(同步輔導(dǎo))2015高中數(shù)學(xué)《數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案北師大版必修5解析

1、第 11 課時數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用1.掌握等差、等比數(shù)列的定義、通項公式、前n 項和公式及其應(yīng)用 .2.了解銀行存款的種類及存款計息方式.3體會“零存整取”、 “定期自動轉(zhuǎn)存”、 “分期付款”等日常經(jīng)濟生活中的實際問題.4.感受從數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)美的樂趣, 體驗成功解決問題的快樂 , 激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 .某人有七位朋友. 第一位朋友每天晚上都去他家看他, 第二位朋友每隔一個晚上到他家去 , 第三位朋友每隔兩個晚上去他家串門, 第四位朋友每隔三個晚上去他家做客, 依次類推 ,直至第七位朋友每隔六個晚上在他家出現(xiàn). 這七位朋友昨晚在主人家中碰面, 請問他們還會在同一個晚上在主人家中碰面嗎?我們來

2、分析下, 第一位朋友每天晚上都在; 第二位朋友第2,4,6,8, 天在, 是首項為2, 公差為2 的等差數(shù)列, 通項公式為an=2n; 第三位朋友第3,6,9, 天在 , 是首項為3, 公差為 3 的等差數(shù)列 , 通項公式為an=3n; 第四、五、六、七位朋友在的時間的通項公式分別為an=4n, an=5n, an=6n, an=7n; 要使他們在同一晚上出現(xiàn), 這個數(shù)應(yīng)為這六個數(shù)列的公共項, 即 2,3,4,5,6,7的公倍數(shù) , 而 2,3,4,5,6,7的最小公倍數(shù)為420,因此第 420,840,1260, 天晚上他們會同時在主人家出現(xiàn).問題 1: 數(shù)列應(yīng)用問題的常見模型(1): 一般

3、地 , 如果增加 ( 或減少 ) 的量是一個固定的具體量時, 那么該模型是等差模型 , 增加 ( 或減少 ) 的量就是公差 , 其一般形式是 : a1-a=d( d 為常數(shù) ) .n+n(2): 一般地 , 如果增加 ( 或減少 ) 的百分比是一個固定的數(shù)時, 那么該模型是等比模型 .(3): 在一個問題中 , 同時涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型.(4): 如果容易找到該數(shù)列任意一項an+1 與它的前一項 an( 或前幾項 ) 間的遞推關(guān)系式 , 那么我們可以用遞推數(shù)列的知識求解問題.問題 2: 解題時怎樣判斷是用等差數(shù)列還是等比數(shù)列來求解?一般涉及遞增率什么的, 用到; 涉及依次增加或者減少什

4、么的, 用到, 或者有的問題是通過轉(zhuǎn)化得到的 , 在解決問題時要往這些方面去聯(lián)系 .問題 3: 與銀行利率相關(guān)的幾類模型(1) 銀行儲蓄單利公式 :利息按單利計算, 本金為 a 元 , 每期利率為r , 存期為 x, 則本利和.(2) 銀行儲蓄復(fù)利公式 :利息按復(fù)利計算, 本金為 a 元 , 每期利率為r , 存期為 x, 則本利和.1(3) 產(chǎn)值模型 :原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N, 平均增長率為p, 對于時間 x 的總產(chǎn)值.(4) 分期付款模型a 為貸款總額 , r 為月利率 , b 為月等額本息還款數(shù), n 為貸款月數(shù) , 則 b=. ( 嘗試去證明 )問題 4: 數(shù)列綜合應(yīng)用題的解題步驟(1)

5、弄清題意, 分析涉及哪些數(shù)學(xué)內(nèi)容, 在每個數(shù)學(xué)內(nèi)容中, 各是什么問題.(2)把整個大題分解成幾個小題或幾個“步驟”, 每個小題或每個小“步驟”分別是數(shù)列問題、函數(shù)問題、解析幾何問題、不等式問題等.(3)分別求解這些小題或這些小“步驟”, 從而得到整個問題的解答.(4)將所求結(jié)果還原到實際問題中.具體解題步驟如下框圖:1. 夏季高山上的氣溫從山腳起每升高100 米降低 0. 7 度 , 已知山腳氣溫為26 度 , 山頂氣溫為14. 1 度 , 那么此山相對山腳的高度為 () 米 .A.1600B.1700C.1800D.19002. 根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果, 預(yù)測某種家用商品從年初開始的n 個月內(nèi)累積

