天大《結(jié)構(gòu)力學(xué)-1》學(xué)習(xí)筆記四

1、主題:結(jié)構(gòu)力學(xué)-1學(xué)習(xí)筆記學(xué)習(xí)時(shí)間:整學(xué)期結(jié)構(gòu)力學(xué)-1學(xué)習(xí)筆記四虛功原理和結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算 教學(xué)內(nèi)容:一、結(jié)構(gòu)位移,廣義位移。位移產(chǎn)生的原因。位移計(jì)算的目的。實(shí)功與虛功的概念。二、虛功原理。虛功方程的應(yīng)用。三、荷載作用下結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算。四、圖乘法及其應(yīng)用。五、靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算。靜定結(jié)構(gòu)支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算。六、線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理。習(xí)題課。難點(diǎn):虛功原理;復(fù)雜圖形的圖乘;靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算。重點(diǎn):虛功方程的應(yīng)用。結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式;荷載作用下靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算;溫度變化時(shí)及支座移動(dòng)時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算方法。要求:理解變形體系虛功原理的內(nèi)容及其應(yīng)用;針對(duì)不同結(jié)構(gòu)選取相應(yīng)的

2、位移計(jì)算公式計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移;掌握靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化、支座移動(dòng)影響下的位移計(jì)算方法,了解互等定理。教學(xué)目的要求:1、掌握:結(jié)構(gòu)位移,廣義位移。位移產(chǎn)生的原因。位移計(jì)算的目的;熟練掌握在荷載作用下靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算方法;溫度變化時(shí)及支座移動(dòng)時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算方法。2、熟悉:實(shí)功與虛功的概念。虛功原理。虛功方程的應(yīng)用;圖乘法及其應(yīng)用;圖乘法及位移計(jì)算公式的應(yīng)用。3、了解:理解變形體系虛功原理的內(nèi)容及其應(yīng)用;剪切變形修正系數(shù)k的推導(dǎo);線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理。5.1 概述一、結(jié)構(gòu)的位移變形:結(jié)構(gòu)在荷載作用下產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變,因而將發(fā)生尺寸和形狀的改變,這種改變稱為變形。位移:由于變形使得結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)的位置產(chǎn)

3、生移動(dòng),亦即產(chǎn)生了位移。 圖1圖1所示桁架在荷載P 作用下,桿件產(chǎn)生軸力,因而引起桿件長(zhǎng)度的改變,致使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了移動(dòng)。除了荷載引起位移外,溫度改變、支座移動(dòng)、材料收縮和制造誤差等因素,雖不一定使結(jié)構(gòu)都產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變,但都將使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移。位移有相對(duì)位移和絕對(duì)位移之分。各種位移無(wú)論是線位移還是角位移,無(wú)論是絕對(duì)位移或是相對(duì)位移,都統(tǒng)稱為廣義位移。二、計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的目的1. 驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度2. 為超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算打下基礎(chǔ)三、計(jì)算位移的有關(guān)假定1結(jié)構(gòu)的材料服從虎克定律,即應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系。2結(jié)構(gòu)的變形很小,不致影響荷載的作用。3結(jié)構(gòu)各部分間為理想聯(lián)結(jié),不考慮摩擦阻力等影響。4當(dāng)一直桿在桿端承受軸向

4、力并因同時(shí)有橫向力的作用而彎曲時(shí),不考慮由于桿彎曲所引起的桿端軸向力對(duì)彎矩及彎曲變形等的影響。(分析穩(wěn)定問(wèn)題時(shí)除外滿足上述條件的理想化的體系,其位移與荷載之間為線性關(guān)系,常稱為線性變形體。對(duì)于這種體系,其位移計(jì)算時(shí)可應(yīng)用疊加原理。§5-2 虛功原理一般說(shuō)來(lái),力所作的功與其作用點(diǎn)的移動(dòng)路線形狀,路程的長(zhǎng)短有關(guān),但對(duì)于大小和方向都是不變的常力,它所作的功則只與其作用點(diǎn)的起始位置有關(guān)。一、功、實(shí)功和虛功設(shè)一物體受外力P 作用后產(chǎn)生位移。力由于位移而作功。T dT P cos(P,d ds s s = 式中代表力P 與作用點(diǎn)位移方向的夾角,ds 代表位移微段。 若體系上作用一常力P ,力作用

