人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二8.3 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積（精講）（解析版）

8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖典例精講典例精講考點(diǎn)一多面體的體積與表面積【例1-1】（2022春·江西上饒·高一校聯(lián)考期末）已知一個(gè)直四棱柱的高為2，其底面ABCD水平放置的直觀圖（斜二測(cè)畫法）是邊長(zhǎng)為2的正方形，則這個(gè)直四棱柱的體積為（

）A．8 B． C． D．【答案】C【解析】由于直觀圖是正方形，所以ABCD是水平邊長(zhǎng)為2，且水平邊上的高為的平行四邊形，則ABCD面積是，所以直四棱柱的體積是.故選：C.【例1-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為（）A．1∶1 B．1∶C．1∶ D．1∶2【答案】C【解析】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則表面積，因?yàn)槿忮F的各面均是正三角形，其邊長(zhǎng)為正方體側(cè)面對(duì)角線．則面對(duì)角線長(zhǎng)為，三棱錐D1-AB1C的表面積，所以.故選：C【例1-3】（2022春·遼寧沈陽·高一沈陽市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）正三棱臺(tái)上下底面的邊長(zhǎng)為1，2，斜高為1，則其體積為______．【答案】【解析】如圖，設(shè)上下底面中心分別為，分別為的中點(diǎn)，則即為斜高，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，所以，所以，上底面面積，下底面面積，所以棱臺(tái)的體積.故答案為：.【例1-4】（2022春·廣東東莞·高一校聯(lián)考期中）一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則該正四棱錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下圖所示，在正四棱錐中，底面的邊長(zhǎng)為，設(shè)點(diǎn)在底面的射影點(diǎn)為點(diǎn)，則四棱錐的高，則為的中點(diǎn)，且，，取的中點(diǎn)，連接，則，且，，故正四棱錐的表面積為.故選：B.【例1-5】（2022春·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┮阎硞€(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)和高的比為，若側(cè)棱長(zhǎng)為，則該棱臺(tái)的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)上底面邊長(zhǎng)為，則下底面邊長(zhǎng)為，高為，上底面正方形對(duì)角線長(zhǎng)為，下底面正方形對(duì)角線長(zhǎng)為，又側(cè)棱長(zhǎng)為，所以，解得，所以側(cè)面等腰梯形的高為，所以該棱臺(tái)的側(cè)面積為.故選：A.【例1-6】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，是的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為______.【答案】10【解析】由題意可得，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，，，所以，故答案為：10.【一隅三反】1（2022·天津東麗·高一天津市第一百中學(xué)?？计谀┮阎忮FP－ABC的底面邊長(zhǎng)為6cm，頂點(diǎn)P到底面ABC的距離是cm，則這個(gè)正三棱錐的側(cè)面積為（

）A．27 B． C．9 D．【答案】A【解析】由題意可知底面三角形的中心到底面三角形的邊的距離為：，所以正三棱錐的斜高為：，所以這個(gè)正三棱錐的側(cè)面積為：．故選：．2．（2022·高一單元測(cè)試）已知三棱錐的三條側(cè)棱長(zhǎng)均為2，側(cè)面有兩個(gè)是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高為，則這個(gè)三棱錐的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】結(jié)合題目邊長(zhǎng)關(guān)系，三棱錐如圖所示，，由題意是等腰直角三角形,則,，則表面積為.故選：C.3．（2022·課時(shí)練習(xí)）如果正四棱柱的對(duì)角線長(zhǎng)為3.5，側(cè)面的一條對(duì)角線長(zhǎng)為2.5，則該棱柱的體積為____.【答案】【解析】設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則且，所以，，所以，所以該棱柱的體積為.故答案為：.4．（2022春·遼寧·高一渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）若正三棱臺(tái)的上?下底面的面積分別是和，體積為，則其側(cè)棱長(zhǎng)為___________.【答案】【解析】因?yàn)槔馀_(tái)體積公式V（SS′）h，所以，所以高，又因?yàn)檎馀_(tái)上?下底面的面積分別是和，所以上下底面邊長(zhǎng)分別是2和4，如圖所示，O′?O分別是上?下底面的中心，連接OO′?O′B′?OB，在平面BOO′B′內(nèi)作B′E⊥OB于E，∵是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，O′是中心，∴O′B′，OB，∴在中，，BE，∴B′B，∴該三棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為.故答案為：5．（2022·甘肅蘭州）在正四棱錐中，，，則該四棱錐的體積是______．【答案】【解析】過點(diǎn)作平面，則為正方形的中心，連接，易知．因?yàn)椋?，又，所以，則四棱錐的體積.故答案為：.考點(diǎn)二旋轉(zhuǎn)體的體積與表面積【例2-1】（2022春·海南?？凇じ咭缓？谝恢行？计谥校┰谝粋€(gè)底面圓直徑和高都是2的圓柱內(nèi)挖去一個(gè)圓錐，圓錐的底面與圓柱的上底面重合，圓錐的頂點(diǎn)是圓柱的下底面中心，這個(gè)幾何體的表面積為____.【答案】【解析】挖去圓錐的母線長(zhǎng)為，則圓錐的側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，圓柱的一個(gè)底面積為，故幾何體的表面積為.故答案為：.【例2-2】（2022春·重慶·高一統(tǒng)考期末）已知某圓臺(tái)上下底面的面積之比為1∶9，側(cè)面積為，母線長(zhǎng)為2，則該圓臺(tái)的高為（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【解析】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，母線長(zhǎng)為，高為，因?yàn)閳A臺(tái)的上底面面積是下底面面積的倍，所以下底面的半徑為，又母線長(zhǎng)，圓臺(tái)的側(cè)面積為，則，解得，則圓臺(tái)的高．故選：B．【例2-3】．（2023秋·浙江衢州）（多選）已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則下列說法正確的是（

