is demonstrated.Key words：Metrology; Surface roughness; 2D-Gaussian filter; End effect 引言長(zhǎng)期以來(lái)表面形貌的表征一直是二維的，即以?huà)呙璜@得的輪廓線(xiàn)作為表征的基礎(chǔ)。但隨著表面分析的深入和光學(xué)儀器性能的提高，二維參數(shù)表征已不能滿(mǎn)足工程界的要求，只有三維的檢測(cè)和定量化計(jì)算才能對(duì)表面形貌進(jìn)行完整的表征1

6、。在二維表面測(cè)量中，中線(xiàn)(Mean Line是輪廓評(píng)定的基準(zhǔn)線(xiàn)，眾多的表面特征參數(shù)與之有關(guān)2，他的確定是進(jìn)行表面參數(shù)評(píng)定的基礎(chǔ)。在三維表面測(cè)量中，首先需要確定的則是三維基準(zhǔn)面(Reference surface，有關(guān)三維表面參數(shù)評(píng)定的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)正在醞釀中3。二維中線(xiàn)和三維基準(zhǔn)面的提取都是依靠濾波器完成的。國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)曾經(jīng)規(guī)定2RC濾波中線(xiàn)作為二維表面評(píng)定基準(zhǔn)線(xiàn)，但由于2RC中線(xiàn)本身的非線(xiàn)性相移會(huì)扭曲濾波結(jié)果，最終被淘汰。1996年，ISO11562推薦高斯濾波器中線(xiàn)作為新的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，時(shí)至今日，仍然被廣泛采用4。高斯濾波的幅度特性是一個(gè)高斯函數(shù)，既要精確又要快速地進(jìn)行高斯濾波并不是一件容易實(shí)現(xiàn)的事情。

7、圍繞著如何準(zhǔn)確快速地實(shí)現(xiàn)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的傳輸特性，國(guó)際上眾多學(xué)者進(jìn)行了廣泛的研究，繼而出現(xiàn)了許多高斯濾波器的逼近算法和快速算法5-7。本文敘述了一種用高斯函數(shù)的逼近法和沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)出的數(shù)字高斯濾波器，并給出了其零相移的遞歸濾波算法，算法簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。但值得注意的是，由于采用遞歸的計(jì)算方法，其運(yùn)算結(jié)果難免會(huì)出現(xiàn)邊緣數(shù)據(jù)失真（也被稱(chēng)為邊緣效應(yīng)）。相對(duì)于二維表面評(píng)定，三維表面評(píng)定在x或y軸單方向上的采樣點(diǎn)數(shù)要少得多，這是因?yàn)椴蓸勇蔬^(guò)高，計(jì)算效率嚴(yán)重下降。正因?yàn)閱畏较蛏喜蓸狱c(diǎn)數(shù)減少，所以就要盡量利用采樣值，保留有效值點(diǎn)，這時(shí)，對(duì)于邊緣數(shù)據(jù)點(diǎn)的處理顯得更加重要。因此，本文還給出了一種預(yù)測(cè)邊緣初始

8、值的方法，在最小二乘的原則下抑制邊緣失真，有效保留了邊緣特征。1 高斯濾波器的逼近方法根據(jù)ISO115624，高斯濾波器的權(quán)函數(shù)和傳輸特性分別為：和 (1其中是常數(shù)，為波長(zhǎng)，是截止波長(zhǎng)。，為采樣間距，為采樣點(diǎn)數(shù)，為截止波長(zhǎng)內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)。高斯濾波器具有線(xiàn)性相位，而且當(dāng)，高斯濾波器的傳輸特性為50%，所以=0.4697。對(duì)于高斯函數(shù)，可以由泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)為。當(dāng)時(shí)， (2定義函數(shù) (3由中心極限定理可知，的級(jí)聯(lián)可以逼近高斯函數(shù)，表示如下： (4其中，為級(jí)聯(lián)標(biāo)識(shí)符。例如，時(shí)，式(4為二階級(jí)聯(lián)，時(shí)，式(4為十六階級(jí)聯(lián)。因?yàn)闀r(shí)的幅度傳輸特性為50%，所以 (5對(duì)于單個(gè)逼近單元式(3，由于且，所以 (6將代入上