5、點(diǎn)的總位移為D ,而D 與力P 之間的夾角為,力P 所作的功為:T P Dcos =,力與位移之間存在直接的依賴關(guān)系,力由于其自身所引起的位移而作功,這種功稱為實(shí)功,如圖2所示。 圖2 承受荷載P 的懸臂梁取靜力加載方式,即荷載從零逐漸增加到P 值。對(duì)于線性變形體來(lái)說(shuō),位移與荷載成正比,故力P 作用點(diǎn)的位移也將由零按比例逐漸增加到最后值。當(dāng)時(shí),。y P P =,y =在其中任一位置處,位移與相應(yīng)的荷載之間的關(guān)系為 :y P y y fP =,f 為比例常數(shù)。fP =;f P =;y y yP P f= 當(dāng)荷載由增加到y(tǒng) P y P dP +,相應(yīng)的位移為,略去高階微量,在發(fā)生dy 的過(guò)程中可以

6、看成常量,于是相應(yīng)的元功為:y dy +y P y 00yP dT P dy dT dy P 1T dT ydy P 2= 3. 虛功:位移與作功的力無(wú)關(guān)在虛功中,力與位移分別屬于同一體系的兩種彼此無(wú)關(guān)的狀態(tài),其中力所屬的狀態(tài)稱為力狀態(tài)或第一狀態(tài),而位移所屬的狀態(tài)則為位移狀態(tài)或第二狀態(tài)。 圖3 虛功中兩種彼此無(wú)關(guān)的狀態(tài)二、變形桿件體系的虛功原理懸壁梁一端固定,另一端自由,在固定端截面處,位移為已知值,此種邊界稱為位移邊界,自由端截面上的力是已知值,此種邊界稱為力的邊界。因此懸臂梁同時(shí)擁有力的邊界和位移的邊界,因此懸臂梁具有一定的典型意義。圖4(a 所示為一A 端為固定端的先妣桿件,其上作用有橫

7、向分布荷載、軸向分布q(s荷載和分布外力偶,、為自由端面上的外力。在這些力的作用下,桿件AB 處于平衡狀態(tài),圖4(b 所示AB 中一個(gè)微段的受力狀況,其上荷載及切割面上的理皆以圖中所示方向?yàn)檎＠媚昶胶鈼l件、可以得到以下三個(gè)平衡微分方程:p(sm(s*B N *B Q *B M s 0=Y 0=M 0=dN s 0p(sds dQ Y 0q(sds dM M 0Q m(sds=+= (a (b 圖4 懸臂桿所受荷載及微段隔離圖自由端為力給定的邊界,為了滿足平衡,有以下力的邊界條件,在l =s 處:*B*B*BN(LN Q(LQ M(LM = 固定端為位移給定的邊界,該處的未知桿端力可由平衡條

8、件確定。上式即為力系必須滿足的靜力平衡條件圖5(a 所示同一桿件AB 由于某種原因所產(chǎn)生的微小變形狀態(tài)。設(shè)和v 分別表示桿軸上任一點(diǎn)1的軸向變形和橫向位移,并以指向坐標(biāo)軸的正向?yàn)檎?。表示曲線在該點(diǎn)處的切線的傾角,并以順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?這樣有u dv ds= 由于剪切變形的影響,變形后的桿件的截面(假定仍保持為平面不再垂直于變形后的曲線,我們以表示1點(diǎn)截面的轉(zhuǎn)角(,并設(shè)也以順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎Ｔ?點(diǎn)附近截取一長(zhǎng)為的微段12,這一微段在變形后移動(dòng)12。我們將ds總位移分解為剛體位移和變形位移,設(shè)想先以截面1為準(zhǔn),微段12發(fā)生剛體位移u 和還有;然后使微段產(chǎn)生軸向、剪切和彎曲變形,從而使截面2變形到2。設(shè)

9、以分別表示1點(diǎn)的軸向應(yīng)變,剪切角和桿軸變形前后的曲率,則得到以下關(guān)系式:v (a 圖(b (c 圖5 懸臂桿的變形狀態(tài)12du ds,dv dv dv ds ds,d ds =+=+=此外在固定端處的位移邊界條件為:*A*A *A u(0u v(0v (0=桿AB 的虛外力虛功為:*B B B *B AA A T=N u(L+Q v(L+M (LN(0u Q(0v M(0+(pu+ qv+m ds*Ads桿件AB 的虛變形功為: B A V (N Q M =+桿件AB 處于一靜力可能的力狀態(tài),設(shè)另一與其無(wú)關(guān)的幾何可能的位移狀態(tài),則前者的外力由于后者的位移所作的虛外功T 等于前者的切割面內(nèi)力由于

