(完整)九年級(jí)數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)(學(xué)生講義)

1、銳角三角函數(shù)與解直角三角形【考綱要求】1. 理解銳角三角函數(shù)的定義、性質(zhì)及應(yīng)用，特殊角三角函數(shù)值的求法，運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題 . 題型有選擇題、填空題、解答題，多以中、低檔題出現(xiàn)；2. 命題的熱點(diǎn)為根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建圖形，建立數(shù)學(xué)模型，然后用解直角三角形的知識(shí)解決問題 .【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在 Rt ABC中， C 90°， A 所對(duì)的邊的鄰邊， B 所對(duì)的邊 AC記為 b，叫做 B 的對(duì)邊，也是叫做斜邊BC記為 a，叫做 A 的對(duì)邊，也叫做 B A 的鄰邊，直角 C 所對(duì)的邊 AB 記為 c，BcaAbC銳角 A

2、 的對(duì)邊與斜邊的比叫做A 的正弦，記作sinA ，即 sin AA的對(duì)邊a ；斜邊c銳角 A 的鄰邊與斜邊的比叫做A 的余弦，記作cosA，即 cos AA的鄰邊b ；斜邊c銳角 A 的對(duì)邊與鄰邊的比叫做A 的正切，記作tanA ，即 tan AA的對(duì)邊a .A的鄰邊b同理 sin BB的對(duì)邊b ； cos BB的鄰邊a ； tan BB的對(duì)邊b 斜邊c斜邊cB的鄰邊a要點(diǎn)詮釋：(1) 正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值角的度數(shù)確定時(shí)，其比值不變，角的度數(shù)變化時(shí)，比值也隨之變化(2)sinA， cosA ， tanA分 別 是 一 個(gè) 完

3、 整 的 數(shù) 學(xué) 符 號(hào) ， 是 一 個(gè) 整 體 ， 不 能 寫 成1，不能理解成sin 與 A，cos 與 A， tan 與 A 的乘積書寫時(shí)習(xí)慣上省略A 的角的記號(hào)“”，但對(duì)三個(gè)大寫字母表示成的角( 如 AEF)，其正切應(yīng)寫成 “ tan AEF”，不能寫成 “tanAEF”；另外，、2、常寫成、(3) 任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在(4) 由銳角三角函數(shù)的定義知：3當(dāng)角度在0°A90°之間變化時(shí)， tanA 0考點(diǎn)二 、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出0°、 30°、 45°、 60&

4、#176;、 90°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：要點(diǎn)詮釋：(1) 通過該表可以方便地知道 0°、 30°、 45°、 60°、 90°角的各三角函數(shù)值，它的另一個(gè)應(yīng)用就是：如果知道了一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若4，則銳角(2) 仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn)：sin 0、5、sin90的值依次為0、1，6而cos0、cos90的值的順序正好相反，、7、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：當(dāng)角度在 0° A90°之間變化時(shí)，正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大 ( 或減小 ) 而增大 ( 或減小 )

5、 余弦值隨銳角度數(shù)的增大 ( 或減小 ) 而減小 ( 或增大 ) 考點(diǎn)三 、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在Rt ABC中， C=90°(1)互余關(guān)系：，8；(2) 平方關(guān)系：；(3)倒數(shù)關(guān)系：或9；(4) 商數(shù)關(guān)系：要點(diǎn)詮釋：銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計(jì)算中，計(jì)算時(shí)巧用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡(jiǎn)便考點(diǎn)四 、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素( 直角除外 ) 求未知元素的過程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5 個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.設(shè)在 Rt ABC中， C=90°， A、 B、 C所對(duì)的邊分別為a、

