第四講——整式地乘除與因式分解講義

1、整式的乘除與因式分解一、基礎知識1 、單項式的概念：由數(shù)與字母的乘積構(gòu)成的代數(shù)式叫做單項式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式。 單項式的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，字母指數(shù)和叫單項式的次數(shù)。如：2a 2bc 的 系數(shù)為2 ，次數(shù)為 4 ，單獨的一個非零數(shù)的次數(shù)是0 。2 、多項式：幾個單項式的和叫做多項式。多項式中每個單項式叫多項式的項，次數(shù)最高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù)。如： a22abx1，項有a 2 、2ab 、x 、1 ，二次項為a2 、2ab ，一次項為x ，常數(shù)項為1 ，各項次數(shù)分別為2，2，1，0，系數(shù)分別為1，-2 ，1，1，叫二次四項式。3 、整式：單項式和多項式統(tǒng)稱整式。注意：凡

2、分母含有字母代數(shù)式都不是整式。也不是單項式和多項式。4 、同底數(shù)冪的乘法法則：a m a na m n （ m, n 都是正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項式或單項式。5 、冪的乘方法則： (am ) na mn （ m, n 都是正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。冪的乘方法則可以逆用：即a mn( am ) n(a n )m6 、積的乘方法則：(ab) nan b n （ n 是正整數(shù)）積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。7 、同底數(shù)冪的除法法則： a ma nam n （ a0,m, n 都是正整數(shù)， 且 mn)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。8 、零指數(shù)和負指數(shù)

3、；a 01 ，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于 1。p1p 次方等于這個aa p （ a 0, p 是正整數(shù)），即一個不等于零的數(shù)的數(shù)的 p 次方的倒數(shù)。9 、單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。注意：積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號，再計算絕對值。相同字母相乘，運用同底數(shù)冪的乘法法則。只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用。單項式乘以單項式，結(jié)果仍是一個單項式。10 、單項式乘以多項式，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得

4、的積相加，即 m(abc)mambmc ( m, a,b,c 都是單項式 )注意：積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同。運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。在混合運算時，要注意運算順序，結(jié)果有同類項的要合并同類項。11 、多項式與多項式相乘的法則；多項式與多項式相乘， 先用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所的的積相加。12 、平方差公式： (ab)(ab)a 2b2公式特征：左邊是兩個二項式相乘， 并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)。右邊是相同項的平方減去相反項的平方。13 、完全平方公式： (ab) 2a 22abb2公式特征：左邊是一個二

5、項式的完全平方，右邊有三項，其中有兩項是左邊二項式中每一項的平方，而另一項是左邊二項式中兩項乘積的2 倍。注意：a 2b 2(ab) 22ab(ab)22ab( ab) 2(ab)24ab( ab) 2(ab) 2(ab) 2(a b) 2(ab) 2(ab) 214 、單項式的除法法則：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。注意：首先確定結(jié)果的系數(shù)（即系數(shù)相除），然后同底數(shù)冪相除，如果只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式15 、多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單

6、項式，在把所的的商相加。即： (ambmcm)mammbmmcmmabc16 因式分解：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解。1 、 提公因式法 .：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成幾個因式的積的形式、ma+mb+mc=m(a+b+c)（ m 可以表示單項式，也可以表示多項式）2 、 運用公式法在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b 2 -a2 -b 2 =(a+b)(a-b) ；(2) (a±b) 2 = a 2±

7、;2ab+b 2 a2±2ab+b 2=(a ±b) 2；3、分組分解法(1)分組后能直接提公因式amanbmbn=m （ a+b ） +n(a+b)=(a+b)(m+n)(2) 分組后能直接運用公式x 2y 2axay =(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)4、十字相乘法 .（一）二次項系數(shù)為1 的二次三項式直接利用公式x 2( pq) xpq( xp)( xq) 進行分解。特點：（1）二次項系數(shù)是1；（2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；（3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。凡是能十字相乘的二次三項式 ax2+bx+c，都要求b24ac >0 而且是

