空間幾何體的表面積與體積公式大全

1、空間幾何體的表面積與體積公式大全一、全（表）面積（含側(cè)面積）1、柱體 棱柱h hS側(cè) c hS全2 S底S側(cè) 圓柱S2、錐體 棱錐： S棱錐側(cè)12 c底 hS全 S底S側(cè)h 圓錐： S圓錐側(cè)12 c底 lS3、臺體1 棱臺： S棱臺側(cè)(c上底c下底 )h2S全S上S側(cè)S下 圓臺： S棱臺側(cè)1(c上底c下底 ) l24、球體S上S上球：S球 42rh 球冠：略S下S下 球缺：略二、體積1、柱體 棱柱S hh hV 柱 圓柱SS2、錐體 棱錐1hhV 柱3 S h 圓錐ShSlSS3、臺體V 臺1S上 S下S下 ) 棱臺3 h ( S上 圓臺122V 圓臺3h (r 上r 上 r 下r下 )4、球

2、體 球：V球433 r 球冠：略 球缺：略說明：棱錐、棱臺計(jì)算側(cè)面積時使用側(cè)面的斜高側(cè)面積計(jì)算時使用母線l 計(jì)算。三、拓展提高1、祖暅原理：（祖暅：祖沖之的兒子）S上S上hhlS下S下h 計(jì)算；而圓錐、圓臺的夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果它們在任意高度上的平行截面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積相等。最早推導(dǎo)出球體體積的祖沖之父子便是運(yùn)用這個原理實(shí)現(xiàn)的。2、阿基米德原理：（圓柱容球）圓柱容球原理：在一個高和底面直徑都是2r 的圓柱形容器內(nèi)裝一個最大的球體，則該球體的全面積等于圓柱的側(cè)面積，體積等于圓柱體積的2 。3分析：圓柱體積： V 圓柱S h (23r )2r2r圓柱側(cè)面積： S圓

3、柱側(cè)c h2(2r )2r4 r因此：球體體積： V 球234332r3r球體表面積： S球24r通過上述分析，我們可以得到一個很重要的關(guān)系（如圖）+=即底面直徑和高相等的圓柱體積等于與它等底等高的圓錐與同直徑的球體積之和3、臺體體積公式公式：V 臺1(S上S上 S下S下)3 h證明：如圖過臺體的上下兩底面中心連線的縱切面為梯形ABCD 。延長兩側(cè)棱相交于一點(diǎn) P 。P設(shè)臺體上底面積為 S上 ，下底面積為 S下高為 h 。DEC易知： PDC PAB ，設(shè) PEh1 ，則 PF h1 h由相似三角形的性質(zhì)得： CDPEAFBABPF即：S上h1(相似比等于面積比的算術(shù)平方根 )S下h1 h整理

4、得： h1S上 hS下S上又因?yàn)榕_體的體積 =大錐體體積小錐體體積V 臺1（h） 11(S下S上 )13 S下 h13 S上 h13 h13 S下 h代入： h1S上 h得：V臺1S上 h( 下上)1下S下3 S下S上S上S S3 S h即：V臺1S下S上 )11(S上S上 S下S下)3 S上 h (3 S下 h3 hV 臺1S上 S下S下)3 h (S上4、球體體積公式推導(dǎo)分析：將半球平行分成相同高度的若干層（n層 ）， n 越大，每一層越近似于圓柱， n時，每一層都可以看作是一個圓柱。這些圓柱的高為r ，則：n每個圓柱的體積 V i Si h =2 rr i n半球的體積等于這些圓柱的體積

5、之和。0 r)22r2rr1(n21 r)2r2rr 2(n22 r)2r2rr 3(n220) 1 (n2r 221) r 11 (n2o22) 1 (nr nr2r 12(n 1r )( n 1) 222nn半球體積為： V 半球V nr222n(r 1r 2.r n )02122r2)n 1= nr n1 (.(.()nn2n222= n2(n1) 01 2n r3.n1 (n1)n(2n1)( n1)( 2n1)=36r3n212n rn6 n(11)(21)r1n6n 3當(dāng) n時， 10n(111)(2)1 62)32 r 3V半球r 3 1n 6n r 3 (1球體積為： V 球4

6、33r5、球體表面積公式推導(dǎo)分析：球體可以切割成若干（ n個 ）近似棱錐，當(dāng) n時，這些棱錐的高111為球體半徑， 底面積為球面面積的n ，則每一個棱錐的體積 V 13n S球 r，則所有的小棱錐體積之和為球體體積。即有：1433n S球 rn 3 r2 S球 4 r1S球no6、正六面體（正方體）與正四面體（ 1）體積關(guān)系如圖：正方體切下四個三棱錐后，剩下的部分為正四面體設(shè)正方體棱長為 a ，3則其體積為： V 正方體 a四個角上切下的每一個三棱錐體積為：V 三棱錐1112133 S h3(2 a ) a6 a中間剩下的正四面體的體積為：2V 正三棱錐3 S h32 ( 2a)sin 60