6、的需求量 Sn( 萬件 ) 近似n2,12), 按此預(yù)測 , 在本年度內(nèi) , 需求量超過 1. 5 萬件地滿足關(guān)系式 : S =(21 n-n - 5)( n=1,2,的月份是 () .A. 5、6 月B. 6、7 月C. 7、8 月D. 8、9 月3. 阿明存入5萬元定期存款, 存期1 年,年利率為2. 25%,那么 10年后共得本息和為萬元.(精確到 0. 001)4. 一件家用電器 , 現(xiàn)價2000 元 , 實行分期付款 , 每期付款數(shù)相同 , 購買后一個月付款一次 , 共付 12 次 , 一年后還清 , 月利率為0 8%,按復(fù)利計算 , 那么每期應(yīng)付款多少元(精確到 0 01元)?.等

7、差數(shù)列模型2某旅游公司年初用 98 萬元購買一艘游艇 , 第一年各種費用 12 萬元 , 以后每年都增加 4 萬元 , 每年旅游收益 50 萬元 .(1) 問第幾年開始獲利 ?(2) 若干年后 , 有兩種處理方案 :年平均獲利最大時, 以 26 萬元出售該游艇;總純收入獲利最大時, 以 8 萬元出售該游艇.問哪種方案合算.分期付款的等比數(shù)列模型陳老師購買商品房92 m2, 單價為10000 元/ m2, 首付 432000 元以后向銀行申請住房商業(yè)貸款 . 經(jīng)協(xié)商住房貸款實行分期付款, 經(jīng)過一年付款一次 , 共付10 次 ,10 年后付清 , 如果按年利率7.5%,每年按復(fù)利計算, 那么每年應(yīng)

8、付款多少元?(參考下列數(shù)據(jù):1 . 07591. 971,1 . 075102. 061,1 . 075112. 216)易錯易混點 ( 第幾年的中低價房的面積與累計面積)假設(shè)某市 :2004 年新建住房400 萬平方米 , 其中有 250 萬平方米是中低價房. 預(yù)計在今后的若干年內(nèi) , 該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%. 另外 , 每年新建住房中, 中低價房的面積均比上一年增加50 萬平方米 . 那么 , 到哪一年底 ,(1) 該市歷年所建中低價房的累計面積( 以 2004 年為累計的第一年 ) 將首次不少于 4750萬平方米 ?(2) 哪年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比

9、例首次大于85%?有若干臺型號相同的聯(lián)合收割機, 收割一片土地上的小麥, 若同時投入工作到收割完畢需要 24 小時 . 現(xiàn)在這些收割機是每隔相同的時間順序投入工作的, 每一臺投入工作后都一直工作到小麥?zhǔn)崭钔?. 如果第一臺收割機時間是最后一臺的5倍 , 求用這種方法收割完這片土3地的小麥需要多長時間?用分期付款方法購買電器一件 , 價格為 1150 元 , 購買當(dāng)天先付 150 元 , 以后每月這一天都交付 50 元 , 并加付欠款的利息 , 月利率為 1%,分 20 次付完 , 若交付 150 元以后的第一個月開始算分期付款的第一個月 , 問分期付款的第十個月該交付多少錢 ?全部貸款付清后

10、, 買這件家電實際花多少錢 ?為了建設(shè)和諧社會, 我國決定治理垃圾. 經(jīng)調(diào)查 , 近 10 年來我國城市垃圾的年平均增長率為 3%,到 2013 年底堆存垃圾已達(dá)60 億噸 , 侵占了約 5 億平方米的土地, 目前我國還以年產(chǎn)1 億噸的速度產(chǎn)生新的垃圾 , 垃圾治理已刻不容緩.(1)問 2004 年我國城市垃圾約有多少億噸 ?(2)如果從 2014 年起 , 每年處理上年堆存垃圾的, 到 2019 年底 , 我國城市垃圾約有多少億噸 ?可節(jié)約土地多少億平方米?1. 某放射性物質(zhì)的質(zhì)量每天衰減3%,若此物質(zhì)衰減到其質(zhì)量的一半以下, 則至少需要的天數(shù)是( 參考數(shù)據(jù)lg 0 . 97=- 0. 01

11、32,lg 0. 5=- 0. 3010)() .A.22B.23C.24D.252. 現(xiàn)有 200 根相同的鋼管, 把它們堆放成正三角形垛, 要使剩余的鋼管盡可能的少, 那么剩余鋼管的根數(shù)為 () .A.9B.10C.19D.293. 小王每月除去所有日常開支 , 大約結(jié)余 a 元 . 小王決定采用零存整取的方式把余錢積蓄起來, 每月初存入銀行 a 元, 存期 1 年 ( 存 12 次 ), 到期取出本息和 . 假設(shè)一年期零存整取的月利率為 r , 每期存款按單利計息. 那么 , 小王存款到期利息為元.4. 某商場今年銷售計算機5000 臺 . 如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%

