由三視圖判斷幾何體或幾何體組成的小正方體個數(shù).

1、由三視圖判斷小正方體個數(shù)問題通過小正方體組合圖形的三視圖，確定組合圖形中小正方體的個數(shù)，在中考或競賽中經(jīng)常會遇到。 解決這類問題如果沒有掌握正確的方法，僅僅依賴空間想象去解決，不僅思維難度很大，還很容易出錯。通過三視圖計(jì)算組合圖形的小正方體的個數(shù)，關(guān)鍵是要弄清楚這個小正方體組合圖形共有多少行、多少列、每行每列中各有多少層，理清了這些行、列、層的數(shù)量，小正方體的個數(shù)就迎刃而解了。在三視圖中，通過主視圖、俯視圖可以確定組合圖形的列數(shù)； 通過俯視圖、 左視圖可以確定組合圖形的行數(shù)；通過主視圖、左視圖可以確定行與列中的最高層數(shù)。以上方法可簡要地概括為： “主俯看列， 俯左看行，主左看層，分清行列層，計(jì)

2、數(shù)不求人?！币弧⒔Y(jié)果唯一的計(jì)數(shù)例 1在一倉庫里堆放著若干個相同的正方體貨箱，倉庫管理員將這堆貨箱的三視圖畫了出來，如圖所示，則這堆正方體貨箱共有（）。A9 箱 B10 箱C11 箱D12 箱分析：由三視圖可知，這堆貨箱共有從前到后 3 行，從左到右 3 列。由左視圖：第一行均為 1 層，第二行最高 2 層，第三行最高 3 層；由主視圖：第一列、第三列均為 1 層，第二列（中間列）最高為 3 層。故第二行、第二列為 2 層，第三行第二列為 3 層，其余皆為 1 層。各行、各列小正方體的個數(shù)如俯視圖中所表示。這堆貨箱共有 3+1+1+2+1+1=9（箱）。二、結(jié)果不唯一的計(jì)數(shù)例 2（“希望杯”數(shù)學(xué)

3、邀請賽試題）如圖 2，是由若干個（大于 8 個）大小相同的正方體組成的一個幾何體的主視圖和俯視圖， 則這個幾何體的左視圖不可能是（ ）。分析：由給出的主視圖、俯視圖可以看出，該幾何體共有2 行，3列。第1列均為 1 層，第 2 列最高 2 層，第 3 列最高 3 層。左視圖為 A 時，第 1 行、第 2 行最高均為 3 層。幾何體中，第 1 列第 1 行為 1 層；第 2 列第 1 行、第 2 行均可為 1 層或 2 層，但不能同時為 1 層；第 3 列兩行均為 3 層。此時，小正方體的個數(shù)如俯視圖A 所示，最少為1+2+1+3+3=10（個），最多為1+2+2+3+3=11 個。左視圖為 B

4、 時，第一行均為 1 層，第二行最高為 3 層。幾何體中，第 1 列第1行為 1層；第 2列第 1行為 1層，第 2行均可為 2層；第 3列第 1行為 1層，第 2 行為 3 層。此時，小正方體的個數(shù)如俯視圖1+1+1+2+3=8（個）。B所示。小正方體個數(shù)為左視圖為 C 時，第 1 行最高為 2 層，第 2 行最高為 3 層。幾何體中，第 1 列第 1行為 1層；第 2列第 1行為 1層或 2層，第 2行均為 1層或 2層，但不能同時為 1 層；第 3 列第 1 行為 1 層或 2 層（不能與第 2 列第 1 行同時都為 1 層），第 2 行為 3 層。此時，小正方體的個數(shù)如俯視圖C 所示。

5、小正方體最少為1+2+1+1+3=8（個），最多為1+2+2+2+3=10 個。左視圖為 D 時，第 1 行最高為 3 層，第 2 行最高為 2 層。幾何體中，第 1 列第 1行為 1層；第 2列第 1行為 1層或 2層，第 2行均為 1層或 2層，但不能同時為 1層；第 3列第 1行為 3層，第2行為 1層或 2層（不能與第 2列第 2行同時為1 層）。此時，小正方體的個數(shù)如俯視圖C 所示。小正方體最少為1+1+3+2+1=8（個），最多為1+2+2+2+3=10 個。三、根據(jù)兩種視圖確定計(jì)數(shù)范圍例 3（江陰市中考題）如圖，是由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖，若組成這

6、個幾何體的小正方體的塊數(shù)為n，則 n 的所有可能的值之和為。分析：題設(shè)中給出了主視圖、俯視圖，可知這個幾何體有3 列，2行。第1列均為 1 層，第 2 列最高 2 層，第 3 列最高 3 層。幾何體小正方形塊數(shù)最少的情況是：第 1 列只有 1 行，共 1 個小正方體；第 2 列兩行，至少有一行為 2 層，最少有 2+1=3 個小正方體，第 3 列兩行中至少有一行為 3 層，最少有 1+3=4 個正方體。因此幾何體最少塊數(shù)為 1+3+4=8 塊。幾何體小正方形塊數(shù)最多的情況是：第 1 列只有 1 行，共 1 個小正方體；第 2 列兩行，均為 2 層，共有 2+2=4 個小正方體，第 3 列兩行均