6、b、 c，則有：三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2( 勾股定理 ).銳角之間的關(guān)系：A+ B=90° .邊角之間的關(guān)系：10，11，.， h 為斜邊上的高 .要點(diǎn)詮釋：(1) 直角三角形中有一個(gè)元素為定值( 直角為 90° ) ，是已知的值 .(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系( 如不等關(guān)系 ).(3)對(duì)這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.考點(diǎn)五、解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt ABC兩兩直角邊 (a ， b)由12邊求 A， B=90° A，由斜邊，一直角邊( 如 c， a)求 A， B=90&#

7、176; A，13 B=90° A，銳角、鄰邊( 如 A，b)，一邊一直角邊一和一銳角 B=90° A，角銳角、對(duì)邊( 如 A，a)，14 B=90° A，斜邊、銳角 ( 如 c， A)，要點(diǎn)詮釋：1在遇到解直角三角形的實(shí)際問題時(shí)，最好是先畫出一個(gè)直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對(duì)邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算 . 2若題中無特殊說明， “解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個(gè)條件為邊 .考點(diǎn)六、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題

8、中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.解這類問題的一般過程是：(1) 弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型 .(2) 將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系， 把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題 .(3) 根據(jù)直角三角形( 或通過作垂線構(gòu)造直角三角形) 元素 ( 邊、角 ) 之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形 .(4) 得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.拓展：在用直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到以下概念：15(1) 坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角， 用字

9、母表示 .坡度 ( 坡比 ) ：坡面的鉛直高度h 和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則16，如圖，坡度通常寫成=的形式 .17(2) 仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖 .(3) 方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖中，目標(biāo)方向 PA， PB， PC的方位角分別為是40°， 135°， 245° .18(4) 方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖中的目標(biāo)方向線OA， OB， OC，OD的方向角分別表示北偏東30°

10、;，南偏東45°，南偏西80°，北偏西 60° . 特別如：東南方向指的是南偏東 45°，東北方向指的是北偏東 45°，西南方向指的是南偏西 45°，西北方向指的是北偏西 45° .要點(diǎn)詮釋：1解直角三角形實(shí)際是用三角知識(shí)，通過數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長(zhǎng)或角的大小，最好畫出它的示意圖.2非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解 . 例如：3解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，首先弄清題意( 關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義) ，然后正確畫出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.【典型例題

11、】類型一、 銳角三角函數(shù)的概念與性質(zhì)1 (1) 如圖所示，在ABC中，若 C 90°， B 50°， AB 10，則 BC的長(zhǎng)為 ()A10· tan50 °B 10· cos50 °C 10· sin50 °D 10sin 50°(2) 如圖所示，在 ABC中， C 90°， sinA 3 ，求 cosA+tanB 的值519(3) 如圖所示的半圓中， AD是直徑，且 AD3， AC2，則 sinB 的值等于 _【思路點(diǎn)撥】(1) 在直角三角形中， 根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義， 可以用某個(gè)銳角的三

12、角函數(shù)值和一條邊表示其他邊(2) 直角三角形中，某個(gè)內(nèi)角的三角函數(shù)值即為該三角形中兩邊之比知道某個(gè)銳角的三角函數(shù)值就知道了該角的大小，可以用比例系數(shù)k 表示各邊(3) 要求 sinB 的值，可以將 B 轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中【總結(jié)升華】已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值，求同角或余角的其他三角函數(shù)值時(shí)，常用的方法是：利用定義，根據(jù)三角函數(shù)值，用比例系數(shù)表示三角形的邊長(zhǎng)；(2)題求 cosA 時(shí)，還可以直接利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系式sin 2 A+cos 2 A 1，讀者可自己嘗試完成舉一反三：【變式 】 Rt ABC中， C=90°， a、 b、 c 分別是 A、 B、 C 的對(duì)邊，那么c

13、 等于 ()(A) acosAbsin B(B)ab(D)(C)sin Bsin A類型二、特殊角的三角函數(shù)值asin Absin BabcosAsin B2解答下列各題：(1) 化簡(jiǎn)求值： tan60° tan45° sin 45° sin 30°； sin 60° cos30° cos45°(2)在 ABC中， C 90°，化簡(jiǎn)12sin A cos A 【總結(jié)升華】由第 (2) 題可得到今后常用的一個(gè)關(guān)系式：1± 2sin cos =(sin ± cos ) 2例如，若設(shè) sin +cos