10、后者的變形所作的虛變形功V 。即虛功方程T=V 。虛功方程:=*B B B *B A A A B A N u(LQ v(LM (LN(0u Q(0v M(0(pu qv m ds (N Q M ds*A+三、虛功原理的兩種應(yīng)用虛位移原理和虛力原理1. 應(yīng)用虛功原理求未知力 虛位移原理應(yīng)用虛功原理求某一體系的未知力時(shí),以體系的實(shí)際的內(nèi)外力狀態(tài)作為力狀態(tài),再根據(jù)所要求的未知力適當(dāng)選擇虛位移。用于實(shí)際的力狀態(tài)與虛位移狀態(tài)之間的虛功原理稱為虛位移原理。由此建立的虛功方程實(shí)質(zhì)上描述了實(shí)際受力狀態(tài)的平衡關(guān)系。應(yīng)用虛位移原理求未知力而沿該力方向虛設(shè)一單位位移的方法,常稱為“單位位移法”。2. 應(yīng)用虛功原理求

11、位移 虛力原理應(yīng)用虛功原理求某一體系的未知位移時(shí),即以體系的實(shí)際的位移狀態(tài)作為虛功原理的位移狀態(tài),再根據(jù)所要求的未知位移適當(dāng)選擇虛力。用于虛設(shè)的力狀態(tài)與實(shí)際位移狀態(tài)之間的虛功原理稱為虛力原理,由此建立的虛功方程實(shí)質(zhì)上描述了各實(shí)際位移之間的幾何關(guān)系。§53 平面桿件結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法一、計(jì)算位移的一般公式現(xiàn)擬用單位荷載法求剛架上某點(diǎn)K 的實(shí)際位移KK '沿某指定方向K 的投影。為此取圖6(a 中的剛架的實(shí)際狀態(tài)為虛力原理的位移狀態(tài)(第二狀態(tài)。然后選取一個(gè)與K ka ka 相應(yīng)的單位荷載,即在沿K K 方向加虛單位力,如圖6(b 所示,并取這個(gè)虛擬狀態(tài)作為虛力原理

12、的力狀態(tài)(第一狀態(tài)。 K P =1根據(jù)以上兩種狀態(tài),建立虛功方程:Ka Ka K a K a K a a K1R C R N ds Q d ds C s ×××+=+或者Ka K a K a a K K N ds Q d M ds R C =+as (6 (a (b 圖6 用單位荷載法計(jì)算位移的兩種狀態(tài)式中、分別表示實(shí)際狀態(tài)的軸向應(yīng)變、剪切角和曲率;a a a K R 、K N 、K Q 、K M 分別為虛擬狀態(tài)的反力、軸力、剪切和彎矩。上式就是計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的一般公式。式(6可以用于計(jì)算靜定或超靜定平面桿件結(jié)構(gòu)由于荷載、溫度變化和支座沉陷等因素的作用所產(chǎn)生的位移,

13、并且適用于彈性或非彈性材料的結(jié)構(gòu)。應(yīng)用式(6,每次可以計(jì)算一個(gè)位移分量,所加的虛單位力其指向可以任意假設(shè)。如果計(jì)算結(jié)果為正值,即表示位移的實(shí)際指向與所設(shè)虛單位力的指向相同,否則相反。式(6不僅可以用于計(jì)算結(jié)構(gòu)的線位移,而且還可以計(jì)算任一廣義位移,只要虛力狀態(tài)中的單位力是與所計(jì)算的廣義位移相對(duì)應(yīng)的廣義力即可。二、單位力的施加施加單位力應(yīng)遵循“欲求某點(diǎn)在某一方向的位移,就應(yīng)在該點(diǎn)沿該方向加單位力”的原則,而且所加的單位力與所擬求的位移應(yīng)有廣義力與廣義位移的對(duì)應(yīng)關(guān)系。§54 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算由于只考慮荷載作用,我們?cè)O(shè)結(jié)構(gòu)的支座位移Ca 為零,故式(6稱為:Ka K a K a

14、 a KN ds Q d ds =+s (a 又因?yàn)椴豢紤]溫度變化,故上式中微段變形只決定與荷載所產(chǎn)生的內(nèi)力?，F(xiàn)以NP 、QP 、MP 分別表示軸力,剪力和彎矩,按材料力學(xué)中的公式,有:P P a a a N Q k EA GA EI=P M (b 式中EA 、GA 和EI 分別為桿件的拉伸剛度、剪切剛度和彎曲剛度。 而 222A As k d b =A為考慮剪應(yīng)力實(shí)際上沿桿件截面并非均勻分布而引用的修正系數(shù)。其值與截面的形狀有關(guān)。對(duì)矩形截面:k 1.2=對(duì)于圓形截面:10K 9= 對(duì)于工字型截面:1A k A = 將式(b 代入式a ,得:K P K P KP K P N N Q Q ds

