(完整版)排列組合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)+典型例題及答案解析

1、排列組合知識(shí)點(diǎn)總結(jié) +典型例題及答案解析一基本原理1加法原理：做一件事有n 類辦法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類方法數(shù)相加。2乘法原理：做一件事分n 步完成，則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。注：做一件事時(shí)，元素或位置允許重復(fù)使用，求方法數(shù)時(shí)常用基本原理求解。二 排列：從n 個(gè)不同元素中，任取m（ m n ）個(gè) 元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，所有排列的個(gè)數(shù)記為Anm .1. 公式： 1. Anmn n 1 n 2n m 1n!nm !2.規(guī)定： 0!1(1) n!n( n1)!,( n1)n!(n1)!(2)nn!( n1)1n!(n1)n!

2、n!(n1)!n! ；(3)nn1 1n1111(n1)!(n1)!( n1)!(n 1)!n!( n 1)!三組合：從 n 個(gè)不同元素中任取m（mn）個(gè)元素并組成一組，叫做從n 個(gè)不同的 m 元素中任取 m 個(gè)元素的組合數(shù)，記作Cn 。1. 公式：CnmA nmn n1nm1n!C n01A mmm!m! nm !2.組合數(shù)性質(zhì)：C nmC nnmC nmCnm 1C nm1 C n0C n1C nn2n；注： CrrCrr1Crr2L Cnr1CnrCrr11Crr1Crr2 L Cnr1CnrCrr21Crr2L Cnr1 CnrCnr11若 Cnm1Cnm2 m1 =m 2 m1+m

3、2n四處理排列組合應(yīng)用題1.明確要完成的是一件什么事 （審題）有序還是無序分步還是分類。2解排列、組合題的基本策略（1）兩種思路：直接法；間接法：對(duì)有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應(yīng)用題時(shí)一種常用的解題方法。（2）分類處理：當(dāng)問題總體不好解決時(shí)， 常分成若干類， 再由分類計(jì)數(shù)原理得出結(jié)論。注意：分類不重復(fù)不遺漏。即：每?jī)深惖慕患癁榭占?，所有各類的并集為全集。?）分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時(shí)，常常分成若干步，再由分步計(jì)數(shù)原理解決。 在處理排列組合問題時(shí)， 常常既要分類， 又要分步。其原則是先分類，后分步。（4）兩種途徑：元素分析

4、法；位置分析法。3排列應(yīng)用題：（1）窮舉法（列舉法）：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來；(2)、特殊元素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考慮；（3）相鄰問題：捆邦法：對(duì)于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列。（4）、全不相鄰問題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空法. 即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。（5）、順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對(duì)于某幾個(gè)元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，

5、然后用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先對(duì)其他元素進(jìn)行排列，剩余的幾個(gè)位置放定序的元素， 若定序元素要求從左到右或從右到左排列，則只有 1 種排法；若不要求，則有 2 種排法；（6）“小團(tuán)體”排列問題采用先整體后局部策略對(duì)于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體”時(shí)，可先將“小團(tuán)體”看作一個(gè)元素與其余元素排列，最后再進(jìn)行“小團(tuán)體”內(nèi)部的排列。（7）分排問題用“直排法”把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。（8）數(shù)字問題（組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)） 能被 2 整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被2

6、整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能被 3 整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3 的倍數(shù)；能被 9 整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是9 的倍數(shù)能被4 整除的數(shù)的特征：末兩位是4的倍數(shù)。能被 5 整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0 或 5。能被 25 整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是25，50，75。能被 6 整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是 3 的倍數(shù)的偶數(shù)。4組合應(yīng)用題：（ 1）. “至少”“至多”問題用間接排除法或分類法:（2） “含”與“不含”用間接排除法或分類法:3分組問題：均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以組數(shù)的階乘。即除法處理。非均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘。即組合處理。混合分組：分步取，得組合數(shù)相乘

7、，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。4分配問題：定額分配：（指定到具體位置）即固定位置固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。隨機(jī)分配：（不指定到具體位置）即不固定位置但固定人數(shù)，先分組再排列，先組合分堆后排，注意平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。5隔板法：不可分辨的球即相同元素分組問題例 1. 電視臺(tái)連續(xù)播放 6 個(gè)廣告，其中含 4 個(gè)不同的商業(yè)廣告和2 個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示） .解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有2種；中間 4 個(gè)為不同的商業(yè)廣告有4種，從而A2A42448. 從而應(yīng)填 48應(yīng)當(dāng)填 A·A24例 3.6 人排成一行，