14、 t ，則 sincos1(t 2 1)220舉一反三：【變式 】若 sin 23sin ， (2 ， 為銳角 ) ，求 tan(2)的值.， cos233 (1) 如圖所示，在ABC中， ACB 105°， A 30°， AC 8，求 AB 和 BC的長(zhǎng)；(2) 在 ABC中， ABC 135°， A 30°， AC 8，如何求 AB和 BC的長(zhǎng) ?(3) 在 ABC中， AC 17， AB 26，銳角 A 滿足 sin A12 ，如何求 BC的長(zhǎng)及 ABC的面積？13若 AC 3，其他條件不變呢?【思路點(diǎn)撥】第 (1) 題的條件是“兩角一夾邊”由已知

15、條件和三角形內(nèi)角和定理，可知B 45°；過點(diǎn)C 作 CD AB 于 D，則 Rt ACD是可解三角形，可求出 CD的長(zhǎng)，從而 Rt CDB可解，由此得解；第 (2) 題的條件是“兩角一對(duì)邊” ；第 (3) 題的條件是“兩邊一夾角” ，均可用類似的方法解決類型三、解直角三角形及應(yīng)用4如圖所示， D 是 AB上一點(diǎn)，且 CD AC于 C， S ACD : SCDB2 : 3 ， cos DCB4，5AC+CD 18，求 tanA 的值和 AB 的長(zhǎng)21專題總結(jié)及應(yīng)用一、知識(shí)性專題專題 1：銳角三角函數(shù)的定義【專題解讀】銳角三角函數(shù)定義的考查多以選擇題、填空題為主例 1 如圖 28 123

16、 所示，在 Rt ABC 中， ACB 90°， BC 1，AB 2，則下列結(jié)論正確的是()A sin A3B tan A 122C cosB3D tan B 32例 2 在 ABC 中， C 90°， cosA 3,則 tan A 等于()5A 3B 4C 3D 45543專題 2特殊角的三角函數(shù)值【專題解讀】要熟記特殊角的三角函數(shù)值例 4計(jì)算 | 3| 2cos 45° (3 1)0例 5計(jì)算1 9 ( 1)2007 cos 60°2例 6計(jì)算 |2 | (cos 60° tan 30° )08 131例 7計(jì)算 ( 3.14)0

17、 |1 tan 60° |.232專題 3銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用【專題解讀】銳角三角函數(shù)常與其他知識(shí)綜合起來運(yùn)用，考查綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力.例 8如圖 28 124 所示，在 ABC 中， AD 是 BC 邊上的高， E 為AC4邊的中點(diǎn)， BC 14， AD 12， sin B(1)求線段 DC 的長(zhǎng)；(2)求 tanEDC 的值 .22例 9 如圖 28 125 所示，在 ABC 中， AD 是 BC 邊上的高， tan B cosDAC .(1)求證 AC BD ；12(2)若 sin C， BC 12，求 AD 的長(zhǎng)例 10 如圖 28 126 所示，在 AB

18、C 中， B 45°， C 30°， BC 30 30 3 ，求 AB 的長(zhǎng)23專題 4用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題【專題解讀】 加強(qiáng)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力是當(dāng)今數(shù)學(xué)改革的方向，圍繞本章內(nèi)容，縱觀近幾年各地的中考試題，與解直角三角形有關(guān)的應(yīng)用問題逐步成為命題的熱點(diǎn)，其主要類型有輪船定位問題、堤壩工程問題、建筑測(cè)量問題、高度測(cè)量問題等，解決各類應(yīng)用問題時(shí)要注意把握各類圖形的特征及解法例 13如圖 28 131 所示，我市某中學(xué)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)量沱江流經(jīng)我市某段的河寬小凡同學(xué)在點(diǎn)A 處觀測(cè)到對(duì)岸C 點(diǎn)，測(cè)得 CAD 45