）A．圓錐的高是 B．圓錐的母線長(zhǎng)是4C．圓錐的表面積是 D．圓錐的體積是【答案】BD【解析】設(shè)圓錐母線為，高為，側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)與底面圓周長(zhǎng)相等，由弧長(zhǎng)公式得，即；所以圓錐的母線長(zhǎng)是4，即B正確；高為，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；圓錐的表面積是，故C錯(cuò)誤；圓錐的體積是，即D正確.故選：BD【一隅三反】1．（2022·湖南郴州）已知某圓錐的側(cè)面積為底面積的倍，體積為，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)該圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，圓錐的側(cè)面積為：，圓錐的底面積為：，圓錐的體積為：，由題意得，解得：，．所以母線長(zhǎng)為：．故選：C．2．（2022春·江蘇宿遷·高一沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)校考期末）某圓錐的側(cè)面積為1，用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截該圓錐得到一個(gè)圓臺(tái)，若圓臺(tái)上底面和下底面半徑之比為，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，設(shè)圓臺(tái)的母線為，則圓錐的底面半徑為，圓錐的母線為，圓錐的側(cè)面積記為，截去的小圓錐的側(cè)面積即為，故圓臺(tái)的側(cè)面積為,故選：C3．（2022春·福建莆田·高一統(tǒng)考期末）已知圓臺(tái)的軸截面面積為10，母線與底面所成的角為，則圓臺(tái)的側(cè)面積為___．【答案】【解析】如圖所示，依題意，設(shè)下底面圓半徑為，上底面圓半徑為，圓臺(tái)的高為，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，在中，，，，，則圓臺(tái)軸截面的面積，則圓臺(tái)的側(cè)面積.故答案為：.考點(diǎn)三組合體的體積與表面積【例3-1】（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）（多選）折扇是我國(guó)古老文化的延續(xù)，在我國(guó)已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字畫的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是3和9，且，則該圓臺(tái)的（

）A．高為 B．體積為C．表面積為 D．上底面積?下底面積和側(cè)面積之比為【答案】AC【解析】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，則，解得．圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，圓臺(tái)的高為，則選項(xiàng)正確；圓臺(tái)的體積，則選項(xiàng)錯(cuò)誤；圓臺(tái)的上底面積為，下底面積為，側(cè)面積為，則圓臺(tái)的表面積為，則正確；由前面可知上底面積?下底面積和側(cè)面積之比為，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．【例3-2】（2022秋·福建南平）氈帳是蒙古族牧民居住的一種房子，內(nèi)部木架結(jié)構(gòu)，外部毛氈圍攏，建造和搬遷都很方便，適合牧業(yè)和游牧生活.如圖所示，某氈帳可視作一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的組合，圓錐的高為3米，圓柱的高為2.5米，底面直徑為8米，則建造該氈帳需要毛氈（