7、( 2a)( 22a3) 3 a111221332這樣一個正方體可以分成四個三棱錐與中間一個正四面體即：131336 a43 aa（2）外接球正方體與其體內(nèi)最大的正四面體有相同的外接球。 （理由：過不共面的四點(diǎn)確定一個球。）正方體與其體內(nèi)最大的正面體有四個公共頂點(diǎn)。所以它們共球。回顧： 兩點(diǎn)定線 三點(diǎn)定面 三點(diǎn)定圓 四點(diǎn)定球如圖：(a)正方體的體對角線 =球直徑(b)正四面體的外接球半徑= 3 高4(c)正四面體的棱長 =正方體棱長2(d)正方體體積：正四面體體積=3：1(e)正方體外接球半徑與正四面體外接球半徑相等（3）正方體的內(nèi)切球與正四面體的關(guān)系（a）正方體內(nèi)切球直徑 =正方體棱長（b）

8、正方體內(nèi)切球與正四面體的四條棱相切。（c）與正四面體四條棱相切的球半徑=正方體棱長的一半（d）設(shè)正四面體棱長為 a ，則與其棱都相切的球半徑為r1有： r11a2224 a7、利用祖暅原理推導(dǎo)球體體積。構(gòu)造一個幾何體，使其截面與半球截面處處相等，根據(jù)祖暅原理可得兩物體體積相等。證明：作如下構(gòu)造： 在底面半徑和高都是r 的圓柱內(nèi)挖去一個與圓柱等底等高的圓錐。如圖：r 球1hr 錐 1hR在半球和挖去圓錐后的組合體的相同截面上作研究，設(shè)圓柱和半球底面半徑均為 R ，截面高度均為h ，倒圓錐的截面半徑為 r 錐 1，半球截面半徑為r 球1，則：挖去圓錐后的組合體的截面為：S122Rr錐 1半球截面面

9、積為： S22r 球1倒圓錐的底面半徑與高相等，由相似三角形易得：r錐1h在半球內(nèi)，由勾股定理易得：r 球122Rh S122S222RhRh即： S1S2 ，也就是說：半球與挖去倒圓錐后有圓柱在相同的高度上有相同的截面。由祖暅原理可得： V 1V 2所以半球體積： V 半球1222R23Sh3Sh3Sh3R3 R即，球體體積： V 球234323R3R8、正方體與球（1）正方體的內(nèi)切球正方體的棱長 aV 正方體3V 球aV正方體：V 球6 :（2）正方體的外接球正方體的體對角線3 aV 球3r33( d )4342V球： V正方體3 : 2球體的直徑 d( d )3434133r36a2球體

10、的直徑 d332 a（ 3）規(guī)律：正方體的內(nèi)切球與外接球的球心為同一點(diǎn)；正方體的內(nèi)切球與外接球的球心在體對角線上；正四面體的內(nèi)切球與外接球的的半徑之比為：1 :3正四面體內(nèi)切球與外接球體積之比為：1：3 3正四面體內(nèi)切球與外接球表面積之比為：1：3正方體外接球半徑、正方體棱長、內(nèi)切球半徑比為：3:2：1正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球體積比為：33:6:正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球表面積比為：3:6:9、正四面體與球（1）正四面體的內(nèi)切球解題關(guān)鍵：利用體積關(guān)系思考內(nèi)切球的球心到各個面的距離相等，球心與各頂點(diǎn)的連線恰好把一個正四面體分成四個三棱錐，每個三棱錐的底面為原正四面體的底面，高為內(nèi)切

11、球的半徑 r。利用體積關(guān)系得：112r )1124 （ 32 a sin 603(2 a sin 60 ) h所以： r1，其中 h 為正四面體的高。4 h212由相關(guān)計(jì)算得： h23)6aa3( a3216 r 4 h12 a44636即：V 球333r3(a)216a12V 正四面體11262332 a sin 603 a12 a：18: 3V 正四機(jī)體 V 球（2）正四面體的外接球外接球的半徑 =33223 a)4高4a (322= 6 a43V 球434(6 a)3r34638 aV 正四面體1126a2332 a sin 60312 aV 球 :V 正四面體63233 3: 28a

12、:12a（ 3）規(guī)律：正四面體的內(nèi)切球與外接球的球心為同一點(diǎn)；正四面體的內(nèi)切球與外接球的球心在高線上；正四面體的內(nèi)切球與外接球的的半徑之和等于高；正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比等于 1：3 正四面體內(nèi)切球與外接球體積之比為： 1：27 正四面體內(nèi)切球與外接球表面積之比為： 1：9 正四面體外接球半徑、 正四面體棱長、內(nèi)切球半徑比為： 3 6 :12： 6 正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球體積比為： 27 3 : 18 : 3 正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球表面積比為： 9 : 6 2 :10、圓柱與球（1）圓柱容球（阿基米德圓柱容球模型）圓柱高 =底面直徑 =球的直徑球體體積 = 2 圓

