學(xué)案14不等式的解法與證明

1、學(xué)案13 不等式的解法與證明要點(diǎn)整合.一:不等式的證明1. 平方平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)(a 、b 為正數(shù):2221122a ba bab a b +(當(dāng)a = b 時“=”成立 特別地,222(22a b a b ab +(當(dāng)a = b 時“=”成立 使用,2a b ab +求最值時,要滿足“一正、二定、三相等” 2222(,33a b ca b c a b c R a b c += 時取等號 冪平均不等式:22122221.(1.n n a a a n a a a + 含立方的幾個重要不等式(a 、b 、c 為正數(shù):3322a b a b ab +3332223(a b c a

2、bc a b c a b c ab ac bc +-=+-3333a b c abc +(0a b c +>等式即可成立,0a b c a b c =+=或時“=”成立; 33a b cabc +33a b c abc + 3333a b c + 2(31c b a ac ba ab +(a b c =時“=”成立 絕對值不等式:a b a b a b -+第一個等號成立的條件是,0;a b a b 與異號或至少之一為時"="成立第二個等號成立的條件是a b 與同號或至少,a b 之一為0時""=成立。 (a b a b a b a b a b -

3、+-+-(把看作相應(yīng)第.個式子記"="成立的條件 123123a a a a a a +算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)(a 1、a 2a n 為正數(shù):1212n n na a a a a a n + (a 1=a 2=a n 時取等柯西不等式:設(shè),2,1(,n i R b a i i =則(2時成立.(約定0=i a 時,0=i b 例如:22222(ac bd a b c d +. 常用不等式的放縮法:21111111(21(1(11n n n n n n n n n n -=<<=-+- 11111(1121n n n n n n n n n n +-=<<

4、;=-+-2. 幾個常用函數(shù)式的解法舉例(x 為正數(shù): 231124(12(1(1(22327x x x x x -=-= 2222232(1(112423(1(223279x x x y x x y y -=-= 下面解法對嗎?說明理由。 解:311(1(22(1(1(1(22223x x x y x x x x x x +-=+-=+- 3131(232= 22sin cos sin (1sin y x x x x =- 解:2242221sin cos 2sin cos cos 2y x x x x =322212sin cos cos 42327x x x += 2222sin cos

5、 :tan .2x x x arc =當(dāng)且僅當(dāng)即時取"="22422222211sin cos sin cos cos 4sin cos cos 22y x x x x x x x = 也可222311sin cos cos 4224(327x x x +=111|2(x x x x x x +=+與同號,故取"="3.用:a b a b a b -+解得不等式 如:222log 2log x xx x -<+的解區(qū)間是(1,+二:不等式的解法(1高次與分式不等式 2(0(0(0(""""(0(f x g x

6、 f x x f x g x x x g x x >>> 或用奇穿偶切 (0.f x g x x h x > 用序軸標(biāo)根法(2無理不等式1.200(0(0(a a f x a f x f x f x a<>>>或 2.200(0(a a f x a f x f x a <<<或無解 3.2(0(0(0(0(g x g x f x g x f x f x f x g x <>>>或 4.2(0(0(0(g x g x f x g x f x f x g x ><<<或無解 5.(0(

7、0(0(g x g x f x g x f x f x g x <>>>或無解 (3指數(shù)、對數(shù)不等式1.(101(0(0log log (0(0(f xg x a a a a f x f x g x g x f x g x f x g x ><<>>>>>><或 2.(101(f x g x a a a a f x g x f x g x ><<>>>或 3.(_(10(1(0(0log log (0(0(f x g x a x a x a x a x f x f x g x

8、 g x f x g x f x g x ><<>>>>>><或4.可從為:2(log (log 0f x a a A f x B C +> 令(2log .0f x a t t R At Bt C =+>則 5.可從為:22(0.00.x x x A a B a C y a Ay By C +>=>+> 令則(4含絕對值的不等式1.平分法:22(f x g x f x g x >>2.劃分區(qū)間討論法:適合含有(2n n 個絕對值號的不等式。步驟:是求使不等式成立的x 的范圍。求每個因式的零值點(diǎn)。在每個區(qū)間上求原不等式的解,注意與區(qū)間求交。最后求解。3.對形如,.x a x b c x a x b c -+-<->或的不等式可用幾何意義做。 典例分析.例1.例1.解關(guān)于x 的不等式