8、一個完全平方數(shù)。(二) 二次項系數(shù)不為1 的二次三項式 ax 2bxc條件：（1） a a1a2a1c1（2 ） c c1c2a2c2（3 ） b a1c2a2c1b a1c2a2 c1分解結(jié)果： ax 2bxc = (a1 xc1 )( a2 xc2 )一、基礎知識梳理（課前完成）（一） 整式的乘除1 冪的運算性質(zhì)（1 ）. a. m.an_ （ m ， n 都是正整數(shù)） 。例： a 2 .a3_ 。（2 ）. ab n_ （ n 為正整數(shù)）。例： ab 3_ 。（3 ）. am n_ （ m ， n 都是正整數(shù)） 。例： a 2 3_。（ 4） .a .ma n_（ a0 ， m ， n

9、都 是 正 整 數(shù) ， 并 且 mn ）。 例 ：a 3a 2_ 。（5 ）. a0_ （ a 0）（ 6 ） . a n_ （ a 0 ， n 是正整數(shù)）2 整式的乘法：（ 1 ）單項式乘以單項式： 6x2 .3xy _ 。（2）單項式乘以多項式：x 22 yxy2_ 。（3）多項式乘以多項式：2x3yx4 y_ 。3.整式的除法：（1）單項式除法： 6x 32x_ 。（2）多項式除以單項式：8x24xy4x_ 。（二） 因式分解1 分解因式的概念（1 ）.分解因式：把一個多項式化成幾個的形式。（2 ）.分解因式與整式乘法的關系：2 分解因式的基本方法：（1 ）. 提公因式法：mambmc_

10、 。（2 ）運用公式法：（1 ） 平方 差 公 式 ： a 2b 2_ ；（2）完全平方公式：a 22abb 2_ 。二、基礎診斷題101.計 算 a 4 3 的 結(jié) 果 是 （）A a7B a12C a16D a 642.計 算 ： 3ab 2 .5a2 b_ ， 9x 33x2_ 。3.計 算 ：2a .1 a31_ ， 2aba b_ 。44.計 算 ： x1x 1_， a2_ 。35 計 算 ： x 39x26x3x_。36.下列從左到右的變形是因式分解的是（）A.a3b2a3bB . x24x 10x 2 262C. a 3 a3a 29D. x26x 9 x 3 27. 多 項 式

11、 x2x 6 提 取 公 因 式 x 2 后 的 另 一 個 因 式 是 （）A x4B. x3C. x41D. x318. 分 解 因 式 ： x 216_ _ ； x 26 x 9_ 。9. 單 項 式 8a2b 2 ， 12ab 3 ， 6a2 b 2 的 公 因 式 是 _.10. 分 解 因 式 ：x3 2x3_ 。三、典型例題例 1.先 化 簡 ， 再 求 值 ： 2b2a b a b23 ， b1 。a b ， 其 中 a2例 2 分解因式： a3a_ _； 2x 24x 2 _ _ 。例 3.（ 1 ） 已 知 ab2 ， ab1， 則 a2 bab2 的 值 為 _ 。（2）

12、 若m2n 1， 則m2442_ 。mnn四、達標檢測題（一）基礎檢測91.下列各式計算正確的是（）A a 7 2a9B. a7 .a 2a14C.2a 23a35a5D. ab 3a3b32.下列運算正確的是（）A a 2 .a4a8B. x 2 x 3x26C.x 2 2x24D.2a3a5a3.若 39 m27m321 ，則 m 的值是（）A 3B.4C. 5D. 64. 分解因式： x29 y2 x22x33a 212_ mn 26mn9m_5.若 a2 ， ab 3，則 a2ab6.在邊長為 a 的正方形中挖去一個邊長為b 的小正方形 （ ab ）（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形