9、式，得到 (7極點(diǎn)為，只有在左平面，所以 (8即為設(shè)計(jì)高斯逼近濾波器的模擬濾波器原型。3 IIR型高斯逼近濾波器對(duì)式(8應(yīng)用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIR型數(shù)字濾波器8,9。得到如下： (9其中，同樣對(duì)應(yīng)的z變換為 (10由式(9(10的兩個(gè)數(shù)字濾波器就可以構(gòu)成零相移濾波器，有： (11由，可得 (12以式(11(12這樣的零相移濾波器，經(jīng)2n-1階級(jí)聯(lián)，就可構(gòu)成IIR型高斯逼近濾波器。 (13圖1給出了一階，四階，八階，十六階高斯逼近濾波器的幅度傳輸特性圖?？梢钥闯?，逼近濾波器的幅度傳輸特性隨著級(jí)聯(lián)階數(shù)的增加逐漸逼于高斯濾波器。階數(shù)越高，偏差越低，當(dāng)采用十六階級(jí)聯(lián)時(shí)，其傳輸特性偏差僅為(-0.2

10、8%+1.14%，接近1%，遠(yuǎn)小于ISO11562規(guī)定的高斯簡(jiǎn)化算法5%的傳輸偏差。圖1 高斯濾波器與逼近濾波器幅度傳輸特性4 二維高斯濾波器二維表面測(cè)量是在單一輪廓曲線(xiàn)上評(píng)定表面特征參數(shù)，他包含的信息量少，不能綜合反映表面特征。三維表面形貌測(cè)量是在一定區(qū)域中評(píng)定表面特征參數(shù)，能整體反映表面情況，更接近于真實(shí)情況。下面我們利用高斯逼近濾波器建立參考面。將一維高斯濾波器的權(quán)函數(shù)擴(kuò)展到二維，就構(gòu)成了三維表面形貌測(cè)量中的二維高斯濾波器。二維高斯濾波器的權(quán)函數(shù)如下 (14其中xc和yc分別是x軸和y軸方向上的截止波長(zhǎng)，當(dāng)x =xc，y=或y =yc，x=時(shí)，二維高斯濾波器的幅度傳輸特性為50%，所以=

11、ln2/3。由式(14可以得到 (15可以看出，二維高斯濾波器具有分離特性，他可以在x軸和y軸方向上分解成兩個(gè)一維高斯濾波器，并且分別計(jì)算。兩組一維逼近濾波器分別沿著x軸和y軸方向處理采樣點(diǎn)，最終合成建立三維表面濾波的參考面。二維16階高斯逼近濾波器的幅度傳輸特性如圖2所示。圖3給出了二維高斯逼近濾波器與二維高斯濾波器的幅度傳輸特性偏差，偏差范圍為(-0.42%+1.12%。圖2 二維16階高斯逼近濾波器幅度傳輸特性圖3 二維16階高斯逼近濾波器與高斯濾波器幅度傳輸特性偏差5 差分遞歸算法方程(13是零相移的無(wú)限沖激響應(yīng)(IIR數(shù)字濾波器。設(shè)x(i是輸入序列，r(i是中間計(jì)算結(jié)果，y(i是濾波

12、器的輸出序列。則輸入信號(hào)x(i經(jīng)過(guò)一級(jí)濾波后，將結(jié)果反序，再經(jīng)過(guò)同一濾波器，就可以得到零相移濾波輸出。方程(11對(duì)應(yīng)差分方程為： (16 (17其中，N為評(píng)定長(zhǎng)度上總的采樣點(diǎn)數(shù)，i=1N。對(duì)于2n-1階數(shù)字高斯逼近濾波器，就需要經(jīng)過(guò)2n-1次式(16(17給出的兩步遞歸運(yùn)算。逼近濾波器的級(jí)聯(lián)階數(shù)越多，逼近精度越高，但計(jì)算時(shí)間也越長(zhǎng)；反之，逼近精度降低，效率也就變高。由于具有零相移特性，因此濾波器結(jié)果不會(huì)出現(xiàn)相位失真。但由于采用遞歸算法，不可避免的要出現(xiàn)邊緣失真。6 邊緣效應(yīng)的抑制邊緣效應(yīng)是存在于有限采樣數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)濾波器濾波后在數(shù)據(jù)邊緣產(chǎn)生的數(shù)據(jù)失真10。在數(shù)據(jù)量充足的時(shí)候，邊緣效應(yīng)不會(huì)有很大影響

