高中數(shù)學三角函數(shù)任意角講義新人教A版必修一第一冊

1、115.1任意角和弧度制最新課程標準：了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性.5.1.1 任意角新知初探I川主摩|習知識點一角的概念角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.狀元隨筆(1)在畫圖時，常用帶箭頭的弧來表示旋轉的方向.(2)為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角 a ”或“/ a ”可以簡記成“ a知識點二角的表示頂點：用O表示；O始邊：用OA表不，用語言可表不為起始位置; 終邊：用OB表示，用語言可表示為終止位置. 知識點三角的分類在直角坐標系中研究角時，當角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合時, 角的終

2、邊在第幾象限， 就說這個角是第幾象限角， 如果角的終邊在坐標軸上， 就認為這個角 不屬于任何一個象限.知識點五終邊相同的角所有與角”終邊相同的角，連同角 a在內，可構成一個集合S= 3| 3 = a +k - 360° , kCZ,即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個周角的和.狀元隨筆| (1) a為任意角，“ kCZ”這一條件不能漏.(2)k 360 ° 與 a 中間用 “ + ” 連接，k 360 ° a 可理解成 k 360 ° + (- a ).(3)當角的始邊相同時，相等的角的終邊一定相同，而終邊相同的角不一定相等.終邊相同的角有

3、無數(shù)個，它們相差360。的整數(shù)倍.終邊不同則表示的角一定不同.教材解難象限角的集合表示象限角集合表小A象限角 a | k - 360° < a <90° + k - 360° , kC Z第二象限角 a |90 ° + k 360° < a <180° + k - 360° , k C Z第三象限角 a |180。+ k 360° < a <270° + k - 360° , k C Z第四象限角 a |270。+ k 360° < a <

4、;360° + k - 360° , k e Z基礎自測1 .下列說法中正確的是 ()A.終邊相同的角都相等B.鈍角是第二象限的角C.第一象限的角是銳角D .第四象限的角是負角解析：終邊相同的角不一定相等，第一象限角不一定是銳角，第四象限角可能為正角， 也可能為負角，故選 B.答案：B2 .下列各角：一60° , 126° , -63° , 0° , 99° ,其中正角的個數(shù)是 ()A. 1個B . 2個C. 3個D . 4個解析：結合正角、負角和零角的概念可知，126° , 99°是正角，一60

5、6; , -63°是負 角，0°是零角，故選 B.答案：B3 .與30°角終邊相同的角的集合是()A. a |a= 30° + k 360° ,ke ZB. a |a= -30° +k 360°, k CZC. a |a=30° + k 180° ,kZD. a |a= -30° +k - 180°, kCZ解析：由終邊相同的角的定義可知與30°角終邊相同的角的集合是 a | a =30° +k - 360° , k C Z.答案：A4 . 2 019&#

6、176;是第 象限角.解析：2 019° =360° X 5+219° , 180° <219° <270° .2 019°是第三象限角.答案：三課堂探究I和荊提升題型一任意角的概念及應用經典例題例1 (1)若角的頂點在原點，角的始邊與 x軸的非負半軸重合，給出下列四個命題： 0。角是第一象限角；相等的角的終邊一定相同；終邊相同的角有無限多個；與一 30°角終邊相同的角都是第四象限角.其中正確的有()A. 1個B . 2個C. 3個D . 4個(2)時針走過2小時40分，則分針轉過的角度是 .【解析】(

7、1)錯誤，0。角是象限界角；正確.(2)分針按順時針方向轉動,則轉過的角度是負角為一360° X 2 2=-960° .3【答案】(1)C (2) -960°按照象限分類，角可以分為象限角和象限界角；角的正負是由終邊的旋轉方向決定的.分針1個小時轉過的角度的絕對值是360 ° .方法歸納與角的概念有關問題的解決方法正確解答角的概念問題，關鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等 的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉方向與大小.另外需要掌握判斷結論正確與否的技巧， 判斷結論正確需要證明，而判斷結論不正確只需舉一個反例即可.跟蹤訓練1在下列說法中：0