12、,那么4從今年起大約幾年可使總銷售量達(dá)到30000 臺 ( 結(jié)果保留到個位)?1. (2012 年·北京卷 ) 某棵果樹前n 年的總產(chǎn)量Sn 與 n 之間的關(guān)系如圖所示, 從目前記錄的結(jié)果看 , 前 m年的年平均產(chǎn)量最高, m的值為()A5.B.7C.9D.11考題變式 ( 我來改編 ):2(2011 年·安徽卷 ) 某國采用養(yǎng)老儲備金制度.公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備.金, 數(shù)目為 a1, 以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d( d>0), 因此 , 歷年所交納的儲務(wù)金數(shù)目a1, a2 , 是一個公差為d 的等差數(shù)列 , 與此同時 , 國家給予優(yōu)惠的計息政策, 不

13、僅采用固定利率, 而且計算復(fù)利 . 這就是說 , 如果固定年利率為 r ( r> 0),那么 , 在第 n 年末 , 第一年所交納的儲備金就變?yōu)?a1(1 +r ) n- 1, 第二年所交納的儲備金就變?yōu)閍2(1 +r) n- 2 , 以 Tn 表示到第 n 年末所累計的儲備金總額 .(1) 寫出 Tn 與 Tn- 1( n2) 的遞推關(guān)系式 ;(2) 求證 : Tn=An+Bn, 其中 An 是一個等比數(shù)列 , Bn 是一個等差數(shù)列 .考題變式 ( 我來改編 ):5第 11 課時 數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用知識體系梳理問題 1:(1)等差模型(2) 等比模型(3) 混合模型(4)遞推模

14、型問題 2: 等比數(shù)列等差數(shù)列等差或等比數(shù)列問題 3:(1)(1)(2)(1+r) x(3)(1) xy=a +xry=ay=N +p問題 4:(1)審題(2) 分解(3) 求解(4)還原基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1. 1700從山腳到山頂氣溫的變化成等差數(shù)列, 首項為 26, 末項為14. 1, 公差為 - 0. 7, 設(shè)數(shù)列的項數(shù)為n,則14. 1=26+( n- 1) ×( - 0. 7), 解 得n=18,所以山的高度為(18-1)×1001700( 米 ).h=2. Cnnn- 1n( -n22+15n- 9) >1. 5, 得 6<n<9.由 a =S -S

15、解得 a =+15n- 9)( n2), 再解不等式( -n3 6.24610 年后的本息和為 :105(10 0225)106 246( 萬元 ).a=+ .4. 解 : 設(shè)每期應(yīng)付款x 元 ,則第 1 期付款后欠款2000(1 +0. 008) -x ,第 2 期付款后欠款 (2000 × 1. 008-x ) ×1. 008-x= 2000×1. 0082- 1. 008x-x ,第 12 期付款后欠款 20001 00812-(1.00811 1 008101)x, 因為第12 期付款后欠款為 0,× .+ .+ +所以 2000×1.

16、 00812- (1 . 00811+1. 00810+1) x=0,故 x=175. 46( 元 ), 即每期應(yīng)付款175. 46 元 .重點難點探究探究一 : 【解析】 (1) 由題設(shè)知每年費用構(gòu)成以 12 為首項 ,4 為公差的等差數(shù)列 , 設(shè)純收入與年數(shù)的關(guān)系為 f ( n) .f( n) =50n- 12 +16+(8 +4n) - 98=40n- 2n2 - 98.6獲利即為 f ( n) >0, 即 n2- 20n+49<0,解之得 10-<n<10+, 即 2. 9<n<17. 1.又 nN+, n=3,4, ,17 .當(dāng) n=3 時 , 即

17、第 3 年開始獲利 .(2) 年平均收入=40- 2( n+ ), 當(dāng) n=7 時 , 年均獲利最大 , 總收益為 84+26=110 萬元 .當(dāng) n=10 時 , f ( n) max=102, 總收益為 102+8=110 萬元 .比較兩種方案, 總收益都為110 萬元 , 但第一種方案需7 年 , 第二種方案需10 年 , 故選擇第一種 .【小結(jié)】建立數(shù)列模型與建立函數(shù)模型一樣, 應(yīng)抓住數(shù)量關(guān)系, 結(jié)合數(shù)學(xué)方法, 將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言, 將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表示.探究二 : 【解析】設(shè)每年應(yīng)付款 x 元 , 那么到最后一次付款時 ( 即購房十年后 ), 第一年付款及所生利息之和為 x