13、（如圖乙） ，根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證（）A (a b) 2a22ab b2aabB (a b) 2a22ab b2aC a2b2( ab)(ab)bbb圖乙b) a22b2圖甲D (a2b)(aab7. 先 化 簡 ， 再 求 值 ： x 1 x 1x x 3 ， 其 中 x 3 （二）能力提升111（ 2014? 威海）將下列多項式分解因式，結(jié)果中不含因式x 1 的是（）A x 2 1B x （x 2 ） + （2 x） C x 22x+1D x2+2x+12（2014? 孝感）若 a b=1 ，則代數(shù)式 a 2 b 2 2b的值為3（2014 ? 遵義）若 a+b=2，

14、 ab=2 ，則 a2 +b 2 的值為（）A6B4C3D24 （2014 ? 襄陽）下列計算正確的是（）A. a 2 +a 2 =2a 4B. 4x 9x+6x=1C. （ 2x 2y） 3 = 8x 6y3D. a 6 ÷a3 =a 25 （2014 ? 棗莊）如圖，在邊長為2a 的正方形中央剪去一邊長為（a+2 ）的小正方形（a2 ），將剩余部分剪開密鋪成一個平行四邊形，則該平行四邊形的面積為（）A 2+4B2a2+4aC3a24a 4D 2 a 2a4 a6. 先化簡，再求值：x y x y4x3 y 8xy32xy ， 其 中 x1 ， y3 。32.下列計算正確的是（）

15、BA.a 3 a4 =a 7B. a 3 ·a4 =a 7C. （ a3 ）4 =a 7D. a 6÷a3 =a 213. 當 x=3 ， y=1 時，代數(shù)式（x y）（ x y） y2 的值是 _.314. 分解因式： x2 2x 3=_.（x 3 ）（ x 1）13 分解因式： x29 =18. （1 ）計算： ( x1)22(1 x)6 下列各選項的運算結(jié)果正確的是A (2 x2 )38x6B 5a 2b 2a 2b 3C x6x2x3D (a b) 2a 2b213 分解因式： x22 x 1 =5 下列運算正確的是2 3623= a662= a3D 23= 6A

16、a ·a= aB (a)Ca÷a17 分解因式： a2 6a+9= _.22. (1) 計算： ( a b)( a b)2b2.5 下列各式計算正確的是（）A 3x-2x=1B a 2+a 2=a4C a 5÷a5=aD a 3 ?a2=a57 化簡5（ 2x-3） +4（ 3-2x）結(jié)果為（）A 2x-3B 2x+9C 8x-3D 18x-316 分解因式：a2 -1=（ a+1）（ a-1） 5 下列各式計算正確的是A (a2 )2a4B a a a2C 3a2a22a2D a4 ga2a811已知 x22 x80 ，則 3x26x 18 的值為A 54B 6

17、C-10D-1816計算： 3(2 x1)6x .17分解因式：a24 .3 下列運算中，結(jié)果是a5 的是A a3a2 a10a2C2)3D( a)5B(a17.分解因式： x22x 1 _22.（ 1 ）化簡： ( a3)(a 3) a( 4 a) 【例 1 】若 a 2n3 ，則 a6 n =. 計算 x 2y 3 n2 y x 2 m【例 2 】 n m3pn mp 4m n【例 3】計算 x2y 3 n2 yx 2 m【例 4】下列運算正確的是（）A 、 8x94x32x3B、 4a2b34a2 b30C 、 a2 mama2D 、 2ab2c ( 1 ab 2 )4c2【例 5】利用

18、平方差公式計算： 2009 ×2007 2008 2【例 6】已知 a，b， c 是 ABC 的三邊，且 a2b2c2ab bc ca ，則 ABC 的形狀是A.直角三角形B 等腰三角形C 等邊三角形D 等腰直角三角形【例7】分解因式： 2ax10ay 5bybx【例8】分解因式： a 22abb2c 2【例9】已知 0 a 5 ，且 a為整數(shù)，若2x23xa 能用十字相乘法分解因式，求符合條件的 a .【例 10 】分解因式： x25x6【例 11 】分解因式： 2x 2y8xy 8y【例 12 】分解因式 x 24xy 14y 21、（2012 ，陜西）計算 (5a3 ) 2 的結(jié)果是（）A 10a5B