8、。90。的角是第一象限角；第二象限角大于第一象限角；鈍角都是第二象限角；小于90°的角都是銳角.其中錯誤說法的序號為.解析：0°90°的角是指0 ° , 90° ), 0°角不屬于任何象限，所以不正確.120。是第二象限角，390°是第一象限角，顯然 390° >120。，所以不正確.鈍角的范圍是(90。，180。)，顯然是第二象限角，所以正確.銳角的范圍是(0。，90。)，小于 90。的角也可以是零角或負角，所以不正確.答案：題型二終邊相同的角經典例題例2寫出與75°角終邊相同的角的集合，并求在

9、360°1 0800范圍內與 75°角終 邊相同的角.【解析】與75°角終邊相同的角的集合為S= 3 | 3 = k 360° +75° , k Z.當 360° < 3 <1 080° ,即 360° v k - 360° +75° <1 080° 時，解得卜<吟.又 kC Z, 所以k= 1或k= 2.當k= 1時，3 =435° ;當k = 2時，3 =795° .綜上所述，與 75°角終邊相同且在 360°1 08

10、0°范圍內的角為 435°角和795°角.狀元隨筆|根據與角”終邊相同的角的集合為 S= 3 | 3 =k - 360 ° + a , kC Z, 寫出與75 °角終邊相同的角的集合，再取適當?shù)膋值，求出360 °1 080 0范圍內的角.方法歸納(1)寫出終邊落在直線上的角的集合的步驟寫出在0° , 360。)內相應的角；由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；根據條件能合并一定合并，使結果簡潔.(2)終邊相同角常用的三個結論終邊相同的角之間相差360。的整數(shù)倍；終邊在同一直線上的角之間相差180。的整數(shù)倍；終邊在相互垂直的

11、兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍.跟蹤訓練2寫出與下列各角終邊相同的角的集合S,并把S中滿足一 360° < a <720°的元素寫出來.(1)60 ° ；(2) 210° ;(3)364 ° 13'.解析：(1) S= a | a = 60 + k , 360 , k C Z.當 k=-1 時，a = 300 ;當 k = 0 時，a = 60 ;當 k = 1 時，a = 420 .S 中滿足 360° < a <720° 的元素是300° , 60° ,

12、420° .(2) S= a | a = 210° + k 360° , kC Z.當 k = 0 時，a = 210 ;當 k= 1 時，a = 150 ;當 k = 2 時，a = 510 .S 中滿足一 360° & a <720° 的元素是一210° , 150° , 510° .(3) S= a | a =364° 13' + k 360° , kCZ.當 k= 2 時，a = 355° 47'當 k= - 1 時，a =4° 13&#

13、39;當 k=0 時，a =364° 13'.S 中滿足一360° & a <720° 的元素是一355° 47' , 4° 13' , 364° 13'.求與已知角a終邊相同的角時，首先將這樣的角表示成k - 360 ° + a (k C Z)的形式,然后采用賦值法求解相應不等式，確定 k的值，求出滿足條件的角.題型三 象限角與區(qū)間角的表示教材P170例1例3在0°360°范圍內，找出與一950° 12'角終邊相同的角，并判定它是第幾象 限

14、角.【解析】950° 12' =129° 48' -3X360° ,所以在0°360°范圍內，與950° 12'角終邊相同的角是 129° 48',它是第二象限角.先求出與一950 ° 12 '終邊相同的角，再判斷是第幾象限角.教材反思象限角的判定方法(1)根據圖象判定.依據是終邊相同的角的概念，因為0°360。之間的角的終邊與坐標系中過原點的射線可建立對應的關系.(2)將角轉化到0°360°范圍內.在直角坐標平面內， 在0°360&#