8、甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法？解一：間接法：即A66A55A55A447202 12024504解二：（ 1）分類求解：按甲排與不排在最右端分類.(1)甲排在最右端時(shí) , 有 A55 種排法； (2)甲不排在最右端（甲不排在最左端）時(shí)，則甲有A14種排法，乙有1種排法，其他人有4種排法，共有114種排法，分類相加得共有44444AAAAAA55 + A41 A14 A44 =504 種排法例. 有 4 個(gè)男生， 3 個(gè)女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？分析一：先在 7 個(gè)位置上任取 4 個(gè)位置排男生，有 A47 種排法 . 剩

9、余的 3 個(gè)位置排女生，因要求“從矮到高”，只有 1 種排法，故共有 A47 · 1=840種.1. 從 4 臺(tái)甲型和 5 臺(tái)乙型電視機(jī)中任取 3 臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有解析 1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有C93C43C5370 種, 選. C解析 2：至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型1 臺(tái)乙型 2 臺(tái)；甲型 2 臺(tái)乙型1 臺(tái)；故不同的取法有 C52C14C51C4270 臺(tái), 選 C .2從 5 名男生和 4 名女生中選出4 人去參加辯論比賽（1）如果 4 人中男生和女生各選

10、2 人，有種選法；（2）如果男生中的甲與女生中的乙必須在內(nèi)，有種選法；（3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1 人在內(nèi)，有種選法；（4）如果 4 人中必須既有男生又有女生，有種選法分析：本題考查利用種數(shù)公式解答與組合相關(guān)的問題. 由于選出的人沒有地位的差異，所以是組合問題 .解：（1）先從男生中選 2 人，有 C52 種選法，再?gòu)呐羞x 2 人，有 C42 種選法，所以共有 C52C42 =60（種）；（2）除去甲、乙之外，其余 2 人可以從剩下的7 人中任意選擇， 所以共有 C22C72 =21（種）；（3）在 9 人選 4 人的選法中，把甲和乙都不在內(nèi)的去掉， 得到符合條件的選法數(shù)：

11、C94C74 =91（種）；直接法，則可分為3 類：只含甲；只含乙；同時(shí)含甲和乙，得到符合條件的方法數(shù)C11 C73C11C73C22 C72C73C73C72 =91（種） .（4）在 9 人選 4 人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數(shù)C94C54C44 =120（種） .直接法：分別按照含男生1、2、3 人分類，得到符合條件的選法為C51C43C52C42C53C 14 =120（種） .16 個(gè)人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4 人，則不同的乘車方法數(shù)為()A40B50C60D7023C 解析 先分組再排列，一組 2 人一組 4 人有 C15 種不同的分法；兩組各

12、63 人共有 2106A2種不同的分法，所以乘車方法數(shù)為25×250，故選 B.2有 6 個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3 人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法有()A36 種B48 種 C 72 種D96 種 解析 恰有兩個(gè)空座位相鄰，相當(dāng)于兩個(gè)空位與第三個(gè)空位不相鄰，先排三個(gè)人，然后插32空，從而共 A3 A472 種排法，故選 C.3只用 1,2,3 三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有()A6 個(gè)B9 個(gè)C18 個(gè)D36 個(gè) 解析 注意題中條件的要求，一是三個(gè)數(shù)字必須全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選1種) 選法，即 1231,1

13、232,1233，而每種選擇有22種) 排法，所以四個(gè)數(shù)字共有 C3 3(A2×C36(共有 3×618( 種) 情況，即這樣的四位數(shù)有18 個(gè)4男女學(xué)生共有8 人，從男生中選取2 人，從女生中選取1 人，共有 30 種不同的選法，其中女生有 ()A2人或 3人B 3人或 4人C3人D4人21 解析 設(shè)男生有 n 人，則女生有 (8 n) 人，由題意可得CnC8n30，解得 n5 或 n6，代入驗(yàn)證，可知女生為2 人或 3 人5某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10 級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用8 步走完，則方法有 ()A45 種B36 種C28