7、為 3 層，共有 3+3=6 個正方體。因此幾何體最少塊數(shù)為 1+4+6=11 塊。練習(xí)：故 n 的所有可能值為8，9， 10， 11，所有可能值之和為8+9+10+11=38 。1.（ 2010?河南）如圖是由大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和左視圖那么組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最多為 7 。分析：易得這個幾何體共有 2 層， 3 行， 2 列，先看第一層正方體可能的最多個數(shù)，再看第二層正方體的可能的最多個數(shù)，相加即可解答： 3 行， 2 列，最底層最多有3×2=6 個正方體，第二層有1 個正方體，那么共有 6+1=7 個正方體組成最少 5個。故答案為： 7點(diǎn)評：主視

8、圖和左視圖確定組合幾何體的層數(shù)，行數(shù)及列數(shù)2. 如圖是由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖（ 1）請你畫出這個集合體的一種左視圖（ 2）若組成這個幾何體的小正方體的塊數(shù)為 n，請你寫出 n 的所有可能值主視圖俯視圖左視圖分析：由主視圖和俯視圖可知該幾何體共有3 層，2行， 3列，那么左視圖有2行 3 列，層數(shù)是3 層。解答：底層（俯視圖）5 個，由主視圖知第2 層第一行第2、3 列各1 個，第3層第一行第 3 列 1 個，相加為 8 個（最少）；也可以是第 2 層第一行、第 2 行各 1 個，則為 9 個；也可以第 2 層第 2 行第 3 列 1 個，為 10 個；也可以第

9、 2 層第 2 行第 3 列 1 個，第 3 層第一行第 3 列 1 個，則為 11 個（最多）。答案： n=8、 9、10、113. 由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖如圖：（ 1）請你畫出這個幾何體的其中兩種左視圖；（ 2）若組成這個幾何體的小正方體的塊數(shù)為 n，請你寫出 n 的所有可能值分析：（ 1）由俯視圖可得該幾何體有2 行，則左視圖應(yīng)有2 列，由主視圖可得共有 3 層，那么其中一列必為 3 個正方形，另一列最少是 1 個，最多是 3 個；（ 2）由俯視圖可得該組合幾何體有 3 列， 2 行，以及最底層正方體的個數(shù)及擺放形狀，由主視圖結(jié)合俯視圖可得從左邊數(shù)第二列

10、第二層最少有 1 個正方體，最多有 2 個正方體，第 3 列第 2 層，最少有 1 個正方體，最多有 2 個正方體，第 3層最少有 1 個正方體，最多有 2 個正方體，分別相加得到組成組合幾何體的最少個數(shù)及最多個數(shù)即可得到n 的可能的值解：（ 1）（ 2）俯視圖有 5 個正方形，最底層有 5 個正方體，由主視圖可得第 2 層最少有 2 個正方體，第 3 層最少有 1 個正方體；由主視圖可得第 2 層最多有 4 個正方體，第 3 層最多有 2 個正方體；該組合幾何體最少有5+2+1=8個正方體，最多有5+4+2=11個正方體，n 可能為 8 或 9 或 10 或 11切記：俯視圖中正方形的個數(shù)是

11、組合幾何體最底層正方體的個數(shù)；組合幾何體的最少個數(shù)是底層的正方體數(shù)加上主視圖中第二層和第 3 層正方形的個數(shù)組合幾何體的最多個數(shù)是底層的正方體數(shù)加上主視圖中第二層所有的行和第 3 層所有的行正方形的個數(shù)。4如圖是有一些大小相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和俯視圖，則組成這個幾何體的小正體塊數(shù)最多是？俯視圖主視圖分析：由主視圖和俯視圖易知該幾何體是3 行3 列3 層，底層即俯視圖有5 個小正方體，最少是底層個數(shù)加第一行第 2、3 層各 1 個，共 7 個 ；最多是底層個數(shù)加第一列 3 行第 2、 3 層各 1 個（ 2×36），共 11 個。解：最多的情況是左邊的三層，每層3 個，共

12、九個，右邊的只有兩個，總共11個；最少的情況是最低一層如俯視圖，有5 個；左邊任意一行是3 個，總共是7個；最多是 11 個，最少是 7 個；5. 如圖所示，幾何體是由一些大小相同的小正方體組成，其三視圖中面積最小的是（）A、主視圖 B 、左視圖 C、俯視圖 D 、都一樣解：如圖可知該幾何體的主視圖由 4 個小正方形組成，左視圖是由 5 個小正方形組成，俯視圖是由 5 個小正方形組成，易得解解答：解：如圖，該幾何體主視圖是由 4 個小正方形組成，左視圖是由 5 個小正方形組成，俯視圖是由 5 個小正方形組成，故三種視圖面積最小的是主視圖故選 A6. 如圖，這是一個由小立方塊搭成的幾何體的主視圖和俯視圖，最多需要多少塊小立方體，最少多少塊小立方體 ?7. 用小立方塊大一幾何體，使得它的主視圖俯視圖所示這樣的幾何體最少要幾個立方塊，最