18、× 1. 0759 元, 第二年付款及所生利息之和為 x×1. 0758 元, , 第九年付款及其所生利息之和為x× 1. 075 元, 第十年付款為 x 元 , 而所購房余款的現(xiàn)價及其利息之和為10000 ×92- 432000 ×1. 07510=488000×1.07510(元) .因此有x(1 +1. 075+1. 0752+ +1. 0759) =488000×1. 07510(元),所以x=488000 ×1. 07510×488000 ×2. 061×71096(元 )

19、.所以每年需交款71096 元.【小結(jié)】分期付款問題 , 實質(zhì)上是等比或等差數(shù)列求和問題, 解題的視角是建立等量關(guān)系式 .探究三 : 【解析】 (1) 設(shè)中低價房面積形成數(shù)列 an, 由題意可知 an 是等差數(shù)列 , 其中a =250, d=50, 則 S =250n+222×50=25n +225n, 令25n +225n4750,即 n +9n- 1900, 而 n 是1n正整數(shù) , n10, 即到 2013 年底 , 該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750 萬平方米 .(2) 設(shè)第 n 年建造的中低價房滿足題意 , 則有 400(1 +8%)n- 1·85

20、%<25n2+225n. 解出 n 即可 . 問題 上述解法正確嗎? 結(jié)論 不正確 . (2) 問中應(yīng)是第幾年的中低價房的面積而不是累計面積.于是 , 正確解答為 :(1) 同錯解部分 .(2) 設(shè)新建住房面積形成數(shù)列 bn, 由題意可知 bn 是等比數(shù)列 , 其中 b1=400, q=1. 08, 則 bn=400·(1 . 08) n- 1.由題意可知 an>0. 85bn, 有 250+( n- 1) ·50>400·(1 . 08) n- 1·0. 85. 由于 n 是正整數(shù) , 將1,2, 依次代入可得滿足上述不等式的最小正整

21、數(shù)n=6, 即到 2009 年底 , 當(dāng)年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.【小結(jié)】對應(yīng)用題的審題一定要認(rèn)真仔細(xì), 否則很容易出錯.7思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一 : 依題意 , 這些聯(lián)合收割機投入工作的時間構(gòu)成一個等差數(shù)列, 按規(guī)定的方法收割,所需要的時間等于第一臺收割機所需要的時間, 即數(shù)列的首項 .設(shè)這 n 臺收割機工作的時間依次為a1, a2, ,an 小時 , 依題意 , an 是一個等差數(shù)列, 且每臺收割機每小時的工作效率為, 則有由 得 a +a + +a =24n, 即=24n,12na1+an=48.由 , 聯(lián)立 , 解得 a1=40.故用這種方法收割完這片土

22、地上的小麥共需40小時.應(yīng)用二 : 購買時付 150 元 , 欠 1000 元 , 每月付 50 元 , 分 20 次付清 . 設(shè)每月付款數(shù)順次成數(shù)列 a ,則n50 1000×1% 60( 元 ),50 (1000-50)1%5956005×1(元),50 (1000-50×2)a = +=a = +×=.=-.a = +123×1%=59=60- 0. 5× 2( 元), ,a10=50+(1000 - 50×9) ×1%=55. 5=60- 0. 5×9( 元 ), an=60- 0. 5( n-1

23、) =- 0. 5n+60. 5(1 n20), a 是 以 60為 首 項 ,-0.5為公差的等差數(shù)列,總數(shù)n20 150 20 1150 1255( 元),第十個月該交 55.5 元, 全部付清實際花1255 元.=S + = a +×d+ =應(yīng)用三 :(1)設(shè) 2004 年我國城市垃圾約有a 億噸 , 則有29a+a(1 +3%)+a(1 +3%) + +a(1 +3%)=60,a·=60, a=5.2(億噸).(2)2014 年底有垃圾60×+1 億噸 ;2015 年底有垃圾 (60 ×+1) ×+1=60×+ +1;2016

24、 年底有垃圾 (60×1)×1 60×1;+ + =+ + +2019 年底有垃圾 60×( ) 6+( ) 5+( ) 4+ +1=60×( ) 6+36. 6( 億噸 ) .可節(jié)約土地23. 4×2( 億平方米 ) .8基礎(chǔ)智能檢測1. B依題意有 (1 - 3%)n<0. 5, 所以 n>22. 8. 故選 B.2. B1+2+3+n<200, 即<200. 顯然 n=19時 , 剩余鋼管最少 , 此時最多用去=190 根 ,剩余 10 根.3. 78ar依題意得 , 小王存款到期利息為12ar+ 11ar+10ar+3ar+2ar+ar= 78ar.4 解 : 根據(jù)題意 , 每年