）平方米.A． B． C． D．【答案】B【解析】圓柱的側(cè)面積為平方米；圓錐的母線長(zhǎng)為，側(cè)面積為平方米.所以建造該氈帳需要毛氈平方米.故選：B【一隅三反】1．（2023福建寧德）在世界文化史上，陀螺的起源甚早，除了南極洲外，在其他大陸都有發(fā)現(xiàn)．<<世界圖書百科全書>>這樣寫道：“沒有人準(zhǔn)確知道人們最初玩陀螺的時(shí)間．但古希臘兒童玩過陀螺，而在中國(guó)和日本，陀螺成為公眾娛樂已有幾百年的時(shí)間．”已知一陀螺圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，底面圓的直徑，這個(gè)陀螺的表面積（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得圓錐體的母線長(zhǎng)為，所以圓錐體的側(cè)面積為，圓柱體的側(cè)面積為，圓柱的底面面積為，所以此陀螺的表面積為，故選:C．2．（2022四川眉山）亭是我國(guó)古典園林中最具特色的建筑形式，它是逗留賞景的場(chǎng)所，也是園林風(fēng)景的重要點(diǎn)綴．重檐圓亭（圖1）是常見的一類亭，其頂層部分可以看作是一個(gè)圓錐以及一個(gè)圓臺(tái)（圖2）的組合體．已知某重檐涼亭的圓臺(tái)部分的軸截面如圖3所示，則該圓臺(tái)部分的側(cè)面積為（）A．m2 B．3.6m2 C．7.2m2 D．11.34m2【答案】A【解析】由圓臺(tái)的軸截面圖，母線，所以該圓臺(tái)側(cè)面積.故選：A.3．（2023浙江）早在一萬多年前的新石器時(shí)代，生活在金麗衢地區(qū)古人就開始制作各種石器，今天在浦江上山遺址、水康湖西遺址、義烏橋頭遺址等還可以見到各種當(dāng)時(shí)的石器，現(xiàn)在農(nóng)村還在使用的石磨就是從古代的石器演變而來的.如果一個(gè)石磨近似看作兩個(gè)圓柱體拼合而成，每個(gè)圓柱體的底面直徑是80cm，每個(gè)圓柱體的高為30cm，那么這兩個(gè)圓柱體的表面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得一個(gè)石磨底面積為：底=，側(cè)=所以一個(gè)石磨的表面積為：，所以兩個(gè)石磨的表面積為：.故選：D考點(diǎn)四外接球與內(nèi)切球【例4-1】（2022春·廣西貴港·高一?？计谥校┮阎硤A柱的內(nèi)切球半徑為，則該圓柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】】由題意得，該圓柱底面圓的半徑為，圓柱的高為7，所以該圓柱的側(cè)面積為．故選：B．【例4-2】（2022秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）在直三棱柱中，，，，則此三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以為等腰直角三角形，將直三棱柱補(bǔ)全為如圖長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的外接球即直三棱柱的外接球，因?yàn)椋?，所以外接球直徑，所以外接球半徑，表面積.故選：C.【例4-3】（2022春·安徽池州·高一統(tǒng)考期中）已知正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，其側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為4，則球O的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示：設(shè)為正三角形的中心，連接，則平面，球心在上，設(shè)球的半徑為，連接，∵正三角形的邊長(zhǎng)為4，∴，又∵，∴在中，，在中，，，，∴，解得，∴球的表面積為．故選：D．【一隅三反】1（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）已知正方體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，其外接球的半徑為，因?yàn)檎襟w的表面積為18，所以，所以，，所以，得，所以正方體外接球的體積為，故選：A.2．（2022秋·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期末）在直三棱柱中，，，則該直三棱柱的外接球的體積是______.【答案】【解析】由于，所以，且直角三角形的外心在的中點(diǎn)處，設(shè)外接球的半徑為，則，所以外接球的體積為.故答案為：3．（2022新疆）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，，，，求球的表面積___________.【答案】【解析】根據(jù)余弦定理得，故，根據(jù)正弦定理得，故，其中為三角形外接圓半徑，設(shè)為三棱錐外接球的半徑，則，故，則球的表面積.故答案為：.4．（2022·湖南衡陽·高一衡陽市一中?？计谥校┧拿骟w的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，兩兩垂直，且，，，則球的表面積為________.【答案】.【解析】根據(jù)題意將四面體補(bǔ)成如圖所示的長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)等于四面體外接球的直徑的長(zhǎng)，設(shè)外接球的半徑為，因?yàn)?，，，所以，所以，所以球的表面積為，故答案為：5．（2022春·北京昌平·高一校考期中）已知