19、°，又在距 A 處 60 米遠(yuǎn)的 B 處測(cè)得 CBA 30°，請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬是多少 ?(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位 )例 14如圖 28 132 所示，某邊防巡邏隊(duì)在一個(gè)海濱浴場(chǎng)岸邊的A 點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)海中的 B 點(diǎn)有人求救，便立即派三名救生員前去營(yíng)救1 號(hào)救生員從A 點(diǎn)直接跳入海中； 2 號(hào)救生員沿岸邊(岸邊可以看成是直線)向前跑到C 點(diǎn)再跳入海中；3 號(hào)救生員沿岸邊向前跑300 米到離B 點(diǎn)最近的D 點(diǎn)，再跳入海中，救生員在岸上跑的速度都是 6 米秒，在水中游泳的速度都是2 米 /秒若 BAD 45°， BCD 60°，三名救生員同時(shí)從A 點(diǎn)出發(fā)，請(qǐng)說

20、明誰先到達(dá)營(yíng)救地點(diǎn)B(參考數(shù)據(jù)2 1.4， 3 1.7)例 15 如圖 28 133 所示，某貨船以 24 海里 /時(shí)的速度將一批重要物資從 A 處運(yùn)往正東方向的 M 處，在點(diǎn) A 處測(cè)得某島 C 在它的北偏東 60°方向上，該貨船航行 30 分鐘后到達(dá)B 處，此時(shí)再測(cè)得該島在它的北偏東30°方向上；已知在C 島周圍 9 海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁， 若貨船繼續(xù)向正東方向航行， 該貨船有無觸礁危險(xiǎn) ?試說明理由24例 16如圖 28 134 所示，某幢大樓頂部有一塊廣告牌CD ，甲、乙兩人分別在相距 8 米的 A， B 兩處測(cè)得 D 點(diǎn)和 C 點(diǎn)的仰角分別為45°和 60

21、°，且 A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上，若BE 15 米，求這塊廣告牌的高度(3 1.73，結(jié)果保留整數(shù) )例 17如圖 28 135 所示，某水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬AD 2.5m，壩高 4 m，背水坡的坡度是1： 1，迎水坡的坡度是1： 1.5，求壩底寬BC.例 18如圖 28 136 所示，山頂建有一座鐵塔，塔高CD 30m，某人在點(diǎn)A 處測(cè)得塔底C 的仰角為20°，塔頂D 的仰角為23°，求此人距CD 的水平距離 AB (參考數(shù)據(jù)： sin 20° 0.342，cos 20° 0.940，tan 20° 0.364， sin

22、 23° 0.391，cos 23° 0.921，tan 23° 0.424)25二、規(guī)律方法專題專題 5公式法【專題解讀】本章的公式很多，熟練掌握公式是解決問題的關(guān)鍵1sin2例 19 當(dāng) 0° 90°時(shí)，求的值cos三、思想方法專題專題 6類比思想【專題解讀】求方程中未知數(shù)的過程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的過程叫做解直角三角形， 因此對(duì)解直角三角形的概念的理解可類比解方程的概念我們可以像解方程(組 )一樣求直角三角形中的未知元素例 20在 Rt ABC 中， C 90°， A， B， C 的對(duì)邊分別為a， b， c，已知 a5 ， b2 15 ，解這個(gè)直角三角形2專題 7數(shù)形結(jié)合思想【專題解讀】由“數(shù)”思“形”，由“形”想“數(shù)” ，兩者巧妙結(jié)合，起到互通、互譯的作用，是解決幾何問題常用的方法之一例 21如圖 28 137 所示，已知 的終邊 OP AB，直線 AB 的方程為 y3x3，則 cos等于()33A 12B 22C332D326專題 8分類討論思想【專題解讀】