13、，但需要測(cè)量邊緣數(shù)據(jù)時(shí)，邊緣效應(yīng)就會(huì)影響輪廓評(píng)定。為此，給出一種邊緣效應(yīng)的抑制方法，改善濾波結(jié)果邊緣，從而加大表面評(píng)定長(zhǎng)度。研究式(16的計(jì)算過(guò)程，產(chǎn)生邊緣效應(yīng)的主要因素在于，如果的初始值即給定理想值，在很大程度上能夠抑制邊緣效應(yīng)。設(shè) (18其中，是零輸入且不為零時(shí)，式(16的濾波輸出；而是輸入不為零且的情況下，式(16的濾波輸出?？梢岳米钚《朔▉?lái)確定，即尋找到使式(19最小的， (19(1 首先研究，設(shè),，由式(16可知， (20(2 研究，設(shè)，為待處理數(shù)據(jù)，由式(16可知， (21將式(20和(21代入到(19中，并對(duì)建立導(dǎo)數(shù)為零的方程： (22可得 (23且。于是，由式(23可以在最

14、小二乘方式下確定初始值。同理，式(17的計(jì)算也需要初始值，與確定初始值的方法相同，可以得到 (24從而確定了。將式(23確定的和式(24確定的分別代入式(16和式(17中，即可有效地抑制高斯遞歸算法中的邊緣效應(yīng)。利用二維高斯逼近濾波器，對(duì)圖4中給出的模擬三維表面輪廓進(jìn)行濾波， 其中沿x軸和y軸的截止波長(zhǎng)xc和yc分別設(shè)定為400T。在一臺(tái)Intel Core(TM2 E7400 2.8GHz且內(nèi)存2G的微機(jī)上使用matlab編程運(yùn)算，完成一次三維表面濾波基準(zhǔn)面的提取耗時(shí)7s。濾波結(jié)果即三維表面濾波基準(zhǔn)面如圖5所示?？梢钥闯?，在濾波參考面的邊緣部分，邊緣效應(yīng)很小，增大了評(píng)定范圍，保留了有效數(shù)據(jù)。

15、圖4 原始表面數(shù)據(jù)圖5 二維高斯逼近濾波器濾波基準(zhǔn)面7 結(jié) 論利用高斯逼近函數(shù)與沖激響應(yīng)不變法，構(gòu)造出了用于表面粗糙度測(cè)量的IIR型數(shù)字高斯濾波器。當(dāng)使用十六階級(jí)聯(lián)時(shí)，該濾波器的幅度傳輸特性偏差僅為(-0.28%+1.14%，遠(yuǎn)小于國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)推薦的高斯簡(jiǎn)化算法傳輸偏差，擴(kuò)展為二維高斯濾波器，其幅度傳輸特性偏差也僅為(-0.42%+1.12%。該濾波器采用兩步遞歸算法實(shí)現(xiàn)，具有很高的計(jì)算效率，適用于三維表面測(cè)量。針對(duì)遞歸算法的邊緣失真，給出了一種預(yù)測(cè)遞歸運(yùn)算初始值的方法，他能在最小二乘準(zhǔn)則下抑制邊緣效應(yīng)。實(shí)驗(yàn)表明，該濾波器不但能夠穩(wěn)定可靠地實(shí)現(xiàn)高斯濾波器濾波特性，還能有效抑制邊緣效應(yīng)，加大評(píng)定長(zhǎng)度

16、，在普通計(jì)算機(jī)上，對(duì)2000×2000點(diǎn)數(shù)據(jù)提取一次濾波基準(zhǔn)面僅耗時(shí)7s，效率很高。參考文獻(xiàn)1 馮秀, 顧伯勤. 表面形貌的研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢(shì). 潤(rùn)滑與密封. 2006, 174(2:960971.2 Whitehouse D J. Survey of reference Lines in the assessment of surface texture. Annals CIRP, 1972, 21(2: 267-273.3 曾文涵, 高詠生, 謝鐵邦. 三維表面粗糙度高斯濾波快速算法. 計(jì)量學(xué)報(bào). 2003, 24(1:10134 ISO 11562, Geometrical p

17、roduct specification (GPS surface texture: profile method metrological characteristics of phase correct filters. 1996.5 Krystek M. A fast gauss filtering algorithm for roughness measurements. Prec Eng, 1996, 19(2: 599-601.6 Luo N L, Sullivan P J, Stout K J. Gaussian filtering of three dimensional engineering surface topography. Proc SPIE, 1993, 2101: 527-538.7 Yuan Y B, Qiang X F, Song J F, et al. A fast algorithm for determining the Gaussian filtered mean lin