本章復(fù)習(xí)與小結(jié)(2)

1、本章復(fù)習(xí)與小結(jié)（2）一、遞推關(guān)系通項(xiàng)公式的求法：對于給定遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式成為近年高考考查熱點(diǎn)之一。常見的出題形式為先給定數(shù)列的初始值及數(shù)列的遞推關(guān)系，要求求出通項(xiàng)公式。本文結(jié)合對歷年高考考查的模式，總結(jié)出常見的主要有以下幾種類型：模式一：形如遞推式。由累加法可求得通項(xiàng)公式為：。例1（2007北京高考題）數(shù)列中，（是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列（I）求的值；（II）求的通項(xiàng)公式 模式二：形如遞推式。由得，使用累乘法可得。例2已知數(shù)列滿足，求通項(xiàng)公式。模式三：形如（其中、為常數(shù)）遞推式，通常解法是設(shè)，求出，因是等比數(shù)列則可求出通項(xiàng)公式。例3（2007全國高考卷）已知數(shù)列中，（I）求的通

2、項(xiàng)公式；（II）略。模式四：形如（其中為常數(shù)）遞推式，（、為常數(shù)）是其特殊情形。后者的等式兩邊同除以，得，令，則可化歸為（、為常數(shù)）型。例4（2007天津高考題）在數(shù)列中，其中（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）略；模式五：形如（其中為常數(shù)）遞推式，設(shè)數(shù)列，使，則，即，令，則，即已化為模式一。例5已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。模式六：形如(且遞推式，它的推廣形式為。通過對等式兩邊取對數(shù)，得，再令，即轉(zhuǎn)化為類型一例6已知數(shù)列滿足，求。模式七：形如（其中、是不為零的常數(shù)）遞推式，可變形為，則是公比為的等比數(shù)列，這就轉(zhuǎn)化為了模式三。例7（2006福建文科高考題）已知數(shù)列滿足,。（I）略；（II）求

3、數(shù)列的通項(xiàng)公式；模式八：形如及其變形形式和（其中、是不為零的常數(shù)）遞推式。對兩邊同除以，再令，即化為等差數(shù)列形式。例8（2005重慶高考題）數(shù)列滿足且記（I）略；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和模式九：形如（其中）遞推式，它是模式八的推廣。通常兩邊同除以，得，有，再令，得，這就化為了模式五。例9（2006江西高考題）已知數(shù)列an滿足：，且，（I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）略。解：（I）將條件變?yōu)椋海虼藶橐粋€(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比，從而，據(jù)此可得.模式十：形如（其中、是不為零的常數(shù)）遞推式，將原式轉(zhuǎn)化為，然后再通過迭代進(jìn)行求解。例10（2005江西高考題）已知數(shù)列， （1）略；（2）

4、求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.模式十一：形如（、為常數(shù)）遞推式，解常解法為：先設(shè)函數(shù)，視、為得到特征方程，再以此方程的解的情況來求解。若此方程無解，則此數(shù)列為循環(huán)數(shù)列；若特征方程有兩個(gè)不等的實(shí)根、，則可變形為（其中）；若特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，則可變形為（其中為常數(shù)）。例11已知數(shù)列an，滿足，求an.模式十二：形如（其中、為非零常數(shù)）遞推式。例12（2007四川高考題）已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，其中為正實(shí)數(shù)。（）、（）略；（）若，記，證明數(shù)列成等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 二、例析數(shù)列求和的常用方法數(shù)列求和是數(shù)列教學(xué)內(nèi)容的中心問題之一，也是近年高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)問題。掌握一些求和

5、的方法和技巧可以提高解決此問題的能力。本文例析了一些求和的方法，僅供參考。（一）倒序相加法：將一個(gè)數(shù)列倒過來排序（倒序），當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有因式可提，并且剩余的項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和。如等差數(shù)列的求和公式的推導(dǎo)。例1已知滿足，當(dāng)時(shí)，若，求 （二）錯(cuò)位相減法：這是推導(dǎo)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列的前項(xiàng)和，其中、分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。例2求數(shù)列的前項(xiàng)和。（三）分組求和法 所謂分組求和法，即將一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列求和。例3已知數(shù)列滿足，求其前項(xiàng)和。（四）公式法（恒等式法）：利用已知的求和公式來求和，如等差數(shù)列與等比數(shù)列求

6、和公式，再如 、等公式。例4求數(shù)列,的和。（五）拆項(xiàng)（裂項(xiàng)）相消法：若數(shù)列能裂項(xiàng)成，即所裂兩項(xiàng)具有傳遞性（即關(guān)于n的相鄰項(xiàng)，使展開后中間項(xiàng)能全部消去）。例5已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和（六）通項(xiàng)化歸法：即把數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出來，再利用數(shù)列的特點(diǎn)求和。例求數(shù)列的前項(xiàng)和（七）并項(xiàng)法求和：在數(shù)列求和中，若出現(xiàn)相鄰兩項(xiàng)（或有一定規(guī)律的兩項(xiàng)）和為常數(shù)時(shí)，可用并項(xiàng)法，但要注意的奇偶性。例7已知數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和（八）奇偶分析項(xiàng)：當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)有符號限制時(shí)，應(yīng)分為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論。例8若，求數(shù)列的前項(xiàng)和（九）利用周期性求和：若數(shù)列，都有（其中,為給定的自然數(shù)，），則稱數(shù)列為周期數(shù)列，其中為其周期。例9已知數(shù)列中，求其前項(xiàng)的和.（十）導(dǎo)數(shù)法：利用函數(shù)的求導(dǎo)來計(jì)算數(shù)列的和。例10求數(shù)列前項(xiàng)和，其中.（十一）待定系數(shù)法：若數(shù)列的和是