13、柱體積3球面面積 =圓柱側(cè)面積（2）球容圓柱球體直徑、圓柱的高、圓柱底面直徑構(gòu)成直角三角形。設(shè)球體半徑為 R ，圓柱高為 h ，底面半徑為 r22222即： Rh4 r則有： (2R)h(2r )2四、方法總結(jié)下面舉例說明立體幾何的學(xué)習(xí)方法例：已知正四面體的棱長為a ，求它的內(nèi)切球和外接球的半徑思路：先分析球心的位置。因?yàn)檎拿骟w是特殊的四面體，顯然內(nèi)切球與外接球的球心是重合的。且是正四面體的高線交點(diǎn)。再分析球心與一些特殊的點(diǎn)、線、面的位置、數(shù)量關(guān)系。在內(nèi)切球這種情況下，球心垂直于每一個面，且到每一個面的距離相等；在外接球這種情況下，球心到每個頂點(diǎn)的距離相等。A方法 1：展平分析：（最重要的方

14、法）如圖：取立體圖形中的關(guān)鍵平面圖形進(jìn)行分析！連接 DO 并延長交平面 ABC 于點(diǎn) G，連接 G O1連接 D O 并延長交 BC 于點(diǎn) E，則 A、G、E 三點(diǎn)共線。A1在平面 AED 中，由相似知識可得：E O1EG1O1 DGA2 GO1/ AD且G O1AD GO O DOA1即： AO3 AO13h44GO1BDO13E OO11CAO336 a6 a434O1 O1AO11h16a6a444312V 外接球4DO36338aV 內(nèi)切球43633OO1216a方法 2：體積分析：（最靈活的方法）如圖：設(shè)正四面體ABCD 的內(nèi)切球球心為 O ，連接AO、BO、CO、DO，則正四面體被

15、分成四個完全一樣的三棱錐。設(shè)內(nèi)切球半徑為r ，正四面體的棱長為 a23 a)2則正面四體的高為：26ah a (332則： 4 個完全一樣的三棱錐體積=正四面體體積AOD有： 4112r 1126a3(2 a sin 60 )3(2 a sin 60 )3 r6 a12 V內(nèi)切球436a33r21644663633V 外接球3(hr )3(3aa)8 a12方法 3：方程分析：（最常見的做法）如圖：顯然 AO 、DO 是外接球半徑， OO1 是內(nèi)切球半徑。在 RtDO O 中，由勾股寫得可得以下方程：1222DOOO1DO21其中： DO123 aB32DO DO1 AO1h63a代入方程解得

16、：DO6 a、 OO16a412V 外接球4DO36338aV 內(nèi)切球43633OO1216aAODO1C方法 4：補(bǔ)形分析（最巧妙的思考）把正四面體補(bǔ)成正方體進(jìn)行分析。如圖：此時，正四面體與正方體有共同的外接球。正四面體的棱長為a ，則正方體棱長為： a2正方體的外接球直徑為其體對角線D3 (a )6 a22正四面體的外接球半徑為：D6 a24內(nèi)切球半徑為： D16 az2312AV 外接球43633R8a4363BOV 內(nèi)切球3r216aD方法 5：坐標(biāo)分析（最意外的解法）y建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：C則 A（0，0，6 a），B（0，3 ax， ），330（13 a，0），D（1 a

17、，3a ，0），設(shè)球心位置為 O（ x ， y ， z ，）a ，C2626由得： OA2222|OA | |OB| |OC| |OD | ROB OCOD即：xy(z22(x1226 a) x ( y3 a) za) ( y6 a) z222223323122= (xa)622( ya)z3解得： xy 0， z6 a，即： r6a， R6a6a6a12123124V 外接球43633R8 a4363V 內(nèi)切球3r216a主要方法：一、統(tǒng)一思想1、公式的統(tǒng)一對于每個幾何形體的面積與體積公式，我們很想找出一個萬能公式全部適用于所有形體，但是這只是一個理想狀況，實(shí)際上不可能，最多只可能適用于一部

18、分而已。即使是這樣，也只減小我們對公式的記憶難度，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的靈活性。（1）梯形的面積公式：S1 ( a b) h ，同樣適用于三角形、平行四2邊形、長方形、正方形、扇形的面積計(jì)算。只是在使用時作微調(diào)而已。在分析三角形時，上底變?yōu)?0；分析長方形、正方形、平行四邊形時， 上下底變成一樣； 在分析扇形時， 上底變?yōu)?0，下底變成弧長，高為半徑。（2）臺體的側(cè)面積公式： S側(cè)1(c，同樣適用于圓柱、 棱柱、2c) h圓錐、棱錐、球的側(cè)面積計(jì)算。只是在使用時作微調(diào)而已。在分析圓柱、棱柱時，上下底周長變成一樣；在分析棱錐時，上底周長變?yōu)?；在分析圓錐時，上底周長變?yōu)?，斜高變成母線；在分析球體的面積時，上下底都取最大圓的周長，高取直徑，即： S球122( 2 r2 r )2r4 r（3）臺體的體積公式：V1 (上上下下 )，同樣適用于圓3SS SSh柱、棱柱、圓錐、棱錐、球的體積計(jì)算。只是在使用時作