含有絕對(duì)值不等式的解法典型例題

1、含絕對(duì)值不等式的解法例1解絕對(duì)值不等式|x+3 | > | x-5 | .解：由不等式I x+3 | > | x-5 |兩邊平方得I x+3 | 2> | x-5 | 2,即（x+3） 2> （x-5） 2,x>1 .原不等式的解集為 x I x>1 .評(píng)析對(duì)于兩邊都含“單項(xiàng)”絕又直的不等式依據(jù)| x I 2=x2,可在兩邊平方脫去絕對(duì) 值符號(hào).當(dāng)然，此例可按絕對(duì)值定義討論脫去絕對(duì)值符號(hào)，但解題繁瑣.例2對(duì)任意實(shí)數(shù)x,若不等式| x+1 | - | x-2 | >k恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. k<3 B, k<-3C. k<

2、3D, k<-3分析 要使I x+1 | - | x-2 | >k對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，只要| x+1 | - | x-2 |的最小值大 于k.因| x+1 |的幾何意義為數(shù)軸上點(diǎn) x至iJ-1的距離，| x-2 |的幾何意義為點(diǎn) x到2的距 離，| x+1 | - | x-2 |的幾何意義為數(shù)軸上點(diǎn) x到-1與2的距離的差，其最小值為 -3,k<-3, 選 B.評(píng)析 此例利用絕對(duì)值的幾何意義使問(wèn)題迅速得解，若采用其他方法則解答過(guò)程冗長(zhǎng).例3解不等式| 3x-1 | >x+3 .分析 解此類不等式，要分 x+3 >0和x+3<0兩種情況討論.解：當(dāng)x+3>

3、;0,即x>-3時(shí)，原不等式又要分-3Wx<3和x> 3兩種情況求解：1 4 1當(dāng)-3Wx< 3時(shí)，-3x+1>x+3 ,即x<-之，此時(shí)不等式的解為-3Wx<-之：當(dāng)x> *時(shí)，3x-1>x+3 ,即x>2,此時(shí)不等式的解為 x>2.又當(dāng)x+3<0 ,即x<-3時(shí)，不等式是絕對(duì)不等式.取、并集知不等式的解集為2x | x<- ，或 x>2.精品例4解不等式| x-5 | - | 2x+3 | <1解：乂=5和乂=-之分別使上式兩個(gè)絕對(duì)值中代數(shù)式的值為零，它們將數(shù)軸分成三段:丁1052于是，原不等式

4、變?yōu)閒 / 32-b7）-（2工十切11,（1 ） , 5,或（出）Q-5-（2"習(xí) <1解（I）得 x<-7,解（n）得 3 <x w 5,解（出）得 x>5;（1） （n）（出）的并集 x | x<-7或x> 3 即為原不等式的解集.說(shuō)明解這類絕對(duì)值不等式（僅限絕對(duì)值符號(hào)里面是一次式）可分如下幾個(gè)步驟：第步令每個(gè)絕對(duì)值號(hào)里的一次因式等于零求出相應(yīng)的根；第二步把這些根按從小到大的順序 排號(hào)并把數(shù)軸分成相應(yīng)的若干個(gè)區(qū)間；第三步根據(jù)所分區(qū)間去掉絕對(duì)值符號(hào)，組成若干個(gè) 不等式組，最后分別解每個(gè)不等式組，取結(jié)果的并集就是原不等式的解.例5解不等式1 &l

5、t; I 2x-1 | <5 .解法一：原不等式等價(jià)于»2.-K5,伊-15,產(chǎn)-5.今2jt1> -5,竹- 11 > 1?r-1 > 1I 2?： -1 > -1.u 1 益121或I解得1 & x<3;精品解得-2<x & 0.原不等式的解集為x | -2<x w 0 或 1 w x<3 .解法二：原不等式等價(jià)于1W2x1<5, 或 -5<2x-1<-1,即 2W 2x<6 , 或 -4<2xW0,解得 1 w x<3 ,或-2<x & 0.原不等式的解集為x

6、 | -2<x < 0,或 1 w x<3 .評(píng)析 比較兩種解法，第二種解法比較簡(jiǎn)單，在解法二中，去掉絕對(duì)值符號(hào)的依據(jù)是aw|x|w b =awxwb,或bw x<-a ( a> 0).這一規(guī)律對(duì)我們今后解題很有作用，要在理解的基礎(chǔ)上加以記憶.本例亦可用圖像法 求解，不妨一試.例6解不等式| x+3 | + | x-3 | >8 .分析這是一個(gè)含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式，為了使其轉(zhuǎn)化為解不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式，要進(jìn)行分類討論.解法一：由代數(shù)式I x+3 |、| x-3 |知，-3和3把實(shí)數(shù)集分為三個(gè)區(qū)間：x<-3,-3< x<3 ,x>

7、; 3.當(dāng)x<-3時(shí)，-x-3-x+3>8 ,即x<-4,此時(shí)不等式的解為 x<-4 ;當(dāng)-3Wx<3時(shí)，x+3-x+3>8 ,此時(shí)無(wú)解；當(dāng)x>3時(shí)，x+3+x-3>8 ,即x>4,此時(shí)不等式的解為 x>4 .取、的并集得原不等式的解集為x | x<-4 ,或 x>4 .點(diǎn)評(píng) 解這類絕對(duì)值符號(hào)里是一次式的不等式，其一般步驟是：(1)令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)里的一次式為零，并求出相應(yīng)的根；(2)把這些根由小到大排序并把實(shí)數(shù)集分為若干個(gè)區(qū)間；(3)由所分區(qū)間去掉絕對(duì)值符號(hào)組成若干個(gè)不等式，解這些不等式，求出它們的解集；(4)取這些不等

8、式的解集的并集就是原不等式的解集.模仿例1 ,我們還有解法二：不等式| x+3 | + | x-3 | >8表示數(shù)軸上與 A (-3) , B (3)兩點(diǎn)距離之和大于 8的點(diǎn)，而A, B兩點(diǎn)距離為6.因此線段AB上每一點(diǎn)到A、B的距離之和都等于 6.如下圖，要找到A, B距離之和為8的點(diǎn)，只須由點(diǎn) B向右移1個(gè)單位(這時(shí)距離之和 增加2個(gè)單位)，即移到點(diǎn) Bi (4),或由點(diǎn)A向左移1個(gè)單位，即移到點(diǎn) Ai (-4).可以看出，數(shù)軸上點(diǎn)Bi (4)向右的點(diǎn)或者點(diǎn) Ai (-4)向左的點(diǎn)到 A、B兩點(diǎn)的距離之和均大于8.原不等式的解集為 x | x<-4 ,或x>4.1-W <T).61-3 £ x< 3).2Q 之 3).不難看出，要使y1>y2,只須x<-4 ,或x>4 .原不等式的解集為 x | x<-4,或x>4.點(diǎn)評(píng) 對(duì)于形如I