14、種D25 種 解析 因?yàn)?10÷8 的余數(shù)為 2，故可以肯定一步一個(gè)臺(tái)階的有6 步，一步兩個(gè)臺(tái)階的有22步，那么共有 C828 種走法6某公司招聘來 8 名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個(gè)部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個(gè)部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個(gè)部門，則不同的分配方案共有()A24 種B36 種 C 38 種D108 種解析本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，據(jù)題意可先將兩名翻譯人員分到兩個(gè)部門，共有2種方法，第二步將3 名電腦編程人員分成兩組，一組1種分法，然后1 人另一組 2 人，共有 C3123 人分成兩組，一組 1 人另一組 2 人即再分到兩部門去共有 CA

15、種方法，第三步只需將其他32可，由于是每個(gè)部門各4 人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有1C3種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有1212CA C36(種) 3237已知集合 A5 ，B1,2 ，C1,3,4 ，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A33B34C35D36解析所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中不含1312 個(gè)；1的有 C·A23所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有1331個(gè)1的有 C2·A3A318 個(gè)；所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有13 個(gè)2個(gè)1的有 C3故共有符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1218333 個(gè)，

16、故選 A.8由 1、2、3、4、5、6 組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3 都不與 5 相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是()A72B96C 108D144解析 分兩類：若 1 與21223336(個(gè))3 相鄰，有 A·CA A72(個(gè)) ，若 1 與 3 不相鄰有 A ·A232333故共有 7236108 個(gè)9如果在一周內(nèi) ( 周一至周日 ) 安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有()A50 種B60 種C120 種D210 種解析先安排甲學(xué)校的參觀時(shí)間， 一周內(nèi)兩天連排的方法一共有6 種：(1,2)、(2,

17、3) 、(3,4)、(4,5) 、(5,6)、(6,7)1天中任選 2 天有序地安排其余兩所，甲任選一種為 C，然后在剩下的 56212學(xué)校參觀，安排方法有 A5種，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有不同的安排方法C6·A5120 種，故選 C.10安排 7 位工作人員在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有_種 ( 用數(shù)字作答 )解析25先安排甲、乙兩人在后 5 天值班，有 A520( 種) 排法，其余 5 人再進(jìn)行排列， 有 A5120( 種) 排法，所以共有20×1202400( 種)

18、安排方法11今有 2 個(gè)紅球、3 個(gè)黃球、4 個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這 9 個(gè)球排成一列有 _種不同的排法 ( 用數(shù)字作答 )解析423種)由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個(gè)組合問題， 共有 C9·C5·C3 1260(排法12將 6 位志愿者分成 4 組，其中兩個(gè)組各2 人，另兩個(gè)組各1 人，分赴世博會(huì)的四個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有 _種( 用數(shù)字作答 ) 22解析C6C4先將 6 名志愿者分為 4 組，共有 2種分法，再將 4 組人員分到 4 個(gè)A2224C6· C44不同場(chǎng)館去，共有 A4種分法，故所有分配方案有：2·A41

19、080 種A213要在如圖所示的花圃中的5 個(gè)區(qū)域中種入 4 種顏色不同的花， 要求相鄰區(qū)域不同色，有_種不同的種法 ( 用數(shù)字作答 ) 解析5 有 4 種種法， 1 有 3 種種法， 4 有 2 種種法若 1、3 同色， 2 有 2 種種法，若 1、3 不同色， 2 有 1 種種法，有 4×3×2×(1 ×21×1) 72 種14. 將標(biāo)號(hào)為 1，2，3，4，5，6 的 6 張卡片放入3 個(gè)不同的信封中若每個(gè)信封放張，其中標(biāo)號(hào)為1，2 的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A）12 種（B）18 種（C）36 種（D）54 種【解析】標(biāo)號(hào)1,

20、2 的卡片放入同一封信有種方法；其他四封信放入兩個(gè)信封，每個(gè)信封兩2個(gè)有種方法，共有種，故選 B.15. 某單位安排 7 位員工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，則不同的安排方案共有A.504種B.960種C.1008種D.1108種解析：分兩類：甲乙排1、2號(hào)或6、7號(hào) 共有2A22 A14 A44 種方法甲乙排中間, 丙排7 號(hào)或不排7 號(hào)，共有4 A22 ( A44A31 A31 A33 )種方法故共有1008 種不同的排法排列組合二項(xiàng)式定理1，分類計(jì)數(shù)原理完成

