已知雙曲線C的實半軸長和虛半軸長的乘積為

1、已知雙曲線C的實半軸長和虛半軸長的乘積為，C的兩個焦點分別為F1、F2，直線L過F2且與直線F1F2的夾角為，tg=，L與線段F1F2的垂直平分線的交點是P，線段PF2與雙曲線C的交點為Q(且PQPF2=21)，求雙曲線的方程.解：如圖，以直線F1F2為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系.設(shè)雙曲線C的方程為-=1 (ab0)設(shè)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(-c,0)、(c,0)，其中C=，則點P的坐標(biāo)為(0，-，c).由線段的定比分點公式可得Q點的坐標(biāo)為(c,- c).將Q點坐標(biāo)代入雙曲線方程得-=1，整理得16()4-41()2-21=0解得()2=3或()2=-(舍去)由()2=3和

2、題設(shè)ab=，解得a=1，b=.故所求雙曲線方程為x2-=1.已知點P在直線x=2上移動，直線l通過原點且OP垂直 ，過點A(1，0)和點P的直線m和直線l交于點Q，求點Q的軌跡方程，并指出該軌跡的名稱和它 的焦點坐標(biāo).解：設(shè)點P的坐標(biāo)為(2，y1)，則直線OP的斜率kOP=.l直線OP.直線l的斜率k1滿足kOP·k1=-1，即·k1=-1，得k 1=-.又直線l過原點，所以l的方程為y=-x.直線m過點A(1，0)，P(2，y1).m的方程為y1x-y-y1=0由l的方程得y1=-代入m的方程得-x-y+=0，即2x2+y2-2x=0.顯然點Q與點A(1，0)不重合，故x

3、1.又2x2+y2-2x=0可化為+=1 (x1)，已知橢圓的焦點為F1(0，-1)和F2(0，1)，直線 y=4是橢圓的一條準(zhǔn)線.(1)求橢圓方程；(2)設(shè)點P在橢圓上，且PF1-PF2=1，求tanF1PF2的值.解：如圖.(1)設(shè)所求橢圓方程為+=1，(a b0)由F1(0，-1)和F2(0，1)，知c=1，得a2=b2+1， 由一條準(zhǔn)線方程為y=4知，=4 又a2=b2+c2 由、解得a2=4，b2=3.故所求橢圓方程為+=1.(2)由橢圓定義及a=2有PF1+PF2=4 由題設(shè)有PF1-PF2=1 解出PF1=，PF2=，又F1F2 =2.在PF1F2中，F(xiàn)1PF2=，cos=，從而

4、sin=，tg=，tgF1PF2=.四、能力訓(xùn)練(一)選擇題1.“點M的坐標(biāo)是方程f(x，y)=0的解”是“點M在方程f(x，y)=0曲線上”的( )A.充分不必要條件 2.拋物線x=-的焦點坐標(biāo)是( )A.(0，1) B.(-1，0)C.(0，-) D.(-，0)3.橢圓(1-m)x2-my2=1的長軸長是( )A. B. C. D. 4.下列各對雙曲線中，既有相同離心率又有相同漸近線的是( )A.-y2=1和-=1B. -y2=1和y2-=12-=1和x2-=1D. -y2=-1和-=12-4y=0上一點P到焦點的距離為3，那么P的縱坐標(biāo)是( )A.3 B.2 C.+=1 (ab0)的兩

5、個焦點把夾在兩條準(zhǔn)線間的線段三等分，那么這個橢圓的離心率是( )A. B. C. D. 2+y2-2axsin-2bycos-a2cos2=0在x軸上截得的弦長是( ) a C.a D.4a8.過雙曲線的一個焦點，有垂直于實軸的弦PQ，F(xiàn)是另一個焦點，若PFQ=，則雙曲線離心率是( )A.+2 B. +1 C. D. -12+4y-4x=0的準(zhǔn)線方程是( )A.x=0 B.y=0 C.x=-2 D.y=-210.橢圓的兩準(zhǔn)線方程分別為x=，x=-，一個 焦點坐標(biāo)為(6，2)，則橢圓方程是( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1-=1的兩條漸近線含 實軸的夾角為，而離心率e，2，則的取值范