15、k ds EA GA M M ds EI=+ (8 上式就是平面桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式。對(duì)于不同的結(jié)構(gòu),式8尚可簡(jiǎn)化1 梁和剛架:對(duì)于梁和剛架,軸向變形和剪切變形的影響與彎曲變形比較可以略去不計(jì),故式(8可簡(jiǎn)化為:K P KP M M = d EIs 2 桁架:由于桁架的內(nèi)力只有軸力,通常桿件的軸力和截面都沿桿長(zhǎng)L 不變,故(8式簡(jiǎn)化為:K P KP N N L =EA 3 組合結(jié)構(gòu):組合結(jié)構(gòu)中對(duì)于梁式桿只考慮彎曲變形的影響,而對(duì)于二力桿應(yīng)考慮其軸向變形的作用,式(8簡(jiǎn)化為:K P K P KP M M N N L = ds+EI EA §5-5 圖乘法一、圖乘法計(jì)算梁和

16、剛架的位移時(shí),需要求下列積分:K P M M ds EI (a 在一定條件下,這種積分運(yùn)算可以得到簡(jiǎn)化。實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中,梁和剛架的桿件多為等截面直桿。即沿桿長(zhǎng)EI 為常數(shù),此時(shí)上式可寫為:PK 1M M ds EI (b 在計(jì)算梁和剛架的位移時(shí),彎矩K M (s表達(dá)式通常皆為變量S 的分段一次式,亦即K M 圖形多是由直線段所組成,這時(shí)可以用圖乘法計(jì)算積分。 直桿AB 的兩個(gè)彎矩圖。其中由荷載引起的MP 圖(稱為荷載彎矩圖為曲線,由單位力引起的MK 圖(稱為單位彎矩圖為一直線。 對(duì)于圖示的坐標(biāo)軸,K M =xtg ,代入積分式得:B B K P P A AB BP A A M M ds=xtg

17、 M dx =tg xM dx=tg xd (c 式中表示MP 圖的微面積,積分P d = M dx BA xd 是MP 圖的面積對(duì)于y 軸的面積矩。這個(gè)面積矩可以寫為B0A xd =x (d其中x0為MP 圖的形心到y(tǒng) 軸的距離。 將式(d 代入式(c 得 K B P 0A M M ds=x tg 而,y0為0x tg =y 0K M 圖中與MP 圖的形心相對(duì)應(yīng)的豎標(biāo)。 于是式(a 變成:K B P 0A M M ds y =EI EI 積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)值乘除運(yùn)算。此方法即稱圖乘法。2. 滿足圖乘法的條件:用圖乘法計(jì)算位移時(shí),必須滿足兩個(gè)條件:1桿件應(yīng)是等截面直桿,EI=常數(shù)2兩個(gè)彎矩圖中至

18、少有一個(gè)是直線圖形,yo 必須取自直線圖形。 3. 圖乘法的正負(fù)規(guī)則:兩個(gè)彎矩圖在基線的同一側(cè)時(shí),乘積 為正,否則為負(fù)。二、應(yīng)用圖乘法時(shí)的幾個(gè)具體問(wèn)題1. 如果兩個(gè)圖形都是直線,y0可以取自其中任意一個(gè)圖形。當(dāng)圖形的形心位置不易確定時(shí),可將圖形分解成幾個(gè)容易確定各自形心位置的部分,而后將這些部分分別與另一圖形作圖乘法運(yùn)算,再將所得結(jié)果求代數(shù)和。圖乘法的正負(fù)規(guī)則:兩個(gè)彎矩圖在基線的同一側(cè)時(shí),乘積 為正,否則為負(fù)。0y 2. 一個(gè)圖線是曲線,另一個(gè)圖形是直線。0y 取自直線圖形而取自曲線圖形?？蓪D分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單圖形后,分別與P M K M 圖作圖乘法運(yùn)算,并求代數(shù)和。3、 當(dāng)y0所屬的圖形是由

19、若干段直線組成時(shí),就應(yīng)分段計(jì)算。即把該圖分割為幾個(gè)直線圖形,圖也相應(yīng)進(jìn)行分割,然后分別相乘,再將所得乘積相加。 P M§5-6 靜定結(jié)構(gòu)由于溫度改變和支座移動(dòng)引起的位移一、由于溫度改變引起的位移靜定結(jié)構(gòu)當(dāng)溫度改變時(shí)并不引起內(nèi)力。雖然不產(chǎn)生內(nèi)力,但由于材料自由膨脹和收縮會(huì)產(chǎn)生變形和位移。計(jì)算結(jié)構(gòu)由于溫度改變引起的位移的一般公式為:Kt K 0K =(N t ds t +(M ds h±± 如果每一桿件沿其全長(zhǎng)溫度改變相同且截面高度不變,則上式可改寫成為:Kt 0K K 0N M K K =( t N dst +( M ds h t =( t +( h ±±±± 式中N k 為N k 圖的面積,M k 為M k 圖的面積。公式右邊兩項(xiàng)的正負(fù)號(hào)按如下規(guī)定來(lái)