21、一件事有幾類方法，各類辦法相互獨(dú)立每類辦法又有多種不同的辦法（每一種都可以獨(dú)立的完成這個(gè)事情）分步計(jì)數(shù)原理完成一件事，需要分幾個(gè)步驟，每一步的完成有多種不同的方法2，排列排列定義：從n 個(gè)不同元素中，任取m（ m n）個(gè)元素（被取出的元素各不相同），按照一定的順序排成一列，叫做從n 個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。m排列數(shù)定義；從n 個(gè)不同元素中，任取m（mn）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)Anmn!公式An = (nm)!規(guī)定 0！ =13，組合組合定義從 n 個(gè)不同元素中，任取m（mn）個(gè)元素并成一組，叫做從n 個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合m組合數(shù)從 n 個(gè)不同元素中，任取m（mn）個(gè)元

22、素的所有組合個(gè)數(shù)Cnm =n!C nm!( nm)!mn mmmm 1性質(zhì)Cn=CnCn 1CnC n排列組合題型總結(jié)一直接法1 .特殊元素法例 1 用 1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 這 6 個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個(gè)（1）數(shù)字 1 不排在個(gè)位和千位（ 2）數(shù)字 1 不在個(gè)位，數(shù)字 6 不在千位。分析：（1）個(gè)位和千位有5 個(gè)數(shù)字可供選擇 A52 ，其余 2 位有四個(gè)可供選擇A42 ，由乘法原理：A52 A42 =2402特殊位置法（2）當(dāng) 1 在千位時(shí)余下三位有A53 =60 ，1 不在千位時(shí)，千位有A14 種選法，個(gè)位有A14 種，余下的有 A42 ，共

23、有 A41A14 A42 =192所以總共有192+60=252二 間接法當(dāng)直接法求解類別比較大時(shí)，應(yīng)采用間接法。如上例中（2）可用間接法A642A53A42 =252例：有五張卡片，它的正反面分別寫0 與1 ，2與3， 4與 5，6與7 ，8與9 ，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？分析：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)C 5323A33 個(gè)，其中0 在百位的有C 4222A22 個(gè)，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)C 5323A33 - C4222A22 =432例： 三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排（1）女生必須全排在一起有多少種排法（捆綁法）（2）女生必

24、須全分開（插空法須排的元素必須相鄰）（3）兩端不能排女生（4）兩端不能全排女生（5）如果三個(gè)女生占前排，五個(gè)男生站后排，有多少種不同的排法二插空法當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時(shí)，宜用插空法。例 3在一個(gè)含有 8 個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中， 臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目， 且保持原節(jié)目順序， 有多少中插入方法？分析：原有的 8 個(gè)節(jié)目中含有 9 個(gè)空檔，插入一個(gè)節(jié)目后， 空檔變?yōu)?10 個(gè)，故有 A19A101 =100中插入方法。三捆綁法當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時(shí)，宜用捆綁法。1四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的放法有種（ C42 A33 ）,2，某市植物園要在30 天內(nèi)接

25、待 20 所學(xué)校的學(xué)生參觀， 但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2 天，其余只參觀一天，則植物園 30 天內(nèi)不同的安排方法有（ C 291A2819 ）（注意連續(xù)參觀 2 天，即需把 30天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個(gè)整體來選有C291 其余的就是 19所學(xué)校選 28 天進(jìn)行排列）四閣板法名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法例 5 某校準(zhǔn)備組建一個(gè)由 12 人組成籃球隊(duì)，這 12 個(gè)人由 8 個(gè)班的學(xué)生組成， 每班至少一人，名額分配方案共種。分析：此例的實(shí)質(zhì)是12 個(gè)名額分配給 8 個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，可在12 個(gè)名額種的 11 個(gè)空當(dāng)中插入 7 塊閘板，一種插法對(duì)應(yīng)一種名額的分配方式，故有C117 種五 平均分推問題例： 6 本不同的書按一下方式處理，各有幾種分發(fā)？（1）平均分成三堆，（2）平均分給甲乙丙三人（3）一堆一本，一堆兩本，一對(duì)三本（4）甲得一本，乙得兩本，丙得三本（一種分組對(duì)應(yīng)一種方案）（5）一人的一本，一人的兩本，一人的三本分析： 1，分出三堆書（ a1 ,a2 ） ,(a3 ,a4)，（ a5,a6 ）由順序不同可以有A33 =6 種，而這6 種分法只算一種分堆方式，故 6 本不同的書平均分成三堆方式有C62 C42C22=15 種A332，六本不同的書，平均分成三堆有x