6、圍是( ) A.， B.，C.， D.，+=1的弦AB被點(1，1)平分，則 AB所在的直線方程是( )A.4x-9y-11=0 B.4x+9y-13=0C.9x+4y-10=0 D.9x-4y-5=013.和x軸相切，且和圓x2+y2=1外切的動圓圓心的軌跡方程是( )2=2y+1 2=-2y+12=2y+1或x2=-2y+1 2=2y+1+=1 (ab0)和曲線+=1(m0，n0)有相同的焦點F1和F2 ，P是這兩條曲線的交點，則PF1·PF2的值是( ) B.(a-m)2-m2 D.-15.已知0a1b，那么曲線a2x2-a2y2=logab是( )(二)填空題+ycos=m(

7、常量(0，) 被圓x2+y2=2所截的弦長為，則m=_.-=1的準(zhǔn) 線平行于x軸，則m的取值范圍是_.2cos2+y2sin=1，表示橢圓，那么 角的取值范圍是_.19.設(shè)雙曲線C：-=1橢圓的焦點恰為雙 曲線C實軸上的兩個端點，橢圓與雙曲線離心率為互為倒數(shù)，則此橢圓方程是_.(三)解答題1x2+y2+4x-4y-5=0 C2x2+y2-8x+4y+7=0(1)證明此兩圓相切，并求過切點的公切線方程.(2)求過點(2，3)且與兩圓相切于上述切點的圓的方程.21.(1)橢圓+=1上一點P與兩焦點 F1F2連線所成的角F1PF2=，求F1PF2的面積；(2)將上題的橢圓變成雙曲線-=1 ，求F1P

8、F2的面積.22.拋物線的頂點在原點，它的準(zhǔn)線過雙曲線-=1的一個焦點，并與雙曲線的實軸垂直，又雙曲線與拋物線的一個交點是(1. 5，)，求拋物線和雙曲線的方程.+=1，左、右焦點分別為 F2、F1，右準(zhǔn)線為L，問能否在橢圓上求得一點P，使PF1是P到L的距離d與PF2的比例中項?若能，求出P點坐標(biāo)，若不能，說明理由.24.試就k的取值(kR，且k4)討論方程+(k-2)y2=1+k所表 示曲線的形狀.+=1中有一內(nèi)接PAB，X OP=60°，且kPA+kPB=0(1)求證：直線AB斜率是定值；(2)求ABP的面積的最大值.能力訓(xùn)練參考答案(二)16.±；17.(-，-2k

9、+或2k+2k+(k Z)；19. +=1(三)20.解 兩圓方程化為：c1：(x+2)+(y-2)=13 C2(x-4)+(y+2)=13 ，C1、c圓心分別為(-2，2)、(4，-2)，半徑都是，圓心距d=2，即圓心距等于兩圓半徑之和，故兩 圓外切，因連心線斜率為k1=-，解方 程組 xy+4x-4y-5=0 xy-8x+4y+7=0得切點坐標(biāo)為(1 ，0)，公切線方程為y=(x-1),即3x-2y-3=0,(兩圓相外切時，兩圓方程相 減得根軸方程，即過切的公切線方程).(2)與兩圓相切于點(1，0)的圓圓心必在直線y=-(x-1)上，且(x-1)+y=(x-2)+(y-3)，解上面兩方程

10、組成的方程組得圓心坐標(biāo)為(-4，)，r=,所求圓方程為(x-4)+(y-)= ,即3x+3y+24x-20y-2 7=0.21.(1)(2c)=|PF1|+|PF2|-2|PF1|PF2|cosa=(|PF1|+|PF2|)-2|PF1|PF2|(1+cosa) |PF1|·|PF2|=,S=|PF1|PF2|sina=btg,(2)(2c)=(|PF1|-|PF2|)+2|PF1|PF2|(1-cos)，|P F1|·|PF2|=,S=bctg.設(shè)拋物線方程為y=4;(1.5,)在其上，=1故拋物線方程為y=4x,又-=1,a+b=1,雙曲線方程是4x-=1;23.a=5,b=,c=2,e=,設(shè)若有點P，使|PF1|=d·|PF2|， 即= |PF1|+|PF2|=10，|PF1|+|PF2|=10；|PF2|= ；|PF1|= |PF2|= ;|PF1|-|PF2|=2c，P不存在；24.k-1或k4實軸在y軸上的雙曲線；-1k2，實軸在x軸上的雙曲線2k4,k=3