15、176;范圍內沒有兩個 角終邊是相同的.跟蹤訓練3 (1)若a是第四象限角，則一a 一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)寫出終邊落在圖中陰影部分(包括邊界)的角的集合.解析：(1)因為a是第四象限角，所以 k 360° -90° < a<k- 360° , k C Z.所以一k - 360° <- a <k 360° +90； kC Z,由此可知一a是第一象限角.依題意寫出a的范圍，再求一a的范圍.(2)若角 a 的終邊落在 OAJ：,則 a =30° +360° k, k

16、CZ.若角a的終邊落在OB±,則a =135° +360° k, kCZ.所以，角a的終邊落在圖中陰影區(qū)域內時，30° +360° - kWaWl35° +360° - k, kC Z.故角 a 的取值集合為a|30° +360° kWaWl35° +360° k, kCZ.由圖寫出終邊 OA表示的角，終邊 OB表示的角，再求陰影的范圍.答案：(1)A(2)見解析時訓練學業(yè)達林的溫送松 酒移移陽送試腐流僦儂激%哂命*、選擇題1 .下列角中，終邊在 y軸非負半軸上的是()A. 45

17、76;B , 90°C. 180° D . 270解析：根據角的概念可知，90°角是以 x軸的非負半軸為始邊，逆時針旋轉了90。，故其終邊在y軸的非負半軸上.答案：B2 .把一條射線繞著端點按順時針方向旋轉A. 120° B , 120°C. 240° D , 240°解析：一條射線繞著端點按順時針方向旋轉 答案：D3.與一457°角終邊相同的角的集合是(A. a |a=k-360°+457°,kCZB. a |a=k-360°+97° ,k ZC. a |a=k-360&#

18、176;+263°,kCZD. a |a=k-360°-263°,kCZ解析：263° = 457° +360° X 2,所以240°所形成的角是()240°所形成的角是240° ,故選 D.)263°角與一 457°角的終邊相同，所以與一457°角終邊相同的角可寫作a =k - 360° +263° , k C Z.答案：C4 .若a為銳角，則下列各角中一定為第四象限角的是()A. 90° a B . 90° + aC. 360

19、76; a D . 180° + a解析：:。< a <90° ,270° <360° a <360° ,故選 C.答案：C二、填空題5 .圖中從OA旋轉到OB OB, OB時所成的角度分別是 解析：圖(1)中的角是一個正角，a =390° .圖(2)中的角是一個負角、一個正角，3 =-150° , 丫 =60° .答案：390°-150°60°6 .已知角a與2a的終邊相同，且 a 0 ° , 360° ),則角 a =.解析：由條件知，2

20、 a = a + k , 360° ,所以 a = k , 360 ( kC Z),因為 a 0 ° , 360 ),所以 a = 0 .答案：0°7 .如圖，終邊在陰影部分內的角的集合為 .解析：先寫出邊界角，再按逆時針順序寫出區(qū)域角，則得 a |30 ° + k - 360° < a <150° + k - 360° , kCZ.答案： a |30 ° + k 360° & a <150° + k - 360° , kC Z三、解答題8 .在0。360。范

21、圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并指出它們是第幾象限角：(1)549 ° ; (2) -60° ; (3) -503° 36'.解析：(1)549 ° =189° +360° ,而 180° <189° <270° ,因此，549° 角為第三象限角，且在0°360°范圍內，與189°角有相同的終邊.(2) -60° =300° 360° ,而 270° <300° <360°

22、; ,因此，60° 角為第四象限角, 且在0°360°范圍內，與 300°角有相同的終邊.(3) 503° 36' = 216° 24 2X360° ,而 180° <216° 24' <270° . 因此，503° 36'角是第三象限角，且在 0°360°范圍內，與 216° 24'角有相同的終邊.一 .-儀 -.9 .已知“與240。角的終邊相同，判斷 萬是第幾象限角.解析：由儀=240° + k - 360° , k Z,得了=120° + k - 180 , kC Z.若k為偶數(shù)，設k=2n, n Z, . a% .則5=120° + n 360 , nC Z,萬與12